一類關(guān)于二階微分方程的追逐微分博弈問題

馮亞琴，洪世煌，李春紅

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

摘要：考慮一類用二階微分方程描述的多人追逐一人逃逸的追逐微分博弈。在此博弈中，對(duì)參與者的控制函數(shù)強(qiáng)加上了積分約束，支付函數(shù)是博弈結(jié)束時(shí)追逐者和逃逸者之間距離的下確界。主要目的是建立可容許的追逐策略來保證博弈從任何給定的初始位置是追逐完備的。

關(guān)鍵詞：追逐微分博弈；積分約束；策略；追逐完備

DOI: 10.13954/j.cnki.hdu.2015.01.021

一類關(guān)于二階微分方程的追逐微分博弈問題

馮亞琴，洪世煌，李春紅

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

摘要：考慮一類用二階微分方程描述的多人追逐一人逃逸的追逐微分博弈。在此博弈中，對(duì)參與者的控制函數(shù)強(qiáng)加上了積分約束，支付函數(shù)是博弈結(jié)束時(shí)追逐者和逃逸者之間距離的下確界。主要目的是建立可容許的追逐策略來保證博弈從任何給定的初始位置是追逐完備的。

關(guān)鍵詞：追逐微分博弈；積分約束；策略；追逐完備

DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.01.021

收稿日期：2014-04-02

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71471051)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY12A01002)

通信作者：

作者簡(jiǎn)介：馮亞琴(1989-)，女，陜西安康人，在讀研究生，應(yīng)用數(shù)學(xué).洪世煌教授，E-mail: hongshh@hotmail.com.

中圖分類號(hào)：O225

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：：A

文章編號(hào)：：1001-9146(2015)01-0101-03

Abstract:In this paper， we consider a pursuit differential game of many pursuers and one evader in Hilbert space， which is described by the second-order differential equations. In process of the game， control functions of the players are subjected to integral constraints， the payoff function is the greatest lower bound of distances between the pursuers and evader when the game is terminated. The main result of this paper is to constructing the admissible strategies of the pursuers to guarantee the completion of pursuit from any given initial position in the game.

0引言

追逐微分博弈問題是如何建立可容許的追逐策略引導(dǎo)一個(gè)或一組追逐者捕捉一個(gè)移動(dòng)逃逸目標(biāo)，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)又是博弈理論的熱點(diǎn)問題，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)它已經(jīng)做了大量的研究。例如，關(guān)于用一階微分方程描述的追逃微分博弈[1-4]，對(duì)局中人的控制函數(shù)都強(qiáng)加上了積分約束的條件，最終建立最優(yōu)追逐策略或者得到追逐完備的充分條件。文獻(xiàn)[5]考慮了多個(gè)局中人的追逃微分博弈，最終建立了局中人的最優(yōu)策略。為了解決這些博弈問題，通常借助一個(gè)輔助博弈即一人追逐一人逃逸的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的追逐微分博弈，而本文在文獻(xiàn)[5]的啟發(fā)下，將二階微分方程描述的追逐微分博弈轉(zhuǎn)化成等價(jià)的一階微分方程描述的追逐微分博弈，然后直接建立可容許的追逐策略來得到追逐完備的充分條件。

1預(yù)備知識(shí)

在l2空間上，考慮多個(gè)追逐者P1，P2，…，Pm和一個(gè)逃逸者E的追逐微分博弈，通過以下微分方程來描述：

(1)

為了解決這個(gè)博弈問題，考慮一個(gè)相同支付函數(shù)的等價(jià)追逐微分博弈來替代由式(1)描述的追逐微分博弈，這個(gè)等價(jià)博弈通過下述系統(tǒng)方程描述：

(2)

另一方面，由式(2)也可以得到上述的結(jié)果。

2主要結(jié)論

定理如果ρ2>3σ2，則博弈(2)在給定的追逐策略Ui1(t)，0≤t≤θ下是追逐完備的。

證明為了證明上述定理，需討論兩種情況。

3結(jié)束語

本文在Hilbert空間上，討論一類關(guān)于二階微分方程的追逐微分博弈問題，通過轉(zhuǎn)化的等價(jià)追逐微分博弈以及建立可容許的追逐策略得到追逐完備的充分條件。得到的結(jié)果可以看作是有限維空間中簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的追逐微分博弈的拓展。在此基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步嘗試研究由非線性微分方程描述的追逐微分博弈問題。

參考文獻(xiàn)

[1]Ja’afaru A B， Ibragimov G I. On some pursuit and evasion differential game problems for an infinite number of first-order differential Equations[J]. Journal of Applied Mathematics，2012:1-13.

[2]Ibragimov G I. A game problem on a closed convex set[J]. Siberian Advances in Mathematics，2001，4(2)：96-112.

[3]Leong W J， Ibragimov G I. A multi-person pursuit problem on a closed convex set in Hilbert space[J]. Far East Journal of Applied Mathematics，2008，33(2)：205-214.

[4]Ibragimov G I， Satimov N M. A multiplayer pursuit differential game on a closed convex set with integral constraints[J]. Abstract and Applied Analysis，2012:1-12.

[5]Ibragimov G I， Salimi M. Pursuit-evasion differential game with many inertial players[J]. Mathematical Problems in Engineering，2009:1-15.

On Pursuit Differential Game Problems for

a Second-order Differential Equations

Feng Yaqin， Hong Shihuang， Li Chunhong

(SchoolofScience，HangzhouDianziUniversity，HangzhouZhejiang310018，China)

Key words: pursuit differential game; integral constraints; strategies; the completion of pursuit