空間幾何體的表面積與體積

馮小飛

空間幾何體的表面積與體積的試題根植于課本，追求創(chuàng)新，多是以直觀圖、三視圖、平面圖形的折疊、展開與旋轉(zhuǎn)為背景，給出“非常規(guī)”的幾何體，重在考查轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：了解常見幾何體的體積公式和表面積公式；基本幾何體中點(diǎn)、線、面的關(guān)系，特別是平行和垂直；掌握三視圖和直觀圖的畫法原理；另外要熟悉三個(gè)關(guān)系：一是三棱錐與四棱錐之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；二是多面體與球體之間的組合關(guān)系；三是三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化關(guān)系. 努力培養(yǎng)觀察能力，尋求不規(guī)則幾何體與規(guī)則幾何體之間的聯(lián)系，掌握必要的“割補(bǔ)”技巧，熟練空間與平面之間的合理轉(zhuǎn)化，把握準(zhǔn)確切入試題的角度.

難點(diǎn)：其一，怎樣合理地選擇底和高求幾何體的表面積與體積；其二，怎樣恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行“割補(bǔ)”、平面到空間的折疊和空間到平面的展開.

方法突破

一、求空間幾何體表面積與體積的基本步驟

求空間幾何體的表面積和體積的基本步驟是：先識圖，根據(jù)題目給出的圖形，想象出幾何體的形狀和有關(guān)線、面的位置關(guān)系，比如由三視圖想象直觀圖；再畫圖，根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線（面），作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；接著要變圖，對圖形進(jìn)行必要的分解、組合，對圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a(bǔ)，從不同的角度認(rèn)識圖形，選擇不同的高和底；最后解圖，明確目標(biāo)三角形，解三角形求出圖中的數(shù)量關(guān)系.

二、求空間幾何體表面積與體積的基本技巧

（1）表面積和側(cè)面積：空間幾何體的面積有表面積和側(cè)面積之分，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分它們. 多面體的表面積是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和.

（2）高：在空間幾何體表面積和體積的計(jì)算中都離不開“高”這個(gè)幾何量（球除外），因此，計(jì)算表面積和體積的關(guān)鍵一環(huán)就是求出這個(gè)量. 在計(jì)算這個(gè)幾何量時(shí)要注意多面體中的“特征圖”和旋轉(zhuǎn)體中的軸截面.

（3）分割：實(shí)際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺、球，而是由柱、錐、臺、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體體積的基本方法就是“分解”，將組合體“分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺、球或其中一個(gè)部分，分別計(jì)算其體積”，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個(gè)體積轉(zhuǎn)化為這些“部分體積”的和或差.

（4）補(bǔ)形：棱錐體常常補(bǔ)形為柱體，臺體經(jīng)常補(bǔ)形為錐體. 比如，球面四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的線段PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，則4R2=a2+b2+c2，把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接正方體（或其他圖形），從而顯示出球的數(shù)量特征，這種方法是一種常用的好方法.

（5）展開：在求幾何體的面積時(shí)，經(jīng)常要把幾何體展開為平面圖形，注意在何處展開（多面體要選擇一條棱展開，旋轉(zhuǎn)體要沿一條母線展開）.

（6）翻折：在解決問題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形（既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形）.翻折的關(guān)鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量. 一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化；翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化. 抓住不變量是解決問題的突破口.

（7）切接：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接. 解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)或接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖. 如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑. 球與旋轉(zhuǎn)體的組合問題，通常通過作它們的軸截面解題；球與多面體的組合問題，通常通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖解題.

典例精講

■ 如圖1所示的幾何體ABCDEF中，△ABC，△DEF都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC，求幾何體ABCDEF的體積.

思索 不規(guī)則幾何體的體積求解從割補(bǔ)開始.本題是不規(guī)則幾何體，可以看做兩個(gè)四棱錐的對接，底面正方形的面積已知，只要求出底面上的高即可. 由平面BCED⊥平面ABC，可知四棱錐的高就是△ABC中BC邊上的高，體積易求.

破解 取BC的中點(diǎn)O，ED的中點(diǎn)G，連結(jié)AO，OF，F(xiàn)G，AG.

因?yàn)锳O⊥BC，且平面BCED⊥平面ABC，所以AO⊥平面BCED；同理可得FG⊥平面BCED.

因?yàn)锳O=FG=■，所以V■=■×4×■×2=■.

■

圖1 圖2

■ 如圖2（單位：cm），求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積.

思索 本題是求旋轉(zhuǎn)體的表面積.先注意以哪條線段所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)形成什么樣的旋轉(zhuǎn)體，此幾何體哪些面“暴露”在外，畫出直觀圖，合理地分割求出面積、體積.

破解 由題意知，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成：圓臺下的底面和側(cè)面，以及一半球面. S半球=8π，S圓臺側(cè)=35π，S圓臺底=25π. 故所求幾何體的表面積為68π（cm2）. 由V圓臺=■×[π×22+■+π×52]×4=52π，V半球=■π×23×■=■π，所以，旋轉(zhuǎn)體的體積為V■-V■=52π-■π=■π（cm3）.

■ 一個(gè)長方體經(jīng)過切割后得到的幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的體積是（ ）

■

圖3

A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5

思索 三視圖“轉(zhuǎn)譯”為直觀圖時(shí)，對于題設(shè)中已經(jīng)給出原立體圖的類型或容易看出原立體圖的類型的問題，一般可先由俯視圖確定其底面的形狀（通常情況下與其全等），再由主視圖、側(cè)視圖及俯視圖確定其他頂點(diǎn)的位置，以此可知本題是長方體上被切去兩個(gè)三棱錐剩下的幾何體，其體積不難求解.endprint

破解 由三視圖可知幾何體如圖4所示，是在原長方體中挖去兩個(gè)三棱錐A-BCD，A-EFG，所以幾何體的體積為V=V■-V■-V■=3×2×1-2×■×■×1×1×3=5. 選C.

■

圖4

■ 如圖5（1），△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，將△AEF沿EF折起， 使A′在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點(diǎn)，得到圖5（2），求三棱錐F-A′BC的體積.

思索 本題以翻折為背景，注意到翻折后平面A′EF與平面A′EC垂直，確定三棱錐F-A′BC的底和高，解三角形求出必要的數(shù)據(jù)，代入棱錐體積公式求出結(jié)果.

■

（1） （2）

圖5

破解 易證EF⊥平面A′EC，又A′C？奐平面A′EC，所以EF⊥A′C. 在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，所以S△FBC=■BC·EC=4. 又因?yàn)锳′O垂直平分EC，所以可得A′O=■=■，所以V■=V■=■S△FBC·A′O=■·4·■=■.

■ 在四面體ABCD中，AD與BC互相垂直，AD=2BC=4，且AB+BD=AC+CD=2m，其中m（m>■）為正常數(shù). 若CD=a，則BD=_______；四面體ABCD的體積的最大值是_______.

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圖6

思索 本題是動態(tài)幾何體問題，解題時(shí)注意推理證明. 由AB+BD=AC+CD=2m，利用反證法可以推得AB=AC，DB=DC. 過B作BE⊥AD，垂足為E，連結(jié)EC，求出EB，EC的最大值（EB=EC），則不難求四面體ABCD的體積的最大值.

破解 過B作BE⊥AD，垂足為E，連結(jié)EC. 因?yàn)锳D⊥BC，所以AD⊥平面BCE. 設(shè)EBEC也不可能，所以EB=EC. 同時(shí)易得AB=AC且DB=DC，故BD=a. 設(shè)EB=EC=x，則易證1

變式練習(xí)

1. 在長方體中割去兩個(gè)小長方體后的幾何體的三視圖如圖7所示，則切割掉的兩個(gè)小長方體的體積之和等于________.

■

■

圖7

2. 如圖8，在半徑為R的半球內(nèi)有一內(nèi)接圓柱，則這個(gè)圓柱的體積的最大值是（ ）

A. ■πR3

B. ■πR3

C. ■πR3

D. ■πR3

3. 如圖9，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C，D的點(diǎn)，AE=3，圓O的直徑為9.

（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；

（2）求三棱錐D-ABE的體積.

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參考答案

1. 54

2. A

3. （1）略.

（2）因?yàn)镃D⊥平面ADE，DE？奐平面ADE，所以CD⊥DE，所以CE為圓O的直徑，即CE=9. 設(shè)正方形ABCD的邊長為a. 在Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=81-a2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=a2-9. 由81-a2=a2-9，解得a=3■，所以DE=■=6. 因?yàn)镃D⊥平面ADE，AB∥CD，所以AB⊥平面ADE，所以VD-ABE=VB-ADE=■S△ADE·AB=■×■×3×6×3■=9■. ■