修正雙線性模型對隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)影響的研究

金建敏，譚 平，周福霖，朱 健，黃襄云，莊學(xué)真

（1. 廣州大學(xué)工程抗震研究中心，廣東 廣州 510405； 2. 寧夏大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

橡膠隔震支座一般分為天然橡膠支座、鉛芯橡膠支座、高阻尼橡膠支座、錫芯橡膠支座等四種。隔震層可采用鉛芯橡膠支座+天然橡膠支座、高阻尼橡膠支座、天然橡膠支座+黏滯阻尼器（或鉛阻尼器）、或以上幾種隔震裝置的混合應(yīng)用。鉛芯橡膠支座(LRB)是目前在隔震建筑中采用最為廣泛的隔震裝置，它使隔震支座和阻尼器的功能一體化，可以單獨在隔震系統(tǒng)中使用，而無需另設(shè)阻尼器，使隔震系統(tǒng)的組成變得比較簡單[1]。在隔震計算分析中，國內(nèi)通常采用不考慮剪應(yīng)變相關(guān)性的微分型模型（Bouc-Wen模型）或雙線性模型模擬鉛芯橡膠支座[2-6]，而國外通常采用考慮剪應(yīng)變相關(guān)性的修正雙線性模型[7]或修正BRO模型（修正雙線性+RO模型）[8]，因此有必要研究考慮鉛芯橡膠支座剪應(yīng)變相關(guān)性對隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響．

1 鉛芯橡膠支座修正雙線性模型

鉛芯橡膠支座的雙線性模型，可表達為[9]：屈服前階段（彈性階段）

屈服后階段

式（1）、式（2）中的力學(xué)性能指標均由鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變?yōu)?00 %時壓剪試驗確定，實際上，剪應(yīng)變相關(guān)性是不宜忽略的；為考慮鉛芯橡膠支座剛度及屈服力的剪應(yīng)變相關(guān)性，日本 Oiles公司基于鉛芯橡膠支座的力學(xué)性能試驗，提出采用修正雙線型模型（圖 1）對屈服前、后剛度及屈服力進行了修正，剪應(yīng)變相關(guān)式見式(3)、式(4)：

式中，γ為剪切應(yīng)變，等于支座水平剪切位移x與內(nèi)部橡膠總厚Tr的比值。CKd(γ)、CQd(γ)分別為實測的屈服后剛度及屈服力的修正系數(shù)；分別為修正后屈服后剛度及屈服力；Kd100、Qd100分別為100 %剪應(yīng)變時的屈服后剛度及屈服力；K1(γ)為修正后屈服前剛度；α為屈服后剛度與屈服前剛度的比值。采用該修正公式后屈服后剛度在γ小于及大于100 %時將分別大于及小于Kd100，而屈服力在γ小于50 %時將小于Qd100；修正雙線性模型以式（5）為骨架曲線：

圖1 修正雙線性模型Fig. 1 Modified bilinear model

圖1中1為初始彈性段（－xe＜x＜xe），按下式確定初始彈性剛度（初始屈服前剛度）：

式中：xe為屈服位移，F(xiàn)e為屈服位移對應(yīng)的水平恢復(fù)力；2、3為沿骨架曲線移動； 4、5為卸載段；6、7為屈服后階段．

2 剪應(yīng)變相關(guān)性試驗值與剪應(yīng)變相關(guān)式對比

為驗證剪應(yīng)變相關(guān)式（3）及式（4）的正確性，分別對直徑為700 mm、1 000 mm、1 100 mm的鉛芯橡膠支座進行了豎向壓應(yīng)力15 MPa，剪切應(yīng)變γ=±50 %、±100 %、±150 %、±200 %、±250 %的壓剪試驗。所選用的支座為隔震工程中常用的G4(剪切模量0.392 MPa)、第2形狀系數(shù)S2=5系列，隔震支座參數(shù)(γ=±100 %）見表1．

表1 隔震支座參數(shù)(γ=±100 %)Tab.1 Data for LRB(γ =±100 %)

實測的屈服后剛度Kd及屈服力Qd以第3圈滯回曲線為準，不同剪切應(yīng)變γ的測試結(jié)果以γ=±100 %時的測試結(jié)果為基準值進行歸一化，并與剪應(yīng)變相關(guān)式進行了對比，對比結(jié)果見圖2及圖3。從對比結(jié)果可見，試驗結(jié)果與剪應(yīng)變相關(guān)式吻合較好，可采用式（3）及式（4）對不同剪切應(yīng)變γ的屈服后剛度Kd及屈服力Qd進行剪應(yīng)變相關(guān)性修正。圖4為采用修正雙線性恢復(fù)力模型的LRB1 000滯回曲線．

圖2 屈服后剛度Kd的剪應(yīng)變相關(guān)性Fig. 2 Shear strain dependency of post yielding stiffness

圖3 屈服力Qd的剪應(yīng)變相關(guān)性Fig. 3 Shear strain dependency of post yielding load

圖4 修正雙線性恢復(fù)力模型（LRB1 000）Fig. 4 Modified bilinear restoring force model（LRB1 000）

圖5 輸入地震波加速度反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜對比Fig. 5 Comparison of earthquake response spectrum

3 隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)影響分析

為探討修正雙線性恢復(fù)力模型對隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響，分別采用雙線性模型與修正雙線性恢復(fù)力模型來模擬鉛芯橡膠支座，對單質(zhì)點隔震結(jié)構(gòu)模型、多質(zhì)點隔震結(jié)構(gòu)模型進行了地震響應(yīng)分析。隔震層參數(shù)選用前節(jié)鉛芯橡膠支座同系列LRB800（S1=33.3，S2=5.1，內(nèi)部橡膠總厚為 156 mm）支座的參數(shù)（γ=±100 %），屈服后剛度、屈服力及等效阻尼比分別為 1.268 kN/mm、140.9 kN及24.9 %，屈服前剛度取為屈服后剛度的13倍；上部結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量為512.91 t（按支座壓應(yīng)力10 MPa確定），屈重比為2.80 %。輸入地震波選用El Centro-NS波、Taft-EW及一條與規(guī)范[10]反應(yīng)譜吻合的人工波，圖5為輸入地震波的加速度反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜（8度罕遇地震，Tg=0.4 s）的對比．

3.1 單質(zhì)點隔震結(jié)構(gòu)模型

單質(zhì)點隔震結(jié)構(gòu)模型的隔震后屈服后周期為 4 s，對其進行地震響應(yīng)分析，地震波加速度峰值從0.05 g至0.70 g以0.05 g為間隔逐步增加。圖6、圖7為不同地震波加速度峰值時雙線性模型與修正雙線性模型的隔震層位移比及隔震層剪力比，其中人工波輸入加速度峰值達到0.45 g以后，兩種雙線性模型的隔震層位移均達到 2.82Tr(0.55倍支座直徑)以上，超過規(guī)范限值[10]，后面的計算結(jié)果未給出。為對比兩種雙線性模型在鉛芯橡膠支座不同剪切應(yīng)變時的差異，將圖6、圖7中的橫坐標改為雙線性模型對應(yīng)于不同地震波加速度峰值的鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變，可得到圖8和圖9．

從圖6、圖7可見，當?shù)卣鸩铀俣确逯挡淮笥?.2g時，與修正雙線性模型相比，雙線性模型因未考慮剪應(yīng)變相關(guān)性造成的誤差較大，隔震層位移的誤差超過20 %，隔震層剪力的誤差超過10 %；當?shù)卣鸩铀俣确逯荡笥?.2 g時，隔震層位移的誤差基本減小至20 %以內(nèi)，隔震層剪力的誤差基本減小至10 %以內(nèi)；當?shù)卣鸩铀俣确逯荡笥?.3 g以后，隔震層位移的誤差也減小至10 %以內(nèi)。從圖8、圖9可見，鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變在50 %以下時，雙線性模型誤差較大；當雙線性模型計算的鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變大于50 %時，隔震層位移的誤差基本在20 %以內(nèi)，隔震層剪力的誤差基本在10 %以內(nèi)；當雙線性模型計算的鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變大于100 %時，隔震層位移的誤差基本在10 %以內(nèi)，且雙線性模型計算得到的隔震層剪力偏大。雙線性模型的誤差主要發(fā)生在地震波加速度峰值不大于0.2 g或鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變在50 %以下時．

3.2 多質(zhì)點隔震結(jié)構(gòu)模型

圖6 隔震層位移比（單質(zhì)點，不同加速度）Fig. 6 Displacement ratio of isolation layer(single-particle,different acceleration)

圖7 隔震層剪力比（單質(zhì)點，不同加速度）Fig. 7 Shear force ratio of isolation layer(single-particle,different acceleration)

圖8 隔震層位移比（單質(zhì)點，不同剪切應(yīng)變）Fig. 8 Displacement ratio of isolation layer(single-particle, different shear strain)

圖9 隔震層剪力比（單質(zhì)點，不同剪切應(yīng)變）Fig. 9 Shear force ratio of isolation layer(single-particle, different shear strain)

為彌補單質(zhì)點隔震模型簡化的不足及研究修正雙線性模型對上部結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響，建立上部結(jié)構(gòu)總質(zhì)量與單質(zhì)點隔震結(jié)構(gòu)模型相同的多質(zhì)點隔震結(jié)構(gòu)模型，上部結(jié)構(gòu)為10層(層高3m，彈性層間位移角限值按鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)取為1/550[10])，上部結(jié)構(gòu)底層水平剛度為99.01 kN/mm，頂層水平剛度為底層水平剛度的0.5倍，中間各層的水平剛度按梯形分布插值分布，隔震前周期為1 s；隔震層參數(shù)及地震波輸入工況同單質(zhì)點隔震結(jié)構(gòu)模型，多質(zhì)點隔震結(jié)構(gòu)模型的隔震后屈服后周期為4.09 s．

圖10、圖11、圖14及圖15分別為不同地震波加速度峰值時雙線性模型與修正雙線性模型的隔震層位移比、隔震層剪力比、上部結(jié)構(gòu)層剪力比及層傾覆彎矩比，其中人工波輸入加速度峰值達到0.45 g以后，兩種雙線性模型的隔震層位移均達到2.86Tr(0.56倍支座直徑)以上，超過規(guī)范限值[10]，后面的計算結(jié)果未給出。將圖10、圖11、圖14及圖 15中的橫坐標改為對應(yīng)的鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變（雙線性模型），得到圖12、圖13、圖16及圖17；分別為不同剪切應(yīng)變時（雙線性模型），雙線性模型與修正雙線性模型的隔震層位移比、隔震層剪力比、上部結(jié)構(gòu)層剪力比及層傾覆彎矩比。圖14-17中上部結(jié)構(gòu)層剪力比及層傾覆彎矩比，給出了各層比值中的最大值及最小值．

由圖10-13可見，當?shù)卣鸩铀俣确逯挡淮笥?.2 g或鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變在50 %以下時，雙線性模型因未考慮剪應(yīng)變相關(guān)性造成的誤差較大，隔震層位移的誤差超過20 %，隔震層剪力的誤差超過10 %；當?shù)卣鸩铀俣确逯荡笥?.2 g或雙線性模型計算的鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變大于50 %時，隔震層位移的誤差基本減小至20 %以內(nèi)，隔震層剪力的誤差基本減小至10 %以內(nèi)；當?shù)卣鸩铀俣确逯荡笥?.4 g或雙線性模型計算的鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變大于100 %時，隔震層位移的誤差也基本減小至10 %以內(nèi)，且雙線性模型計算得到的隔震層剪力偏大。鉛芯橡膠支座采用不考慮變形相關(guān)性的雙線性模型，多質(zhì)點與單質(zhì)點隔震結(jié)構(gòu)模型的隔震層地震響應(yīng)誤差范圍基本一致．

由圖14-17可見，雙線性模型上部結(jié)構(gòu)各層層剪力及層傾覆彎矩的誤差主要發(fā)生在地震波加速度峰值不大于 0.2 g或鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變在50 %以下時．當?shù)卣鸩铀俣确逯荡笥?.2 g以上或鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變在50 %以上時，上部結(jié)構(gòu)各層層剪力及層傾覆彎矩的誤差基本減小至 20 %以內(nèi)；隨著地震波加速度峰值或鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變增大，由各層層剪力及層傾覆彎矩比值最大值及最小值形成的包絡(luò)范圍有減小的趨勢．

表2給出了各地震波輸入，層間位移角小于1/550的最后一個工況及輸入加速度峰值最大的工況時的上部結(jié)構(gòu)層間位移角，Taft EW波各工況層間位移角均小于1/550，只列出輸入峰值0.7 g時的結(jié)果，可見上部結(jié)構(gòu)基本處于彈性．

圖10 隔震層位移比(多質(zhì)點，不同加速度)Fig. 10 Displacement ratio of isolation layer(multi-particle, different acceleration)

圖11 隔震層剪力比(多質(zhì)點，不同加速度)Fig. 11 Shear force ratio of isolation layer(multi-particle, different acceleration)

圖12 隔震層位移比(多質(zhì)點，不同剪切應(yīng)變)Fig. 12 Displacement ratio of isolation layer(multi-particle, different shear strain)

圖13 隔震層剪力比(多質(zhì)點，不同剪切應(yīng)變)Fig. 13 Shear force ratio of isolation layer(multi-particle, different shear strain)

圖14 層剪力比(多質(zhì)點，不同加速度)Fig. 14 Story shear ratio(multi-particle, different acceleration)

圖15 層傾覆彎矩比(多質(zhì)點，不同加速度)Fig. 15 Story overturning moment ratio(multi-particle,different acceleration)

圖16 層剪力比(多質(zhì)點，不同剪切應(yīng)變)Fig. 16 Story shear ratio(multi-particle,different shear strain)

圖17 層傾覆彎矩比(多質(zhì)點，不同剪切應(yīng)變)Fig. 17 Story overturning moment ratio(multi-particle,different shear strain)

表2 層間位移角Tab.2 Story drift

4 結(jié)論

研究了鉛芯橡膠支座的修正雙線性恢復(fù)力模型及其對隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響，結(jié)論如下：

（1） 通過對直徑為 700 mm、1 000 mm、1 100 mm的鉛芯橡膠支座進行的剪應(yīng)變相關(guān)性試驗，驗證了屈服后剛度Kd及屈服力Qd的剪應(yīng)變相

關(guān)性修正公式，使用該公式的修正雙線性模型，可用來模擬鉛芯橡膠支座．

本文隔震結(jié)構(gòu)模型的計算結(jié)果表明：當?shù)卣鸩铀俣确逯挡淮笥?.2 g或或鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變在50 %以下時，與修正雙線性模型相比，雙線性模型因未考慮剪應(yīng)變相關(guān)性造成的誤差較大；當?shù)卣鸩铀俣确逯荡笥?.2 g或鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變在50 %以上時，隔震層及上部結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)的誤差基本在20 %以內(nèi)．

綜上可見，不考慮剪應(yīng)變相關(guān)性的雙線性模型基本能夠滿足要求，但需注意到地震波加速度峰值或鉛芯橡膠支座剪切應(yīng)變較小時的較大誤差．

References

[1]周福霖. 工程結(jié)構(gòu)減震控制[M]. 北京：地震出版社,1997.ZHOU Fulin. Seismic control of structures[M]. Beijing：Seismological Press, 1997.

[2]BOUC R. Forced vibration of mechanical system with hysteresis [C]//Proceeding of 4th conference on nonlinear oscillation, Czechoslovakia, Prague ,1967.

[3]PARK Y J, WEN Y K , ANG A H-S. Random vibration of hysteretic systems under bi-directional ground motions[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,1986(14):543-557.

[4]中國建筑標準設(shè)計研究院.SAP2000中文版使用指南[M]. 北京：人民交通出版社,2006.China Institute of Building Standards Dsign & Research..Guide of SAP2000-Chinese version[M]. Beijing：People′s Communication Press,2006.

[5]中國建筑標準設(shè)計研究院.ETABS中文版使用指南[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社,2004.China Institute of Building Standards Dsign & Research..Guide of ETABS Chinese version[M]. Beijing：China Architecture & Building Press,2004.

[6]馬長飛，譚平，張亞輝，等. 考慮P–△效應(yīng)的柱頂隔震結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)分析[J].土木工程學(xué)報，2010,43(S):230-234.MA Changfei, TAN Ping, ZHANG Yahui et al. Dynamic responses analysis of structures with isolators on the top of the columns consideringP–△effects[J].China Civil Engineering Journal, 2010,43(S):230-234.

[7]日本建筑協(xié)會. 隔震結(jié)構(gòu)設(shè)計[M]. 劉文光，譯．北京：地震出版社，2006.Japanese Architecture Institute. Recommendation for design of base isolated building[M]. LIU Wenguang,Translated . Beijing：Seismological Press,2006.

[8]FENG Demin, MIYAMA Takafumi, TORII Tsugio et al. A new analytical model for the lead rubber bearing[C]//12WCEE, New Zealand: Auckland, 2000.

[9]SKINNER R I, ROBINSON W H , MCVERRY G H. An introduction to seismic isolation[M].NewYork: John Wiley&Sons, 1993.

[10]GB50011-2010 建筑抗震設(shè)計規(guī)范[S].北京: 中國建筑工業(yè)出版社, 2010.GB50011-2010,Code for seismic design of buildings[S]．Beijing：Building Industry Press of China，2010.