橫看成嶺側(cè)成峰

在生活中我們可以觀察到很多拉伸變換的現(xiàn)象，比如彈簧的拉伸等. 這讓我們數(shù)學(xué)探究小組聯(lián)想到了能否借用“拉伸”來幫助我們解決正在學(xué)習(xí)的圓錐曲線相關(guān)問題，這引起了我們的積極討論. 在幾何圖形中，長與短、圓與橢圓都可以經(jīng)過拉伸（伸縮）來相互轉(zhuǎn)換，而這個(gè)轉(zhuǎn)換的代數(shù)本質(zhì)就是換元. 我們小組把這個(gè)轉(zhuǎn)換方式稱為拉伸原理. 現(xiàn)在就讓我們來具體談?wù)勈裁词抢煸?，以及它的妙用和展?

■千呼萬喚始出來

——初探拉伸原理

如果將一根彈簧沿其線性方向拉長一倍，其長度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮蝗绻麑⒁粡垐D片沿一邊拉伸一倍（另一邊不變），面積變?yōu)樵瓉淼亩叮ň拖馪S中的自由變換），如圖1-1所示.

在此，我們把圖形沿某一維度伸長或縮短的變換叫做拉伸變換，此文中稱為拉伸原理. 通過探究，我們發(fā)現(xiàn)：一維圖形沿其長度方向拉伸“前后圖形長度比不變”；二維圖形沿某一維度拉伸“前后圖形面積比不變”；三維圖形沿某一維度拉伸“前后圖形體積比不變”.

從代數(shù)角度看，拉伸原理就是代數(shù)換元，它們的關(guān)系如表1所示.

對于橢圓我們可以將其看做是由圓沿某一方向拉伸變換形成的. 當(dāng)圓心處于原點(diǎn)時(shí)設(shè)圓方程為：x2+y2=a2（a>0），我們假設(shè)ny=y1即沿y軸縮短n倍；此時(shí)將其代入原方程得：■+■=1，方程滿足橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓被拉伸為橢圓. 橢圓性質(zhì)與圓有相似之處，如圖2.

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圖2

A.橢圓與圓都關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對稱

B. Q（Q1）點(diǎn)從A到B運(yùn)動過程中△ABQ（Q1）的面積先變大后變小，且Q（Q1）頂點(diǎn)時(shí)最大，∠AQ（Q1）B變化亦如此

C.橢圓離心率e越大，n越大，即拉伸程度變大離心率變大

■二、眾里尋他千百度

——巧用拉伸原理

前面簡單介紹了什么是拉伸原理，那么究竟拉伸原理在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有什么具體的應(yīng)用呢？下面就通過幾個(gè)簡單例子來看看拉伸原理是如何化腐朽為神奇的.

（一）橢圓中某些面積最值問題

已知橢圓上任兩點(diǎn)可以運(yùn)用拉伸求橢圓上另一點(diǎn)與這兩點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積最大值

原理：二維拉伸面積比不變

將圖中問題轉(zhuǎn)換為：已知圓上任兩點(diǎn)，求圓上另一點(diǎn)與這兩點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積最大值.

已知圓上任兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)連線的中垂線與圓的交點(diǎn)和已知兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大.在圓中所得的面積經(jīng)過拉伸變換后即為橢圓中面積.

如圖3，有一橢圓O：■+■=1，求橢圓上一點(diǎn)Q與B，C所圍成三角形的面積的最大值.

a. 先將橢圓拉伸為圓：令■y=n，所以O(shè)：■+■=1，即：x2+n2=a2 ①.

b. 求圓中S■的最大值.

直線BC1：y=-x+b，

直線OQ1：y=x ②.

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圖3

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圖4

由①②得Q1■，■或Q1-■，-■，當(dāng)Q在下方時(shí)面積最大，所以Q取-■，-■.

Q到BC1的距離d=■，BC1長度BC1=■a，S■=■dBC1.

c. 將S■乘以■的最大值縮放為原橢圓S△QBC的最大值：

S△QBC=S■·■=■.

同樣，若要求已知斜率為k的直線與橢圓相交弦長的最大值亦可用此法.

下面我們來看一道例題

■ 設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)，A（2，0），B（0，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx（k>0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn). 求四邊形AEBF的面積最大值.

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圖5

解 把題目中坐標(biāo)y軸換為n軸且滿足2y=n，則原坐標(biāo)系中橢圓變?yōu)椤?■=1，即x2+n2=4. 在此圓中易得：當(dāng)EF⊥AB時(shí)SAEBF最大. 在xOn坐標(biāo)系中Smax=2■×4×■. 又y軸與n軸滿足2y=n，所以在xOn系中S1max=■=2■.

（二）拉伸原理求橢圓切線

我們可以通過拉伸的方法來求圓錐曲線上一點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程，主要是數(shù)學(xué)計(jì)算和換元的方法，如下：如圖6，設(shè)圓x2+y2=1上有一點(diǎn)M1（x0，y0），拉伸此圓使得M1成為M（λx1，μy1），并設(shè)λx1=x■，μy1=y0.

①求圓的M1處切線方程l1，斜率為k1，若存在l1：k1·■=-1？圯k1=-■，切線過（x1，y1）？圯y′-y1=k1（x′-x1）？圯l1方程：y′=x′·■+■，l■過點(diǎn)■，0，0，■.

若k1不存在：y1y′+x1x′=1.

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圖6

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圖7

②求拉伸后圖形M處切線方程l：斜率為k

若存在k：則l過點(diǎn)■，0，0，■？圯■=■？圯■+■=1？圯■+■=1.

不存在k時(shí)：■+■=1. 綜上：此拉伸圖形M處切線方程為■+■=1.

由于μ，λ∈R，μ，λ>0時(shí)，l為標(biāo)準(zhǔn)橢圓切線；μ，λ>0且μ，λ≠0時(shí)，l為標(biāo)準(zhǔn)雙曲線切線；μ，λ<0時(shí)，無意義；μ·λ=0時(shí)，暫不討論.

所以此切線方程可寫為：■+■=1（μ，λ>0）或■-■=1（μ<0，λ>0）或■-■=1（μ>0，λ<0）.

“②”還可用稍簡單的方法：因?yàn)棣蘺′=y，λx′=x，所以y■y′+x1x′=1拉伸后的是■+■=1，即是■+■=1.

下面來看一道例題

■ 已知直線l與橢圓x2+2y2=2交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為P，設(shè)直線l斜率為k1（k1≠0），直線OP斜率為k2，求k1·k2的值.endprint

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圖8

解 把題目中坐標(biāo)y軸換為n軸且滿足■y=n. 在xOn系中易得l⊥OP，即■k1×■k2=-1，所以k1×k2=-■.

（三）用拉伸巧證雙曲線某些性質(zhì)

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圖9

①如圖9，已知曲線：■-■=1（等軸雙曲線）過雙曲線上任一點(diǎn)P，分別平移兩漸近線l1：y=x；l2：y=-x，過點(diǎn)P得l′1，l′2，則l1，l2，l′1，l′2所圍得的圖象面積S如何？

猜想：面積S為定值.

證明：圖中雙曲線為等軸雙曲線，l1⊥l2，P（x1，■），現(xiàn)在可以l2，l1分別為新的坐標(biāo)軸x1軸、y1軸，在新坐標(biāo)系x1Oy1中，P■，■.

如圖10，此時(shí)雙曲線變成了反比例函數(shù)對應(yīng)圖象，此時(shí)易得出陰影部分為矩形，面積S為定值，S=■（x1-■）·■x1-■·（x1-■）=■（定值）.

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圖10

亦可知在新坐標(biāo)系x1Oy1中雙曲線的方程為y=■（反比例函數(shù)）.

②若雙曲線不是等軸雙曲線，此時(shí)以上結(jié)論是否成立？下面讓我們一起來探究一下.

如：■-■=1（a2≠b2），此時(shí)可用拉伸原理解決，即將y軸換成n軸并滿足如下關(guān)系：n軸上每個(gè)坐標(biāo)與y軸上每個(gè)坐標(biāo)滿足n=■y，把原坐標(biāo)系中y換為n得：在新系xOn中雙曲線為：■-■=1，此時(shí)雙曲線變?yōu)榈容S雙曲線，S1如①所示為定值■.

又一維拉伸中面積與拉伸比例呈一次線性關(guān)系，所以在xOy系中S=S1■=■，綜上①②所述面積S為定值■.

■三、衣帶漸寬終不悔

——展望拉伸原理

拉伸原理折射出的是一種轉(zhuǎn)換角度看問題的方法，我們可以此為基點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)更多的轉(zhuǎn)換思路.

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圖11

例如，對于圓錐曲線，我們可以把它看做一個(gè)圓沿曲面拉伸而在平面上形成的投影. 平面直角坐標(biāo)系是空間的一個(gè)截面，就像一張投影布，它能投射出拉伸后圖形的影像. 我們可以在空間的一個(gè)截面建一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，這個(gè)系的x軸正半軸和負(fù)半軸在無窮遠(yuǎn)處相交，y軸也一樣.一個(gè)端點(diǎn)在原點(diǎn)的圓，我們將其沿某一方向?qū)⑵淅猓S平扁程度加大，e從（0，1）變?yōu)?再變?yōu)椋?，+∞）. 起初由于e不大，橢圓可近似看做曲面空間上一點(diǎn)，也即是說，它仍近似在平面上. 用直角坐標(biāo)系與近似平面重合，得到的投影還是橢圓，如圖11.

隨e的增大，橢圓沿曲面延伸. 但由于當(dāng)e增大到1時(shí)，我們再用平面直角坐標(biāo)系去截，此時(shí)原圖形左端點(diǎn)仍與原點(diǎn)重合，但右端點(diǎn)在曲面另一側(cè)，此時(shí)截得的投影不封閉，不完整，無限延伸，是拋物線. 如圖12.

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圖12

當(dāng)e再增大，e>1，原圖形左端點(diǎn)仍在原點(diǎn)，右端點(diǎn)繞過曲面另一半，此時(shí)再去截，所用仍為平面直角坐標(biāo)系，則得到雙曲線. 如圖13.

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圖13

在e=1與e>1時(shí)，所截圖形區(qū)別除無限延伸方向外，還有就是：對于拋物線，由于其截面為對稱軸，固它的曲面延伸方向趨近于曲面橢圓頂點(diǎn)，該沿伸曲面斜率越來越小，曲線越來越趨近直線. 對于雙曲線，它的截面終點(diǎn)是橢圓上除頂點(diǎn)外的點(diǎn)，固雙曲線就像是作用在用超大倍數(shù)放大鏡看橢圓一樣，它的曲面延伸趨向于一條直線.

對于一些問題的思考可以得出許多有趣的結(jié)論. 如李宗吾先生曾經(jīng)將物理學(xué)與心理學(xué)對比，發(fā)掘其互通之處，著了《心理與力學(xué)》一書.又如拉伸在哲學(xué)方面也有所體現(xiàn)，我們將一個(gè)物體拉伸變換，就是換了一個(gè)角度看問題. 但結(jié)果是每種角度在相應(yīng)的條件下所映射出的結(jié)論都是成立的，這似乎肯定了存在的合理性，也就是常說的“存在即合理”，這些思考是否一定正確？我們還不得而知. 對于這些問題的思考拓展了我們的思維，豐富了我們的課余學(xué)習(xí)生活，這是我們求真、求實(shí)、求精的追求，在這個(gè)過程中我們收獲的是合作探究的精神和探索追求的快樂. 希望我們探究小組的新思路能帶給大家一點(diǎn)小小的啟示，同時(shí)我們還在對其他問題進(jìn)行探究（如拉伸原理的三維應(yīng)用、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等），期待我們可以給大家?guī)砀嘈碌捏@喜.

注：“PS”是Adobe Photoshop的簡稱，是由Adobe Systems開發(fā)和發(fā)行的圖像處理軟件. ■endprint