與r的一次方成正比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動研究

與r的一次方成正比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動研究

李 陽王 宏韓艷玲

[中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院湖北 武漢430074]

中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)2014-2015學(xué)年度教學(xué)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目資助，項(xiàng)目編號：SKJ2014216

摘 要：在水平面上受穩(wěn)定約束的彈簧振子運(yùn)動模型，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)與距離r的一次方成正比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動問題.本文利用拉格朗日方程建立了該運(yùn)動模型在極坐標(biāo)系中的動力學(xué)方程，分別采用泰勒級數(shù)展開的方法和Matlab數(shù)值模擬的方法對該模型的動力學(xué)方程進(jìn)行了計(jì)算，作出了相應(yīng)的坐標(biāo)隨時(shí)間的演化曲線、運(yùn)動相圖、運(yùn)動軌跡，并將兩種方法得出的結(jié)果進(jìn)行了比較，研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)初速度較小時(shí)，彈簧振子在徑向的運(yùn)動是周期性的簡諧運(yùn)動，在橫向的運(yùn)動是非線性增大的，在平面上的運(yùn)動是準(zhǔn)周期的.

關(guān)鍵詞：水平面穩(wěn)定約束彈簧振子極坐標(biāo)系泰勒級數(shù)展開Matlab數(shù)值模擬

收稿日期：(2015-06-01)

作者簡介：李陽(1991-)，男，在讀碩士研究生,主要從事物理教學(xué)論研究.

通訊作者：韓艷玲(1965- )，女，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事大學(xué)物理教學(xué)和光子晶體理論研究.

受穩(wěn)定約束的彈簧振子是由一個(gè)大密度的實(shí)心小球和一個(gè)輕質(zhì)彈簧構(gòu)成的，彈簧的一端固定不動，另一端和小球相連，它既是力學(xué)中不可積系統(tǒng)的典型模型[1]，同時(shí)，又是工程學(xué)中典型的非線性運(yùn)動之一.

在理論力學(xué)中，人們研究較多的是豎直平面內(nèi)的彈簧擺運(yùn)動[1～4]，對于水平面上受穩(wěn)定約束的彈簧振子運(yùn)動研究的較少，實(shí)際上，它是一個(gè)與距離r的一次方成正比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動問題.

截止目前，人們已經(jīng)研究了與距離r的二次方成反比、三次方成反比、五次方成反比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動[5～7]，但是，與距離r的一次方成正比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動研究卻鮮見報(bào)道. 鑒于此，本文對該模型下的這一問題進(jìn)行了研究與分析，寫出來與讀者進(jìn)行交流.

1系統(tǒng)的動力學(xué)方程

如圖1所示，在水平面上受穩(wěn)定約束的彈簧振子是由一個(gè)輕質(zhì)彈簧和一個(gè)大密度的實(shí)心小球構(gòu)成的，其中彈簧的勁度系數(shù)為κ，原長為l0，小球的質(zhì)量為m，直徑忽略不計(jì)，視為質(zhì)點(diǎn).

圖1　水平面上受穩(wěn)定約束的彈簧振子

在水平面上，忽略阻力影響，某一時(shí)刻對小球施加一個(gè)瞬時(shí)的沖量，小球開始運(yùn)動，彈簧對小球的彈力即為小球所受的合力，且力的方向所在的直線始終通過極點(diǎn)O,整個(gè)系統(tǒng)為有心的保守力系，其拉格朗日方程為

(1)

系統(tǒng)的動能和勢能分別為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

(2)

將式(2)代入式(1)，其中q1=r，q2=θ，可得

(3)

其中h為常量.

將式(3)中的第二式代入第一式，并對第二式進(jìn)行處理可得系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(4)

2近似的解析解

式(4)第一式是一個(gè)二階的非線性微分方程，若直接求其通解，則無法求出，但通過近似處理，可以得到相應(yīng)的解析解.

令x=r-l0，則式(4)可以改寫為

(5)

(6)

將式(6)代入式(5)，整理可得

(7)

令

則式(7)可化為

(8)

式(8)的解析解為

其中A和φ均為參數(shù)，對于微振動，x是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，所以A≠0，即

(9)

3數(shù)值模擬

為了使該研究更具普遍性，在該體系中，隨機(jī)選取參數(shù)m=0.02kg，κ=0.5N/m，l0=1.0m，令積分常數(shù)h=1. 采用Matlab軟件對系統(tǒng)的動力學(xué)方程、運(yùn)動軌跡以及近似解分別進(jìn)行數(shù)值模擬.

3.1動力學(xué)方程的數(shù)值解

對于式(4)，采用四階的Runge-Kutta方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.為了便于比較，選定兩組初始條件進(jìn)行數(shù)值模擬.

圖2　初速度v 0=1.414 m/ s時(shí)的r-t曲線

圖3　初速度v 0=1.414 m/ s時(shí)的 相圖

圖4　初速度v 0=1.414 m/ s時(shí)的θ-t曲線

圖5　初速度v 0=1.414 m/ s時(shí)的 相圖

圖6　初速度v 0=1.414 m/ s時(shí)r隨θ變化的曲線

圖7　初速度v 0=10 m/ s時(shí)的r-t曲線

圖8　初速度v 0=10 m/ s時(shí)的 相圖

圖9　初速度v 0=10 m/ s時(shí)的θ-t曲線

圖10　初速度v 0=10 m/ s時(shí)的 相圖

圖11　初速度v 0=10 m/ s時(shí)r隨θ變化的曲線

3.2不同初始條件下振子的運(yùn)動軌跡

為了更好地研究彈簧振子在水平面上的運(yùn)動情況，分別模擬出振子在兩組初始條件下的運(yùn)動軌跡.在第一組初始條件下，取計(jì)算時(shí)間為50s，和前面相對應(yīng)，步長取0.05s，則振子的運(yùn)動軌跡如圖12所示；在第二組初始條件下，取計(jì)算時(shí)間為50s，步長對應(yīng)取0.01s，則振子的運(yùn)動軌跡如圖13所示.

圖12　初速度v 0=1.414 m/ s時(shí)振子的運(yùn)動軌跡

圖13　初速度v 0=10 m/ s時(shí)振子的運(yùn)動軌跡

3.3近似解析解與數(shù)值解的擬合

當(dāng)初速度為v0=1.414m/s時(shí)，對于已選定的體系可計(jì)算出相應(yīng)參數(shù)

ω=5.291 5rad/sa=0.035 7m

模擬時(shí)取計(jì)算時(shí)間為10s，步長為0.05s， 令初相φ=1.754 9rad，A=0.195m，則式(4)經(jīng)處理后的近似解析解與直接數(shù)值解的擬合如圖14所示.

圖14　當(dāng)v 0=1.414 m/ s時(shí)徑向兩種解的擬合

4對結(jié)果的討論

以上我們對系統(tǒng)的動力學(xué)方程分別采用了兩種不同的方法進(jìn)行了計(jì)算.

一種是在微振動的情況下，對非線性方程進(jìn)行了泰勒級數(shù)展開，保留了一階小量，得到了沿徑向的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)方程，從中可以看出質(zhì)點(diǎn)在徑向做的是簡諧振動，且簡諧振動的頻率取決于系統(tǒng)的屬性.

另一種是在Matlab軟件中利用四階的Runge-Kutta方法直接對非線性方程求數(shù)值解.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的初速度較小時(shí)，從圖2和圖3可以看出，質(zhì)點(diǎn)在徑向做的是周期性運(yùn)動.如圖14所示，通過選取合適參數(shù)，將徑向的數(shù)值解與徑向的近似解析解進(jìn)行擬合，也可以看出當(dāng)初速度較小時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在徑向做的是周期性的簡諧振動.

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的初速度較小時(shí)，從圖4和圖5可以看出，在橫向，角度隨時(shí)間呈非線性增大，角速度隨時(shí)間的變化帶有明顯的周期性. 從圖6可以看出，隨著橫向角度的增大，質(zhì)點(diǎn)在徑向的運(yùn)動具有周期性. 從圖12振子在水平面上的運(yùn)動軌跡可知，振子在水平面上的運(yùn)動是準(zhǔn)周期的.

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的初速度較大時(shí)，從圖7和圖8可以看出，質(zhì)點(diǎn)在徑向的運(yùn)動出現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象，即當(dāng)彈簧振子處于伸長狀態(tài)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在徑向的運(yùn)動是周期性的，當(dāng)彈簧振子處于壓縮狀態(tài)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)會很快被彈出并開始下一次的運(yùn)動，這可能是因?yàn)閺椈傻膲嚎s量已經(jīng)達(dá)到了所能承受的極限所致. 且在徑向運(yùn)動的振幅要比初速度較小時(shí)大很多.

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的初速度較大時(shí)，從圖13振子在水平面上的運(yùn)動軌跡可知，振子在水平面上的運(yùn)動是準(zhǔn)周期的，且振幅比初速度較小時(shí)大很多. 從圖9和圖10可以看出，在橫向，角度隨時(shí)間依然呈非線性增大，但角速度隨時(shí)間的變化已經(jīng)沒有了周期性，橫向的相圖十分復(fù)雜. 從圖11可以看出，隨著橫向角度的增大，質(zhì)點(diǎn)在徑向的運(yùn)動只在彈簧振子處于伸長狀態(tài)時(shí)具有周期性，這與前面的分析是一致的.

5結(jié)語

在水平面上受穩(wěn)定約束的彈簧振子運(yùn)動模型，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)與距離r的一次方成正比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動問題.

本文利用拉格朗日方程建立了該運(yùn)動模型在極坐標(biāo)系中的動力學(xué)方程，分別采用泰勒級數(shù)展開的方法和Matlab數(shù)值模擬的方法對該模型的動力學(xué)方程進(jìn)行了計(jì)算，作出了相應(yīng)的坐標(biāo)隨時(shí)間的演化曲線、運(yùn)動相圖、運(yùn)動軌跡，并將兩種方法得出的結(jié)果進(jìn)行了比較.研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)初速度較小時(shí)，彈簧振子在徑向的運(yùn)動是周期性的簡諧運(yùn)動，在橫向的運(yùn)動是非線性增大的，在水平面上的運(yùn)動是準(zhǔn)周期的.

致謝：本文在撰寫的過程中曾與湖北文理學(xué)院物理系夏清華教授、楊正波副教授、高翔老師進(jìn)行過有益討論，在此表示感謝.

參 考 文 獻(xiàn)

1李云龍，倪致祥. 彈簧擺振動能變化的數(shù)值研究.阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，26(4)：45～48

2楊正波，夏清華，劉思平. 不同控制參數(shù)下的彈簧擺. 大學(xué)物理，2011，30(5)：23～27

3管慧，李維善. 彈簧擺運(yùn)動的研究. 大學(xué)物理，2010，29(3)：16～20

4司麗榮，張競夫.彈簧擺內(nèi)共振現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)研究.物理實(shí)驗(yàn)，2002，22(3)：13～16

5龔峻明.有心力與平方反比軌道.沈陽農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1987,18：25～30

6李秀芬. 距離三次方反比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動. 科技資訊，2009，9(3)：239

7那仁滿都拉. 五次方反比引力作用下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌道. 大學(xué)物理，2012，31(11)：9～10