半?yún)?shù)模型在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

趙富燕,孫李城,楊兆臣

(山東科技大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院,山東 青島 266590)

半?yún)?shù)模型在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

趙富燕,孫李城,楊兆臣

(山東科技大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院,山東 青島 266590)

摘要：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換在測(cè)繪領(lǐng)域一直起著至關(guān)重要的作用,而模型的選取又直接制約著轉(zhuǎn)換的精度,通常在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中采用相似變換(Hermert)的方法,在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程中一般采用4參數(shù)模型。然而當(dāng)系統(tǒng)誤差不可忽略時(shí),該模型處理得到的結(jié)果并不理想。本文將半?yún)?shù)模型應(yīng)用到平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中,分別采用4參數(shù)模型和半?yún)?shù)模型兩種方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,并進(jìn)行了對(duì)比與分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在處理帶有系統(tǒng)誤差的平面坐標(biāo)數(shù)據(jù)時(shí),半?yún)?shù)模型比傳統(tǒng)的參數(shù)模型更加精確。

關(guān)鍵詞：半?yún)?shù)模型;補(bǔ)償最小二乘;正則矩陣R;平滑因子α;平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

doi:10.13442/j.gnss.1008-9268.2015.03.011

中圖分類(lèi)號(hào)：P228.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：碼： A

文章編號(hào)：號(hào)： 1008-9268(2015)03-0046-05

收稿日期：2015-01-06

作者簡(jiǎn)介

Abstract:Coordinate transformation has been playing an essential role in surveying and mapping field,and the selection of model restrict the precision of the transformation directly,generally what we use in the coordinate transformation is similarity transformation (Hermert transformation) method, among them the four parameters model is commonly used in the plane coordinate transformation. when the system error cannot be ignored, however,the result the model get is not ideal.This paper applys a new model, namely the semiparametric model to the plane coordinate transformation, both the parameter model and semiparametric model were used in experimental data processing, as well as comparison and analysis. Experiment result show that Semiparametric model is more accurate and effective than traditional parameter model in dealing with data that cntains system error in plain coordinate transformation.

0引言

半?yún)?shù)模型是上世紀(jì)八十年代起發(fā)展起來(lái)的一種重要的統(tǒng)計(jì)模型,它既含有參數(shù)分量(描述了觀測(cè)量中函數(shù)關(guān)系己知的成分),又含有非參數(shù)分量(描述了函數(shù)關(guān)系未知的模型偏差),可以概括和描述眾多實(shí)際問(wèn)題,因此引起了廣泛的重視,取得了大量的研究成果[1]。

半?yún)?shù)模型的應(yīng)用范圍較為廣泛,在測(cè)繪領(lǐng)域主要應(yīng)用于測(cè)量數(shù)據(jù)處理中,在高精度坐標(biāo)變換,GPS水準(zhǔn)高程擬合等方面都取得了良好的應(yīng)用效果[2]。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換在測(cè)繪領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用,遙感圖像處理中的幾何校正,GIS中將柵格坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為地理坐標(biāo)的過(guò)程中,也必不可少的需要用到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。將半?yún)?shù)模型引入到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中是具有很高的理論價(jià)值和實(shí)際意義[3]。

本文將半?yún)?shù)模型運(yùn)用到平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中,選取了一組有兩套坐標(biāo)數(shù)據(jù)的公共點(diǎn),分別采用參數(shù)模型和半?yún)?shù)模型進(jìn)行建模,求解轉(zhuǎn)換參數(shù)并進(jìn)行了精度評(píng)定,利用matlab2010a進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比與分析。

1半?yún)?shù)模型

統(tǒng)計(jì)學(xué)上半?yún)?shù)模型被表達(dá)為

Y=f(X)+g(X)+Δ,

(1)

式中: Y為觀測(cè)值; f(X)為參數(shù)部分;即觀測(cè)值與未知參數(shù)的函數(shù)關(guān)系已知的部分; g(X)為非參數(shù)部分,即觀測(cè)值與未知參數(shù)的函數(shù)關(guān)系未知的部分;Δ表示偶然誤差[4]。

半?yún)?shù)模型用測(cè)量語(yǔ)言描述為

L=BX+S+Δ，

(2)

式中: L為n維觀測(cè)向量; B維列滿秩矩陣; X為t維參數(shù)向量;t為必要觀測(cè)數(shù); S為描述系統(tǒng)誤差的n維向量;Δ為n維觀測(cè)誤差向量。

平差準(zhǔn)則采用補(bǔ)償最小二乘準(zhǔn)則為

(3)

式中: S為描述系統(tǒng)誤差的n維向量; R為正則矩陣,用來(lái)估計(jì)參數(shù)S的某種函數(shù)類(lèi)型;α為平滑因子,在極小化過(guò)程中對(duì)V和S起平衡作用[5-6]。

按照求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)造函數(shù)

(4)

式中,K為拉格朗日常數(shù)。

對(duì)方程求偏導(dǎo)數(shù),令

(5)

經(jīng)過(guò)計(jì)算,得出如下結(jié)果:

非參數(shù)估計(jì):

聯(lián)系人： 趙富燕 E-mail: 946766167@qq.com

PBN-1BTP-αR)L.

(6)

參數(shù)估計(jì):

(7)

2平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

2.1　平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的參數(shù)模型

平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換采用的參數(shù)模型為

(8)

式中:θ為坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)角;λ為尺度因子; (x1,y1)為某點(diǎn)在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo); (x2,y2)為經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后該點(diǎn)在另一套坐標(biāo)系下的坐標(biāo);Δx, Δy為坐標(biāo)平移參數(shù);σx,σy分別表示點(diǎn)位坐標(biāo)X軸,Y軸方向的偶然誤差[7-8].

觀測(cè)方程的線性形式為

vx=1×a+0×b+c×x1-d×y1-x2,

vy=0×a+1×b+c×y1+d×x1-y2,

(9)

式中,

a=Δx,b=Δy,c=λ×cos(θ),

d=λ×sin(θ).

(10)

整理后,平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的參數(shù)平差模型為

(11)

2.2　平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的半?yún)?shù)模型

平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的半?yún)?shù)模型為

(12)

式中:Sx,Sy分別表示點(diǎn)位坐標(biāo)X軸;Y軸方向的系統(tǒng)誤差。

觀測(cè)方程的線性模型為

vx=1×a+0×b+c×x1-d×y1-x2+sx,

vy= 0×a+1×b+c×y1+d×x1-

y2+sy.

(13)

整理后,平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的半?yún)?shù)平差模型為

(14)

3算例分析

在x∈(-20,20),y∈(-20,20)的網(wǎng)格點(diǎn)上,實(shí)驗(yàn)選取25個(gè)均勻分布點(diǎn),理想認(rèn)為當(dāng)前坐標(biāo)系無(wú)誤差,為了得到這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的另外一套帶有誤差的坐標(biāo)系下的坐標(biāo),對(duì)它們進(jìn)行旋轉(zhuǎn),平移,添加噪聲處理。

(15)

為了盡可能接近實(shí)際情況,加入的系統(tǒng)誤差中包括線性誤差項(xiàng),指數(shù)誤差項(xiàng),還有周期誤差項(xiàng)。

(16)

式中,

t(m)= 2×π×(m-1)/3;

m=1,…,n

(17)

得到的這些點(diǎn)在兩套坐標(biāo)系下的坐標(biāo)和點(diǎn)位分布圖分別如表1和圖1所示。

表1　坐標(biāo)系1和坐標(biāo)系2下的點(diǎn)位坐標(biāo)

圖1　兩套坐標(biāo)系下的點(diǎn)位分布

分別采用參數(shù)平差模型和半?yún)?shù)平差模型建模,求解轉(zhuǎn)換參數(shù),并進(jìn)行精度評(píng)定,得到的結(jié)果如圖2，圖3，圖4所示。

圖2　采用參數(shù)模型得到的殘差

圖3　采用半?yún)?shù)模型的系統(tǒng)誤差

圖4　采用半?yún)?shù)模型的殘差

從圖2中可以看出:采用參數(shù)模型處理的殘差估值與模擬的殘差真值相差較大,利用參數(shù)模型求得的殘差帶有明顯的周期性,線性特征。產(chǎn)生這樣的結(jié)果是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的參數(shù)模型將系統(tǒng)誤差歸入隨機(jī)誤差進(jìn)行了處理,導(dǎo)致偶然誤差帶有了這些系統(tǒng)誤差的特征。

從圖3和圖4可以看出:采用半?yún)?shù)平差模型處理得到的系統(tǒng)誤差估值和模擬的系統(tǒng)誤差之間相差較小,殘差估值和模擬的殘差在圖像中也有較好的符合。

表2　用兩種模型處理得到的單位權(quán)中誤差δ0

表3　采用兩種模型處理得到的轉(zhuǎn)換參數(shù)與模擬值比較

從表2中可以看出:采用半?yún)?shù)模型解算出的轉(zhuǎn)換參數(shù)的單位權(quán)中誤差優(yōu)于采用參數(shù)模型解算出的單位權(quán)中誤差。說(shuō)明采用半?yún)?shù)模型解算出來(lái)的結(jié)果精度更高。

從表3中可以看出:采用半?yún)?shù)模型解算出的四個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)和采用參數(shù)模型解算出的四個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)相比更接近于模擬的真值。

4結(jié)束語(yǔ)

本文將半?yún)?shù)模型應(yīng)用到平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中,分別采用參數(shù)模型和半?yún)?shù)模型兩種方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,并進(jìn)行了對(duì)比與分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明,在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中,當(dāng)坐標(biāo)系統(tǒng)存在較大系統(tǒng)誤差或者系統(tǒng)誤差與偶然誤差相比不可忽略時(shí),采用半?yún)?shù)模型比采用參數(shù)模型處理得到的結(jié)果更優(yōu)越。同時(shí)本實(shí)驗(yàn)仍然有一些不足,如果在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中能找到一種普適的R矩陣的構(gòu)造方法,將使得該模型具有更高的運(yùn)用價(jià)值,取得精度更高的結(jié)果,這些都需要在以后的探索,研究中不斷地完善。

參考文獻(xiàn)

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趙富燕(1990-),女,山東濟(jì)南人,碩士生,主要從事現(xiàn)代測(cè)量數(shù)據(jù)處理理論及其應(yīng)用研究。

孫李城(1991-),男,湖北荊州人,碩士生,主要從事測(cè)量數(shù)據(jù)處理,“3S”技術(shù)集成與應(yīng)用研究。

楊兆臣(1988-),男,山東臨沂人,碩士生,主要從事GPS,RS,InSAR技術(shù)的應(yīng)用及數(shù)據(jù)處理研究。

The Application of Semiparametric Model in the

Plane Coordinate Transformation

ZHAO Fuyan,SUN Licheng,YANG Zhaochen

(CollegeofGeomatics,ShandongUniversityofScienceand

Technology,Qingdao266590,China)

Key words: Semiparamertic model; penaliezd least squares; regularization matrix R; the smoothing factor α; plane coordinate transformation