克林貝格準雙曲面齒輪齒面建模及接觸分析

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克林貝格準雙曲面齒輪齒面建模及接觸分析

杜進輔1，方宗德1，寧程豐1，趙國銳2，高洪彪2

(1．西北工業(yè)大學機電學院，陜西西安710072; 2．中國第一汽車股份有限公司技術(shù)中心，黑龍江長春130011)

摘要:通過分析克林貝格制Cyclo-palloid擺線齒準雙曲面齒輪的齒面展成過程，建立了包括齒根過渡曲面的全齒面模型，并據(jù)此生成了輪齒三維模型;針對過去輪齒接觸分析(tooth contact analysis，TCA)數(shù)學模型未考慮法矢的第3個分量以及接觸橢圓的計算需借助于對兩配對齒面主曲率和相對曲率的復雜推導，提出了一種改進的TCA模型，避免了TCA結(jié)果可能出現(xiàn)的幾何上不準確的情況，且對于接觸橢圓的計算只需要知道兩配對齒面的方程，因而避免了復雜的齒面曲率計算。最后基于此模型，編制了克林根貝格制Cyclo-palloid擺線齒準雙曲面齒輪的全齒面生成以及TCA程序，通過與已有實例以及滾檢試驗結(jié)果的對比分析，驗證了此方法的可行性，為后續(xù)輪齒承載接觸分析打下了基礎。

關(guān)鍵詞:克林貝格;準雙曲面齒輪;齒面建模;輪齒接觸分析;接觸橢圓

準雙曲面齒輪的幾何形狀和嚙合理論在齒輪傳動中是最為復雜的，根據(jù)銑齒機廠家不同可分為格里森制、克林貝格制(簡稱“克”制)以及奧利康制，前一種為漸縮齒，后兩種為長幅外擺線等高齒(簡稱擺線齒)。擺線齒準雙曲面齒輪相對于前者有諸多優(yōu)勢:連續(xù)滾切加工，只需2臺機床，效率高，且噪聲低，強度高。目前，“五刀法”加工漸縮齒的工藝在國外已基本淘汰，德國大眾公司、美國車橋公司以及克萊斯勒公司均已采用擺線齒［1］，國內(nèi)如長春一汽、中國重汽等大公司也逐漸轉(zhuǎn)向擺線齒生產(chǎn)應用。

國內(nèi)由于早期組織攻關(guān)過格里森制螺旋錐齒輪成套技術(shù)，加上格里森加工設備在國內(nèi)的普及，使得針對漸縮齒錐齒輪和準雙曲面齒輪的研究比較多，而針對擺線齒準雙曲面齒輪的研究還有待深入。隨著后者在汽車、起重機、礦山、冶金機械以及航空工業(yè)中的應用日漸廣泛，研究其齒面生成原理以及對其進行輪齒接觸分析(tooth contact analysis，TCA)具有重要的工程應用背景。由于擺線齒齒面展成及加工過程復雜，針對其齒面的精確建模以及TCA的研究并不多見［2-4］。Litvin等［2］建立了包含刀傾機構(gòu)的面滾式展成運動數(shù)學模型，但沒有對“克”制雙刀盤結(jié)構(gòu)進行描述; Fong［3］建立了面銑式與面滾式準雙曲面齒輪齒面生成的通用模型，但同樣沒有考慮面滾法的刀盤結(jié)構(gòu)，石伊蓓［5］以及王峰等［6］對此模型進行了改進，但沒有給出齒根過渡曲面的推導過程，而包括齒根過渡曲面的完整齒面模型是后續(xù)輪齒承載接觸分析(loaded tooth contact analysis，LTCA)和應力分析的基礎。

TCA技術(shù)近年來經(jīng)過格里森公司的改進，有了較大發(fā)展［7］，但由于以往TCA數(shù)學模型中法矢的第3個分量未被考慮，故常常出現(xiàn)求得的結(jié)果幾何上不準確的情況［8］。而且過去TCA中對接觸橢圓的計算，要經(jīng)過復雜的主曲率和相對曲率的推導計算，過于繁瑣且不能真實地反映瞬時接觸區(qū)的特性。

為此，本文以“克”制Cyclo-palloid準雙曲面齒輪為研究對象，對其齒面生成進行推導，獲得了包括齒根過渡曲面在內(nèi)的全齒面模型，并生成了輪齒三維立體模型。借鑒Litvin等［9］的方法對“克”制準雙曲面齒輪的TCA數(shù)學模型進行了改進。對于接觸橢圓的計算，本文提出一種不依賴于配對齒面曲率計算的新方法，可以獲得完整的接觸橢圓邊界以及橢圓長軸的大小和方向。

1　齒面建模

1. 1刀盤與刀具

“克”制準雙曲面齒輪采用連續(xù)滾切法加工(即面滾式切齒法)，這是個連續(xù)分度的過程，如圖1所示，ωc，ωt分別為產(chǎn)形輪和刀盤角速度，端面刀盤上裝有Z0組刀齒，每組刀齒至少有一個內(nèi)刀一個外刀，分別用于加工輪齒的凸面和凹面。刀盤和輪坯按一定的速比轉(zhuǎn)動，即刀盤轉(zhuǎn)過一組刀齒時，輪坯恰好轉(zhuǎn)過一個齒，齒槽的兩邊同時被加工出來。

圖1　刀盤和假想產(chǎn)形輪

“克”制Cyclo-Palloid切齒法采用雙層刀盤，如圖2所示，內(nèi)、外刀齒繞不同的回轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，其中OI、OA分別為內(nèi)、外刀齒在節(jié)面上的旋轉(zhuǎn)中心，ExZ為刀具偏心距。

圖2　雙層刀盤結(jié)構(gòu)

圖3a)所示為刀盤坐標系，(ExZ，φe)用來表示兩圓心的相對位置; r0I，r0A分別為內(nèi)、外刀旋轉(zhuǎn)半徑，r0I一般等于刀盤名義半徑r0，δ0為刀具偏置角; βi為刀具初始角;圖3b)所示為刀具坐標系，re為刀尖圓角半徑;α0為刀具齒形角;αh為刀前角; u，θ為刀具參數(shù)。刀刃在平面H內(nèi)，平面T垂直于刀盤旋轉(zhuǎn)平面，坐標系Sl(xl，yl，zl)和St(xt，yt，zt)分別與刀刃和刀盤固聯(lián)，Sm，Sn，Sp為輔助坐標系。

圖3　刀盤和刀具坐標系

以左旋內(nèi)刀加工小輪凸面為例，刀刃上任意一點P的矢量方程可以表示為:

刀尖部分任意一點P的矢量方程可以表示為:

式中，h為齒高。下面以刀刃加工工作齒面為例進行推導。通過一系列坐標變換，可以得到刀刃在刀盤坐標系St中的方程如下:

式中: Mtl= MtpMpnMnmMml。

本文中Mij是從坐標系Sj到Si的變換矩陣，詳見文獻［10］。

1. 2假想產(chǎn)形輪

如圖1所示，假想產(chǎn)形輪是由刀刃軌跡形成的一個虛擬齒輪，齒數(shù)不一定為整數(shù)。圖4所示為假想產(chǎn)形輪坐標系，其中Sc(xc，yc，zc)固聯(lián)于假想產(chǎn)形輪，Sa和Sb為輔助坐標系。θc為搖臺初始角度，φc1為刀具軸相對于產(chǎn)形輪軸的轉(zhuǎn)角，β為刀具轉(zhuǎn)角，j為刀轉(zhuǎn)角，SR為搖臺徑向距離。點O'A是OA在機床平面的投影。

圖4　產(chǎn)形輪坐標系

通過St到Sc的坐標變換得到刀刃在產(chǎn)形輪坐標系的方程:

式中: Mct(φc1，β) = Mcb(φc1) MbaMat(β)。

而φc1與β有如下關(guān)系式:

z0為刀齒組數(shù)，zp為產(chǎn)形輪齒數(shù)，故(2)式可化簡為:

rc(u，β) = Mct(β) rt(u)

1. 3齒面方程

圖5所示為左旋小輪切齒過程假想產(chǎn)形輪與輪坯坐標系。坐標系S1(x1，y1，z1)與輪坯固聯(lián)，為輔助坐標系。這里產(chǎn)形輪旋轉(zhuǎn)軸與搖臺軸共線。為機床垂直偏置距，為滑座進給量，為機床中心到后座行程，γm為機床根錐角。

通過Sc到S1的坐標變換，可以得到齒面方程如下:

式中: M1c(φ1，φc2) = M1g(φ1) MgfMfeMec(φc2)。

這里，搖臺從動轉(zhuǎn)角φc2與輪坯旋轉(zhuǎn)角度φ1有如下關(guān)系式:

z為被加工齒輪齒數(shù)。故由刀刃加工的工作齒面方程可以表示為:

r1(u，β，φ1) = M1c(φ1) rc(u，β)

圖5　產(chǎn)形輪與輪坯坐標系

同理，由刀尖圓弧加工的齒根過渡曲面的方程表示為:

r1(θ，β，φ1) = M1c(φ1) Mct(β) Mtlrl(θ)根據(jù)微分幾何原理，可得工作齒面法矢n1(u，β，φ1)和切矢t1(u，β，φ1) :

由于“克”制Cyclo-palloid準雙曲面齒輪大、小輪均用展成法切制，故齒面的獲得還需借助于下面產(chǎn)形輪與被加工齒輪的嚙合方程:

2　輪齒接觸分析數(shù)學模型

由于齒根過渡曲面不參與嚙合，如圖6所示，兩配對工作齒面的位矢、法矢以及切矢通過坐標變換，表示在機床坐標系Ss中(角標1表示小輪，2表示大輪) :

式中: Ms1(φ1) = MsrMrqMqpMp1(φ1)。

φ1、φ2分別為小輪和大輪轉(zhuǎn)角，Ls1、Ls2分別為Ms1，Ms2的左上角3×3子矩陣。

圖6　齒輪副嚙合坐標系

TCA的求解是基于兩配對齒面在接觸點處位矢和法矢所滿足的如下方程組:

由于| ns1| =| ns2| = 1，方程組(10)中第2個方程只可分解為2個獨立的方程，法矢的第3個分量方向未予以考慮，因此其結(jié)果在幾何上可能是不準確的，為避免這個問題，運用兩配對齒面其中一個齒面的切平面內(nèi)兩互相垂直的向量以及另一個齒面的法向量，對方程組(10)做如下變型［10］:

或:

nsi×tsi和tsi(i = 1，2)是大小輪切平面內(nèi)兩相互垂直的向量。將方程組(11)或(12)與加工兩齒面時的2個嚙合方程聯(lián)立，以小輪旋轉(zhuǎn)角度φ1為輸入，則方程組得解，不同的φ1對應不同的嚙合位置，在齒面有效邊界內(nèi)所求得的所有瞬時接觸點即構(gòu)成齒面接觸軌跡。其傳動誤差Δe可由下式計算得出:

式中:φ10，φ20為分別小輪和大輪在參考點嚙合時的初始轉(zhuǎn)角; Z1，Z2分別為小、大輪齒數(shù)。

3　接觸橢圓

點接觸的兩配對齒面，由于彈性變形，瞬時接觸點擴展為一橢圓區(qū)域，稱為瞬時接觸橢圓，其對稱中心與理論切觸點重合。TCA中理論切觸點的彈性變形量δ一般給定，按照格里森公司經(jīng)驗，δ一般取0. 006 35 mm，如果為研磨齒面，則δ 取0. 003 81 mm［8］。

接觸橢圓的計算基于參考點附近兩配對齒面的二次逼近，需要經(jīng)過復雜的推導計算得出接觸曲面的主曲率和相對曲率，才能計算出接觸橢圓的長軸。特別是，在二次逼近曲面包絡情況下，主曲率計算很困難。另外，瞬時接觸區(qū)一般為細長橢圓，故接觸點附近的二階逼近曲面不能真實地反映面積比它大的瞬時接觸區(qū)特性。針對這一問題，格里森公司提出了一種改進的方法，首先通過迭代“尋找”橢圓長軸方向，然后在此方向上通過再一次迭代得到橢圓長軸的長度。但是，這種方法只能獲得接觸橢圓的長軸。有些情況下，我們期望獲得完整的接觸橢圓，即接觸橢圓在齒面上的完整邊界。為此，本文提出另一種方法，步驟如下:

第1步假設有一平面Q過齒面在當前接觸點法向量u3所在直線，在其被兩齒面Σ1，Σ2所截的截面內(nèi)給定齒面間隙δ，通過迭代可以得到c1和c2，c = c1+ c2，則c的2個端點即為接觸橢圓上的邊界點;

第2步由于橢圓的對稱性，只需將平面Q繞法向量u3所在直線按步長旋轉(zhuǎn)180°，重復第1步，即可得到完整的橢圓邊界，而橢圓長軸大小即為c的最大值，方向可通過此時平面Q的旋轉(zhuǎn)角度獲得。

該方法只需知道兩配對齒面的方程，避免了復雜的齒面曲率的計算;并且由于沒有用二階曲面逼近，這種方法得到的接觸橢圓反映的是實際齒面條件。

4　算例對比驗證

基于上面分析，編制了“克”制Cyclo-Palloid準雙曲面齒輪全齒面建模以及TCA程序。齒輪副基本參數(shù)以及刀盤參數(shù)、機床設置［5，11］分別如表1～表3所示:

表1　齒輪參數(shù)

表2　刀盤參數(shù)

表3　機床設置

大、小輪全齒面模型如圖7所示:

圖7　大小輪全齒面模型

齒輪副的TCA仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8　輪齒接觸分析結(jié)果

所得到的接觸印痕、傳動誤差曲線以及傳動誤差最大值與文獻［5］中算例結(jié)果(如圖9所示)基本吻合。

圖9　文獻［5］中輪齒接觸分析結(jié)果

接觸印痕與大輪凹凸面的滾檢試驗結(jié)果(如圖10所示)基本一致，故認為本文方法是有效可行的。齒根處接觸區(qū)域邊界的不同，是因為原文獻中以齒根過渡曲線和齒頂為接觸邊界，而本文中則是通過計算得到的實際接觸邊界，可以看出，接觸區(qū)并沒有到達齒根過渡曲線處。

圖10　大輪滾檢印痕

5　結(jié)論

1)建立了“克”制準雙曲面齒輪全齒面展成數(shù)學模型，得到了包括齒根過渡曲面的完整齒面，并據(jù)此獲得了輪齒3D模型，可做為后續(xù)LTCA以及應力分析的基礎。

2)對“克”制準雙曲面齒輪的TCA算法進行了改進，解決了法矢的第3個分量未被考慮而可能出現(xiàn)的求得的TCA結(jié)果幾何上不準確的問題。

3)提出了計算接觸橢圓的新方法，避免了復雜的主曲率和相對曲率的推導，真實地反映了齒面瞬時接觸區(qū)特性。

4)通過與已有實例以及滾檢試驗結(jié)果的對比分析，驗證了本方法的可行性。本文方法經(jīng)過推廣可適用于其他類型齒輪傳動的齒面建模以及TCA。

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Tooth Surface Modeling and Contact Analysis of Klingelnberg Hypoid Gear

Du Jinfu1，F(xiàn)ang Zongde1，Ning Chengfeng1，Zhao Guorui2，Gao Hongbiao2

(1．Department of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China 2．China FAW Co．，Ltd．R＆D Center，Changchun 130011，China)

Abstract:A mathematical model was proposed for the tooth surface generation of the Klingelnberg Cyclo-palloid hypoid gear; the tooth surface，which includes the fillet and the tooth 3D model，was obtained．As the third component of the normal is not taken into account in the solution of TCA equations，TCA results may be geometrically incorrect; so an improved algorithm was proposed to avoid this situation．We used a new iterative method to calculate the boundaries and the major axes of the contact ellipses，thus avoiding the complicated derivation of the surface curvatures and the relative curvatures and reflecting the actual surface nature in the contact area．A new TCA and surface generation program was developed for Klingelnberg Cyclo-palloid hypoid gear．The feasibility of this method was verified through analyzing an existing example and comparing calculated results with test results for the same example in Ref．11(a technical book authored by Dong Xuezhu) ; we believe that this may serve as the foundation for Loaded TCA and stress analysis．

Key words:calculations，errors，gears，iterative methods，mathematical models，mathematical transformations，matrix algebra，stress analysis，surfaces，three dimensional，transmissions; contact ellipse，hypoid gear，Klingelnberg，surface generation，Tooth Contact Analysis(TCA)，loaded TCA(LTCA)

作者簡介:杜進輔(1984—)，西北工業(yè)大學博士研究生，主要從事擺線齒錐齒輪以及準雙曲面設計制造研究。

收稿日期:2014-09-02基金項目:國家自然科學基金(51375384、51175423)資助

文章編號:1000-2758(2015) 02-0222-07

文獻標志碼:A

中圖分類號:TH132．41