基于徑向剖分的井地三維有限元電阻率與極化率模擬

黃俊革, 李林杰, 農(nóng)觀海,2, 閆懷超, 高文利, 林振洲

(1.上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 城市建設(shè)與安全工程學(xué)院，上海 201418;

2.桂林理工大學(xué) 地球科學(xué)學(xué)院，桂林 541004;

3.中國(guó)地質(zhì)科學(xué)院 地球物理地球化學(xué)勘查研究所，河北 廊坊 065000)

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基于徑向剖分的井地三維有限元電阻率與極化率模擬

黃俊革1, 李林杰1, 農(nóng)觀海1,2, 閆懷超1, 高文利3, 林振洲3

(1.上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 城市建設(shè)與安全工程學(xué)院，上海 201418;

2.桂林理工大學(xué) 地球科學(xué)學(xué)院，桂林 541004;

3.中國(guó)地質(zhì)科學(xué)院 地球物理地球化學(xué)勘查研究所，河北 廊坊 065000)

[摘要]采用徑向剖分的有限元法對(duì)井地三維電阻率法進(jìn)行數(shù)值模擬，以適應(yīng)不同觀測(cè)裝置對(duì)數(shù)值模擬的要求。以井口為中心，將區(qū)域在環(huán)鉆孔方向以45°夾角均勻剖分為八等分，再在直徑方向上等距離剖分。徑向剖分形成的單元呈環(huán)形分布，更符合井中電場(chǎng)的分布規(guī)律。與這種剖分相對(duì)應(yīng)，設(shè)計(jì)了以井口為中心布置4條放射狀測(cè)線(“米”字形)的井地觀測(cè)裝置，解決了井旁地質(zhì)體位置未知的情況下難以確定觀測(cè)方向的問題。通過對(duì)典型的地質(zhì)模型進(jìn)行有限元正演模擬計(jì)算，結(jié)果表明徑向剖分?jǐn)?shù)值模擬方法是可行的、準(zhǔn)確的；以這種井地觀測(cè)方式探測(cè)位置未知的地質(zhì)體是行之有效的。

[關(guān)鍵詞]井地；徑向剖面；有限元；電阻率； 極化率

傳統(tǒng)的井中電阻率測(cè)深大都采用單方向或向量激發(fā)的方式通過平行測(cè)線進(jìn)行觀測(cè)，在探測(cè)井旁盲礦、油氣藏邊界探查等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1]?；诳辈樾枨蠛蛻?yīng)用領(lǐng)域的拓展，推動(dòng)了井中電阻率測(cè)深的理論研究，如Wang等、Avdeev 等分別用有限差分和積分方程法對(duì)電阻率測(cè)井進(jìn)行了三維模擬[2,3]；王志剛等對(duì)井地直流電法三維數(shù)值模擬及異常規(guī)律研究[4]。劉雪軍等應(yīng)用正演模擬方法研究供電電極在井中針對(duì)儲(chǔ)集目標(biāo)供電激發(fā)時(shí)，地下與地面電磁場(chǎng)的異常特征[1]；戴前偉等利用雙頻激電井地電位技術(shù)研究剩余油分布[5]；毛立峰等對(duì)井-地交流電法的矢量有限元三維正演問題進(jìn)行了研究[6]；何展翔等在圈定油氣藏、研究?jī)?chǔ)層分布、油井的注水和注漿的動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)方面均取得了一定的效果[7]；李長(zhǎng)偉等研究了不同測(cè)量方式( 井-地，地-井，井-井) 下點(diǎn)源場(chǎng)井中電法的三維有限元數(shù)值模擬[8,9]；呂玉增等研究了地井五方位測(cè)量方法及正反演[10,11]；岳建華等研究了井-地三維電阻率成像技術(shù)及實(shí)現(xiàn)方法[12]。這些方法中，大都以地質(zhì)體所在方位為主要探測(cè)方向，以井口為中心布置平行測(cè)網(wǎng)。在這樣的探測(cè)方式中，地質(zhì)體位置與探測(cè)異常的幅值有很大的關(guān)系，在探測(cè)之前必須確定正確的觀測(cè)方向，才可以有效突出地質(zhì)體異常，減少干擾異常；但在地下地質(zhì)體位置未知的情況下，很難預(yù)先確定測(cè)線的布置方向。為此我們?cè)O(shè)計(jì)了以井口為中心布置4條放射狀測(cè)線的井地徑向觀測(cè)裝置，井中供電，地面測(cè)量相鄰2個(gè)電極間的電位差，這樣可以有效解決井旁盲礦體位置未知的情況下難以確定觀測(cè)方向的問題，提高對(duì)井旁地質(zhì)體的勘探能力，在探測(cè)地下水流向的工作中這種電極布設(shè)方式被廣泛采用。針對(duì)這種觀測(cè)方式，井地電法的數(shù)值模擬進(jìn)行區(qū)域離散時(shí)，難以將其離散成六面體單元，且網(wǎng)格疏密不易控制，在剖分單元的3個(gè)方向上長(zhǎng)度不能同時(shí)放大，造成網(wǎng)格剖分困難[8]。本文針對(duì)井中電場(chǎng)分布的特點(diǎn)和井地徑向觀測(cè)裝置，設(shè)計(jì)了井地電場(chǎng)基于徑向剖分的三維電阻率法有限元數(shù)值模擬方法，對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行統(tǒng)一的四面體剖分，以適應(yīng)徑向剖分多種網(wǎng)格單元并存的情況。通過對(duì)典型模型模擬計(jì)算并分析其異常特征, 結(jié)果表明該方法效果良好。

1井地徑向電阻率、極化率觀測(cè)方式

一般來說，為探測(cè)地下地質(zhì)體，獲得最大觀測(cè)異常，應(yīng)首先確定地下目標(biāo)體的走向等信息，再確定觀測(cè)主剖面、布置測(cè)網(wǎng)。井地徑向三維電阻率、極化率測(cè)量方法使用的是單極—偶極裝置,其基本思想是在井下以滾動(dòng)形式進(jìn)行點(diǎn)電源供電，地面上以井口為中心布置4條放射狀(“米”字形)測(cè)線(圖1)，測(cè)量測(cè)線上相鄰電極之間的電位差，得到地下目標(biāo)體視電阻率、視極化率信息。這種測(cè)量方式，無須預(yù)先確定觀測(cè)主方位，便可得到地下地質(zhì)體分布信息。

圖1　井地徑向剖面三維電阻率觀測(cè)方式示意圖Fig.1　Sketch of borehole-ground radial section 3-D resistivity survey method

2區(qū)域離散與單元分析

以有限單元法對(duì)區(qū)域進(jìn)行三維模擬計(jì)算時(shí)，大都將觀測(cè)區(qū)域均勻剖分成六面體，遠(yuǎn)離井口的大規(guī)模地質(zhì)體需在3個(gè)方向(X、Y、Z)的剖分中占用很多剖分單元，剖分的適應(yīng)性不佳。為了提高井地電法模擬的單元適應(yīng)能力，我們采用以井口為中心，在直徑方向(R方向)上、深度方向上(Z方向)等距離剖分，在環(huán)鉆孔方向以45°夾角均勻剖分為八等分(圖2)。采用這樣的網(wǎng)格單元剖分方法對(duì)區(qū)域進(jìn)行剖分，一方面使單元體積與單元到井孔的距離呈正比，即單元距離井口越遠(yuǎn)，單元體積越大，同樣的剖分區(qū)域占用的網(wǎng)格數(shù)量大幅減少；另一方面，由于區(qū)域剖分單元以井口為中心環(huán)形分布，單元的一個(gè)邊與電場(chǎng)等位線基本重合，與地井電場(chǎng)分布的實(shí)際情況更加吻合，提高了該單元節(jié)點(diǎn)之間的電位插值精度，從而可以提高正演的精度和速度。

圖2　三維空間剖分示意圖Fig.2　Sketch of 3-D spatial division(A)目標(biāo)區(qū)網(wǎng)格剖分俯視圖;(B)目標(biāo)區(qū)網(wǎng)格剖分側(cè)視圖

將區(qū)域進(jìn)行剖分時(shí)，與井口相鄰的單元被剖分成三棱柱，其他單元被剖分成水平截面為梯形的六面體(圖3)。為了將網(wǎng)格剖分和算法統(tǒng)一，我們將每個(gè)六面體單元首先剖分成2個(gè)三棱柱單元, 再對(duì)每個(gè)三棱柱單元按照右手螺旋規(guī)則剖分成4個(gè)四面體，單元剖分規(guī)則和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖3所示。這樣就可以實(shí)現(xiàn)在不增加節(jié)點(diǎn)數(shù)又能得到盡量多的剖分單元,從而達(dá)到提高有限單元計(jì)算精度的目的。

下面我們以節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1, 2, 3, 5的四面體單元說明單元節(jié)點(diǎn)電位求解的過程。假設(shè)1, 2, 3, 5節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3), (x4,y4,z4);p(x,y,z)為四面體內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)(圖4)，p點(diǎn)的位置可寫為以下4個(gè)表達(dá)式[13]

Li是x,y,z的線性函數(shù)，例如

其中

圖3　模型單元剖分示意圖Fig.3　Sketch of the model elements division(A)三棱柱體單元剖分示意圖; (B)六面體單元剖分示意圖

圖4　四面體單元示意圖Fig.4　Sketch of tetrahedron elements

是與四面體頂點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的常數(shù)。類似地，可得到L2,L3,L4。

單元中電位采用線性插值，u=α1x+α2y+α3z+α4,根據(jù)4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)值，可確定4個(gè)系數(shù)α1, …,α4,可寫成

其中形函數(shù)Ni=Li(i=1,…,4)。

為提高計(jì)算精度,采用三維電場(chǎng)的異常電位法求解[13],單元的電位列向量ue擴(kuò)展成全體節(jié)點(diǎn)的電位列向量u，可以得到以下方程組

Ku=-K′u0

(1)

其中K和K′為系數(shù)矩陣，u為待求異常電位向量，u0為正常電位向量。井-地觀測(cè)方式均勻半空間中的正常電位表達(dá)式為

(2)

式中的r′為鏡像電源到觀測(cè)點(diǎn)之間的距離。由于觀測(cè)點(diǎn)位于地表，顯然有r=r′，解線性方程組(1)，可得各結(jié)點(diǎn)的異常電位u，與預(yù)先計(jì)算的各節(jié)點(diǎn)正常電位u0相加，便可得到節(jié)點(diǎn)的總電位[14]。

3視極化率的計(jì)算

(3)

故

ηs=1-ρs2/ρs1

(4)

其中:ΔU為極化場(chǎng)電位差; ΔU1為一次場(chǎng)電位差; ΔU2為二次場(chǎng)電位差; ηs表示視極化率。

4數(shù)值算例與結(jié)果分析

4.1井旁低阻高極化模型

圖5為一個(gè)直立井模型，井深20m。模型中井旁有一個(gè)棱柱地質(zhì)體(位于南北方向測(cè)線第5斷面下部，地質(zhì)體的尺寸以及形狀見圖6)。其電阻率為5Ω·m，極化率為20%；圍巖電阻率為100Ω·m，極化率為5%；地質(zhì)體中心與井孔間的距離4m，距離地面6m。地面上以井口為中心布置4條放射狀測(cè)線(圖1)，供電點(diǎn)依次由淺及深(-1～-13m)供電，測(cè)量地面相鄰兩個(gè)電極的電位差，測(cè)線上2個(gè)測(cè)量電極之間的距離為1m。視電阻率、視極化率斷面圖成圖規(guī)則是，以供電點(diǎn)深度為Z坐標(biāo)，觀測(cè)點(diǎn)中心坐標(biāo)為X、Y坐標(biāo)，共形成南北(5-1)、南西-北東(6-2)、西東(7-3)、西北-東南(8-4)方向4個(gè)斷面。

圖5　井旁低阻高極化模型示意圖Fig.5　Schematic diagram of model 1

圖6　異常體三維模型Fig.6　3-D model anomalous body

從圖7(A)、(B)的低阻棱柱視電阻率南-北、東北-西南方向剖面可見，鉆井兩側(cè)附近出現(xiàn)一對(duì)高幅值、直立脈沖形異常，鉆井靠異常體一側(cè)的脈沖異常為低阻，與地質(zhì)體電性對(duì)應(yīng),另一側(cè)為高阻。低阻脈沖異常頂部深度約為6m，呈下窄上寬的形態(tài)，低阻異常上部的寬度與地質(zhì)體寬度基本一致。從圖7(C)、(D)的視電阻率西-東、北西-南東方向剖面的異常特征圖可見，除在井孔的兩側(cè)附近出現(xiàn)一對(duì)直立脈沖形異常外，脈沖異常的頂部出現(xiàn)一個(gè)扁平馬鞍形低阻異常，與低阻地質(zhì)體在斷面上的投影位置和電性基本對(duì)應(yīng)。總體來說，各方向斷面均可見低阻體異常，且異常位置與地質(zhì)體位置或地質(zhì)體在斷面上的投影位置相對(duì)應(yīng)。

圖7　低阻高極化地質(zhì)體井地徑向剖分?jǐn)?shù)值模擬視電阻率斷面Fig.7　Apparent resistivity sections on low resistivity & high polarizability geological body borehole-ground radially split numerical simulation

從視極化率剖面圖(圖8)可以看到，井孔兩側(cè)同樣出現(xiàn)脈沖形高、低視極化率異常，高極化異常位于地質(zhì)體一側(cè)或與地質(zhì)體投影位置相對(duì)應(yīng)，最大異常達(dá)到9.8%，呈上寬下窄之勢(shì)，異常外邊緣與地質(zhì)體外邊緣對(duì)應(yīng)良好。在各個(gè)方向的斷面中均見極化率異常，位置對(duì)應(yīng)良好，異常值大小與觀測(cè)斷面和地質(zhì)體間距離相關(guān)。

為了檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否準(zhǔn)確，計(jì)算精度是否滿足要求，利用較為成熟的井地三極測(cè)深裝置六面體剖分?jǐn)?shù)值模擬解與井地徑向剖分的數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。如圖9(A)所示，低阻立方體棱長(zhǎng)4m，電阻率5Ω·m，位于南北方向測(cè)線的下方，中心距離井孔4m，背景電阻率100Ω·m，供電點(diǎn)位于井中-1～-13m，觀測(cè)點(diǎn)極距1m。對(duì)比圖9(B)所示的視電阻率斷面和圖7(A)，異常形態(tài)基本相似。從表1的異常幅值的差異來看，均小于5%，兩種模擬結(jié)果有差異主要是由于地質(zhì)體體積差異所致。

4.2井旁高阻高極化模型

井旁高阻高極化模型的異常體位置、形態(tài)與井旁低阻高極化模型完全相同，只在電性上不同。異常地質(zhì)體的電阻率為1 000Ω·m，極化率20%；圍巖電阻率100Ω·m，極化率5%。

從模型的視電阻率斷面(圖10)來看，井孔深部?jī)蓚?cè)有2個(gè)縱向、性質(zhì)相反的條帶狀異常，高阻異常位于南側(cè)，與鉆孔南側(cè)地質(zhì)體的性質(zhì)相對(duì)應(yīng)，異常頂部深度與地質(zhì)體頂部基本吻合，但異常的位置與地質(zhì)體對(duì)應(yīng)不佳。

從視極化率斷面來看，井孔的深部?jī)蓚?cè)出現(xiàn)了2組高低極化條帶狀異常，高極化異常位于高極化地質(zhì)體一側(cè)。除東西方向的視極化率斷面(圖11-C)與地質(zhì)體的位置對(duì)應(yīng)不佳外，其余斷面的高極化與地質(zhì)體的位置對(duì)應(yīng)良好。這種情況，與東西方向的觀測(cè)斷面與地質(zhì)體距離較大有關(guān)，而這一特征，更有利于地下地質(zhì)體的定位。

圖8　低阻高極化地質(zhì)體井地徑向剖分?jǐn)?shù)值模擬視極化率斷面Fig.8　Apparent polarizability sections on low resistivity high polarizability geological & body borehole-ground radially split numerical simulation

圖9　六面體模型及視電阻率斷面圖Fig.9　Schematic diagram of cube geological model and apparent resistivity section

觀測(cè)點(diǎn)位視電阻率/Ω·mXYZ徑向剖分六面體剖分相對(duì)誤差/%觀測(cè)點(diǎn)位視電阻率/Ω·mXYZ徑向剖分六面體剖分相對(duì)誤差/%0-18.5-3102.4103.5-1.10-8.5-389.486.63.20-17.5-3102.1103.3-1.20-7.5-387.084.03.50-16.5-3101.6102.9-1.30-6.5-385.483.81.90-15.5-3101.0102.4-1.40-5.5-385.586.4-1.00-14.5-3100.2101.7-1.50-4.5-387.791.0-3.70-13.5-399.2100.6-1.40-3.5-391.395.7-4.50-12.5-397.999.0-1.10-2.5-395.399.6-4.60-11.5-396.396.8-0.50-1.5-399.1102.4-1.30-10.5-394.393.90.50-0.5-3103.7106.0-2.20-9.5-392.090.31.800.5-399.495.14.4

4.3井孔穿過低阻高極化體模型

如圖10(A)所示，模型中井孔穿過八棱柱低阻體(低阻地質(zhì)體的尺寸以及形狀參見圖10-B)。八棱柱上表面距離地面4 m，縱向延伸4 m，低阻

圖10　高阻高極化地質(zhì)體井地徑向剖分?jǐn)?shù)值模擬視電阻率斷面Fig.10　Apparent resistivity sections of high resistivity and polarizability geological body borehole-ground radially split numerical simulation

八棱柱電阻率5 Ω·m，極化率為20%；圍巖電阻率為100 Ω·m，極化率為5%。這種模型主要針對(duì)地下水流速測(cè)定時(shí)，井孔中注以鹽水等低電阻率模型而設(shè)計(jì)，主要勘察低阻高極化率物質(zhì)被注入時(shí)視電阻率、視極化率的異常。

由于模型呈軸對(duì)稱，各個(gè)方向的視電阻率、視極化率斷面完全相同，因此僅呈現(xiàn)南北方向斷面即可(圖11-A、B)。圖11(A)的視電阻率斷面圖顯示，低阻馬鞍狀異常在寬度、深度方向的延展范圍與低阻體形狀基本一致，異常形態(tài)在水平方向上以井孔為中心對(duì)稱分布。圖11(B)所示的視極化率異常，在井孔周圍出現(xiàn)一個(gè)圓錐形高低極化異常，上部中心為低極化異常，最大幅值-22%，

與異常體中心位置對(duì)應(yīng)；兩翼為10%左右的中極化異常，寬度與地質(zhì)體吻合，呈對(duì)稱分布；下部為以井孔為中心的高極化異常，最高異常幅值達(dá)到30%。 通過視電阻率和視極化率異常的位置與性質(zhì)，可以推斷地質(zhì)體空間分布和電性。

4.4井孔穿過非對(duì)稱形式的低阻高極化體模型

圖12所示模型，為測(cè)定地下水流速時(shí)，井中注入低阻高極化率介質(zhì)一段時(shí)間后，形成的低阻高極化率模型。上表面距離地面為4 m，縱向延伸6 m，低阻八棱柱電阻率10 Ω·m，極化率為10%；圍巖電阻率為100 Ω·m，極化率為5%。

從圖13和圖11的視電阻率斷面圖對(duì)比來看，圖13(A)的視電阻率異常在井孔南北兩側(cè)呈明顯的非對(duì)稱現(xiàn)象，井孔的南側(cè)(-5～0 m)、視深度-4～-9 m之間存在明顯的低阻異常，深部在井孔的南北兩側(cè)出現(xiàn)條帶狀異常。圖13(B)的視極化率異常同樣出現(xiàn)不對(duì)稱現(xiàn)象，井孔的南側(cè)(-5～0 m)、視深度-4～-9 m之間存在明顯的高極化率異常，深部在井孔的南北兩側(cè)出現(xiàn)條帶狀異常。從視電阻率和視極化率的斷面圖中可以很好地判斷水流的方向。

圖11　高阻高極化地質(zhì)體井地徑向剖分?jǐn)?shù)值模擬視極化率斷面Fig.11　Apparent polarizability sections of high resistivity & high polarizability geological body borehole-ground radially split numerical simulation

圖12　模型示意圖Fig.12　Schematic diagram of models

圖13　南-北方向視電阻率、視極化率斷面Fig.13　Apparent resistivity and polarizability sections in south-north direction(A)視電阻率斷面圖; (B)視極化率斷面圖

圖14　模型示意圖Fig.14　Schematic diagram of a model

圖15　南-北方向視電阻率、視極化率斷面Fig.15　Apparent resistivity and polarizability sections in south-north direction(A)視電阻率斷面圖; (B)視極化率斷面圖

5結(jié) 論

本文給出一種適合井地電阻率、極化率觀測(cè)的三維徑向剖分的有限單元法數(shù)值模擬技術(shù)，通過與井地三極測(cè)深裝置六面體剖分?jǐn)?shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行比較，證明井地徑向剖分?jǐn)?shù)值模擬方法計(jì)算結(jié)果正確，滿足異常分析的要求。通過對(duì)幾個(gè)典型的地質(zhì)模型的正演模擬計(jì)算, 分析其視電阻率和視極化率異常的分布規(guī)律，結(jié)果表明井地徑向觀測(cè)系統(tǒng)在探測(cè)位置未知的地質(zhì)體是可行、有效的，尤其在地下水流向觀測(cè)方面，徑向剖分的數(shù)值模擬方式與觀測(cè)裝置的吻合性更好。

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3-D FEM modeling of borehole-ground resisitivity and

polarizability based on radial subdivision

HUANG Jun-Ge1, LI Lin-jie1, NONG Guan-hai1,2,

YAN Huai-chao1, GAO Wen-Li3, LIN Zhen-Zhou3

1.SchoolofConstructionandSafetyEngineering,ShanghaiInstituteofTechnology,Shanghai201418,China;

2.CollegeofEarthScience,GuilinUniversityofTechnology,Guilin541004,China;

3.InstituteofGeophysicalandGeochemicalExploration,CAGS,Langfang, 065000,China

Abstract:In order to fit different detecting installations, this paper makes 3-D modeling of the borehole-ground resisitivity and polarizability based on the radial division. Taking the well mouth as the centre, the region is equably divided into 8 sectors by 4 radial lines on the ground with the angle of 45° between two lines. Each sector is divided by a regular distance on radial line. The radial subdivision cells present a circular form, which is more coincidental with the distribution of an electric field. The paper designs the borehole-ground observation installation by setting 4 radial survey lines taking the well mouth as the center, thus, the surveying direction can be set under the unknown geologic bodies. The calculating of typical models shows that the subdivision method is correct and feasible. The surveying method by arraying around wells to detect the unknown position of geologic bodies is effective.

Key words:borehole-ground; radial subdivision; FEM; resisitivity; polarizability

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼][分類號(hào)] P631.3 A