沖擊荷載作用下彈性壓桿的動力穩(wěn)定分析

孫建鵬，譚天宇，黃文鋒

(1.西安建筑科技大學土木工程學院，陜西 西安 710055；2.合肥工業(yè)大學水利與土木工程學院，安徽 合肥 230009)

受壓桿件是工程結(jié)構(gòu)中常見的重要受力構(gòu)件，被廣泛的應(yīng)用到土木工程領(lǐng)域中．例如橋梁工程中的橋墩，建筑結(jié)構(gòu)工程中的柱子以及桁架結(jié)構(gòu)中的受壓桿件等．受壓桿件由于較大的長細比，其穩(wěn)定性能成為該類構(gòu)件在受力分析時必須考慮的一個重要指標．受壓桿件的靜力穩(wěn)定性問題已得到完善的解決[1-4]，一些學者對其動力穩(wěn)定問題進行了一定的研究[5-10]．

傳遞矩陣法[11]因其力學概念清晰，涉及的系統(tǒng)矩陣階次低，計算速度快等特點引起了科研工作者的青睞[12-15]．

而有關(guān)傳遞矩陣理論應(yīng)用到結(jié)構(gòu)動力穩(wěn)定分析的文獻至今未見報道．為了進一步擴展傳遞矩陣理論的應(yīng)用領(lǐng)域，研究彈性壓桿在沖擊荷載作用下的穩(wěn)定性能，在文獻[4]的基礎(chǔ)上，對沖擊荷載作用下彈性壓桿動力穩(wěn)定分析的傳遞理論進行了推導，建立了分析受壓桿件動力穩(wěn)定分析的傳遞矩陣．通過算例分析，驗證了所提理論及推導的傳遞矩陣的正確性．同時，對不同沖擊荷載作用下的動力行為進行了分析研究．本文所提出的方法可以適用于任意形式的動力荷載，具有很好的適用性．

1 精細傳遞矩陣

此處以一簡支的受壓桿件為例進行闡述，其力學簡圖如圖1所示．圖中EI(x)為受壓桿件的抗彎剛度，P(t)為墩頂受到的沿桿件軸向的沖擊荷載，為受壓桿件的單位長度的質(zhì)量，w(x,t)為x處t時刻沿y方向的撓度，L為桿件的總長度．為了簡化，此處忽略桿件的軸向慣性力．此時，受壓桿件的動力穩(wěn)定平衡方程為[16]

圖1 受壓桿件力學簡圖Fig.1 The model and mechanical diagram of bridge pier

根據(jù)受壓桿件的彎曲平衡條件有以下關(guān)系式：

公式(2)兩邊對x進行求導得：

撓曲線的近似微分方程為

式中：w′′(x,t)為撓度w(x,t)對x的兩階導數(shù)，為t時刻x處的彎矩．

轉(zhuǎn)角θ(x,t)與撓度w(x,t)的關(guān)系為

由于受壓桿件上的剪力集度為慣性力，且存在以下關(guān)系：

結(jié)合公式(1)，式(6)可表示為

受壓桿件x截面t時刻的狀態(tài)向量為

將公式(3)-(5)和公式(7)表達成矩陣的形式為

根據(jù)文獻[4]可以得到受壓桿件j段兩端的傳遞關(guān)系：

其中：jΓ為受壓桿件j段的傳遞矩陣，為j段上下兩端的狀態(tài)向量．

圖2 受壓桿件離散分析模型Fig.2 Discrete system of column subjected to impact loads

結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)簡化成離散結(jié)構(gòu)進行計算分析同樣可以得到滿意得計算精度．受壓桿件的離散分析模型如圖2所示．

離散分析模型中包含兩種單元，一種是沒有質(zhì)量的理想彈性梁單元，另一種是沒有體積的集中質(zhì)量體?與之相對應(yīng)的傳遞矩陣為無質(zhì)量的場矩陣和沒有體積的點矩陣

2 分步時間積分法

在進行動力時程分析時，需要在時域內(nèi)對時間進行離散，通過數(shù)值積分獲得下一時間點的狀態(tài)向量．此處采用較為常用的Newmark-β法進行數(shù)值積分運算．

ti時刻的速度加速度可以表示成為ti時刻的撓度w(x,t)的線性函數(shù)如式(13)、式(14)所示：

ti-1時刻的位移加速度已知，則和也成為已知數(shù)．

3 總傳遞矩陣及求解流程

若受壓桿件被劃分為m個單元，且所有場矩陣和點矩陣都以后有如下表達式：

式中，Γ為總傳遞矩陣．

當總傳遞矩陣確定好之后，借助邊界條件就可以求得ti時刻各離散單元兩端的未知狀態(tài)向量．

通過第二部分介紹的分布時間積分法可以進行下一時刻的狀態(tài)向量計算，直至計算完成，其求解流程如圖3所示．

圖 3 求解流程圖Fig. 3 Flow chart of algorithms for the proposed method

4 算例計算

某一受壓桿件長度為L=8.0 m，截面面積為0.96 m2，抗彎慣性矩為：0.051 2 m4，其離散計算模型如圖2所示，該桿件共離散為8個無質(zhì)量的兩單元和7個無體積的集中質(zhì)量體單元，集中質(zhì)量體的質(zhì)量為：mj=2 592 kg（j=1，2，3，4，5，6，7）．桿件頂部受到的壓力為P（t），其表達式為

當荷載持續(xù)時間較小時，P（t）為一般的正弦脈沖荷載，當荷載持續(xù)時間趨于無窮視為正弦周期荷載．限于偏幅，此處分析一般脈沖荷載作用下動力穩(wěn)定性，探討參數(shù)Pt持續(xù)時間t0和振動頻率θ對動力穩(wěn)定特征的影響．本文運用Matlab語言編輯了相應(yīng)的計算分析程序，對該模型進行計算分析．

圖4為不同Pt時的桿件動態(tài)響應(yīng)，持續(xù)時間t0和振動頻率θ分別為：0.314 s，10 rad；時間步長取0.001 s；圖5為不同持續(xù)時間t0的桿件動態(tài)響應(yīng)，此時峰值荷載Pt和振動頻率θ分別為25 MN，10 rad；圖6為不同振動頻率θ對動力穩(wěn)定特征的影響，此時峰值荷載Pt和荷載持續(xù)時間t0分別為10 MN，1.0 s．

圖4 不同Pt 作用下跨中第 4 質(zhì)量體的動態(tài)響應(yīng)時程曲線Fig.4 The time history response curves of the fourth quality at midspan with variational Pt

從圖4中可以看處，當自振頻率為10 rad，荷載持續(xù)時間為0.314 s時，峰值荷載的大小對受壓桿件的動態(tài)響應(yīng)具有一定的影響．峰值荷載較小時對受壓桿件的影響較小，結(jié)構(gòu)振動不會發(fā)生實質(zhì)性的變化既不會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象．隨著荷載峰值的增加脈沖荷載對結(jié)構(gòu)的影響逐漸變大，當荷載達到某一值時將引起結(jié)構(gòu)振動發(fā)生本質(zhì)變化即失穩(wěn)現(xiàn)象，如圖中Pt=2 MN．失穩(wěn)荷載可以根據(jù)結(jié)構(gòu)振動的位移特征來確定，即荷載達到某值結(jié)構(gòu)出現(xiàn)違反未加軸向荷載時振動規(guī)律的現(xiàn)象時認為發(fā)生了失穩(wěn)現(xiàn)象，此時的荷載為動力失穩(wěn)荷載．本算例的動力失穩(wěn)荷載為：1.552 5MN．

圖5 不同t0時跨中第4 質(zhì)量體的動態(tài)響應(yīng)時程曲線Fig.5 The time history response curves of the fourth quality at midspan with variational t0

從圖5可以看處，當峰值荷載為25 MN，自振頻率為10 rad時，荷載持續(xù)時間的大小對受壓桿件的動態(tài)響應(yīng)具有一定的影響．由于和在峰值大于動力失穩(wěn)荷載所以只要持續(xù)時間大于T/4，結(jié)構(gòu)就會有明顯的振動實質(zhì)性變化，隨著持續(xù)時間的延長這種現(xiàn)象將以規(guī)律性（周期性）出現(xiàn)（如圖4(b)、圖5(b)所示），且動力失穩(wěn)荷載為同一值： 15.525 MN．這為發(fā)現(xiàn)和確定動力失穩(wěn)荷載提供了一條新的途徑和辦法．

從圖6可以看處，當峰值荷載Pt=10 MN，載持續(xù)時間為4.0 s時，荷載振動頻率的大小對受壓桿件的動態(tài)響應(yīng)具有一定的影響．隨著荷載頻率的增加結(jié)構(gòu)的振動逐漸出現(xiàn)了“節(jié)拍”的現(xiàn)象，而且“節(jié)拍”個數(shù)逐漸減小，而節(jié)拍的幅值逐漸增大，當合為半個“節(jié)拍”時隨著荷載的持續(xù)施加振幅將持續(xù)增大不再收斂，這與結(jié)構(gòu)受迫振動的現(xiàn)象是一致的．這一現(xiàn)象表明，受壓構(gòu)件的振動穩(wěn)定承載力與外部荷載的振動頻率有關(guān)，當外部荷載的振動頻率接近于結(jié)構(gòu)的自振頻率將降低結(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定性，即動力穩(wěn)定承載力將降低．

圖6 不同θ 時跨中第4 質(zhì)量體的動態(tài)響應(yīng)時程曲線Fig.6 The time history response curves of the fourth quality at midspan with variational θ

5 結(jié)論

通過本文的研究工作得出以下結(jié)論：

（1）建立了受壓桿件動力穩(wěn)定分析的傳遞矩陣；完善了傳遞矩陣的穩(wěn)定分析理論．

（2）算例驗證了本文所提理論及推導傳遞矩陣的正確性，為結(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定性判別提供了一條新的方法和思路．

（3）分析結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定分析比靜力穩(wěn)定分析復雜的多；受壓桿件在軸向荷載作用下呈現(xiàn)受迫振動的特點．

（4）結(jié)構(gòu)動力穩(wěn)定承載力的大小與動力荷載的振動特性有關(guān)．振動荷載的頻率越接近結(jié)構(gòu)的自振頻率，結(jié)構(gòu)的動力穩(wěn)定承載力越低．

因此，在確定承受動荷載的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定承載力時，要進行動態(tài)響應(yīng)分析，通過結(jié)構(gòu)的動態(tài)特點分析其是否穩(wěn)定．

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