大學(xué)生物理競賽試題賞析(Ⅲ)——電磁學(xué)部分

大學(xué)生物理競賽試題賞析(Ⅲ)
——電磁學(xué)部分

劉家福張昌芳

(裝甲兵工程學(xué)院物理室北京100072)

摘 要：首先對全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽中電磁學(xué)試題所占的比例進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，然后分析電磁學(xué)試題中各知識點(diǎn)的分布情況，最后對電磁學(xué)試題的方法進(jìn)行剖析．

關(guān)鍵詞：大學(xué)生物理競賽電磁學(xué)試題基本要求

收稿日期：(2014-05-20)

自1984年以來，由北京物理學(xué)會和北京高校物理教學(xué)研究會舉辦的全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽從未間斷，而且規(guī)模不斷壯大，其考生成分、名稱演化、影響和意義，已分別在前文[1,2]中述及．筆者關(guān)注該項(xiàng)賽事十余年，搜集、研究了其所有試題．本文是筆者對歷屆電磁學(xué)試題進(jìn)行研究的總結(jié)，主要是對電磁學(xué)試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析，并對試題的典型方法進(jìn)行剖析，希望能為日常教學(xué)、參賽選手的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備及競賽輔導(dǎo)工作提供參考．

1電磁學(xué)試題及其在競賽中的占比

電磁學(xué)問題通常與力學(xué)問題聯(lián)系在一起，偶爾會涉及振動問題；《電磁學(xué)》與《光學(xué)》、《相對論》、《量子物理》等關(guān)系密切，甚至可以說是它們的基礎(chǔ)．教育部教指委2010年編制發(fā)布的《理工科類大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求》[3](以下簡稱《基本要求》)將大學(xué)物理課程分解為11個板塊，《電磁學(xué)》為其第4板塊．本文所采用試題均是以電磁現(xiàn)象、電磁性質(zhì)和電磁物理量為研究對象，至于那些雖然有電磁學(xué)背景、以電磁學(xué)為基礎(chǔ)，但不是以電磁物理量為研究目標(biāo)的題目，不在本文考慮范圍之內(nèi)．

基于同樣的原因[2]，本文所采用試題樣本為非物理類A組試題，剔出了其中的實(shí)驗(yàn)題，而且將每一屆的理論題總分?jǐn)?shù)均折合為100分．

在表1中，我們列出了歷屆競賽電磁學(xué)試題的總分?jǐn)?shù)．其中，“滬津”指1988年上海、天津兩市的大學(xué)生物理競賽．

表1　歷屆大學(xué)生物理競賽電磁學(xué)試題的總分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)

從表1的數(shù)據(jù)看，雖然最高、最低占比相差一倍有余，但電磁學(xué)試題的占比總體上是比較穩(wěn)定的．全部31套試題中，電磁學(xué)試題的平均占比為30.5%，標(biāo)準(zhǔn)偏差為6.3%．在《基本要求》中，建議《電磁學(xué)》授課不少于40學(xué)時，而整個課程不少于126學(xué)時，競賽中電磁學(xué)試題的分?jǐn)?shù)占比與《基本要求》建議的《電磁學(xué)》學(xué)時占比相當(dāng)．

2電磁學(xué)試題各知識點(diǎn)的分布

《基本要求》將《電磁學(xué)》內(nèi)容分解為A和B兩類(A類為核心內(nèi)容，本科生學(xué)習(xí)大學(xué)物理課程應(yīng)達(dá)到的最低要求；B類為擴(kuò)展內(nèi)容，體現(xiàn)加強(qiáng)基礎(chǔ)教育，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)展?jié)摿?共28條．在31套試題中，有2條A類知識點(diǎn)(電場強(qiáng)度和電勢的關(guān)系、靜電場的環(huán)路定理；電場和磁場的能量)和5條B類知識點(diǎn)(電介質(zhì)的極化及其描述；物質(zhì)的磁性、順磁質(zhì)、抗磁質(zhì)、鐵磁質(zhì)；麥克斯韋方程組的微分形式；邊界條件；超導(dǎo)體的電磁性質(zhì))沒有直接考核，表2列出了其他各條內(nèi)容在歷屆競賽中所占比重的平均值．

表2　《電磁學(xué)》各知識點(diǎn)在競賽試題中的平均占比

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，除了第18和第20屆外，“感應(yīng)電動勢”和“導(dǎo)體的靜電平衡”出現(xiàn)在各屆的競賽試題中，各出現(xiàn)18次，在歷屆試題中的平均占比分別為4.12%和3.95%．另外占比較高的是“真空中靜電場的電勢”問題和“有電介質(zhì)存在時的靜電場”問題．雖然“直流電”屬于B類，平均占比達(dá)到2.34%，但是很多屆的“直流電”問題考核的是等效電阻的求解，雖與中學(xué)物理有銜接，也涉及到一些方法，但與《基本要求》倡導(dǎo)的“增強(qiáng)學(xué)生發(fā)展?jié)摿Α钡木翊嬖谝欢ǖ牟罹啵?/p>

3電磁學(xué)試題的方法

縱觀30年的競賽，絕大多數(shù)電磁學(xué)試題都是純理論性的，幾乎沒有與日常生活、工程技術(shù)、科學(xué)前沿相聯(lián)系的試題．而且，絕大部分電磁學(xué)試題可用邏輯分析的方法求解，即根據(jù)已知條件，利用一些物理原理和數(shù)學(xué)工具，演繹、推理出所要求的結(jié)果．

在電磁學(xué)試題中，也有一些題目比較靈活，有的需要一定的技巧，有的需要綜合性分析，還有的體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)的思想．

3.1電磁學(xué)試題中的技巧

3.1.1補(bǔ)償法的應(yīng)用

高斯定理是描述靜電場性質(zhì)的重要定理，具有普遍性意義．在電荷分布具有簡單的對稱性(球?qū)ΨQ性、軸對稱性或面對稱性)的情況下，可以用其來分析電場強(qiáng)度(及電勢)的分布．但是，有的問題中電荷的分布不具有這樣簡單的對稱性．如圖1所示[4]，在半徑為R1、電荷體密度為ρ的均勻帶電球體中，有一個半徑為R2的球形空腔，空腔中心相對球體中心的位置矢量為r0，要求球形空腔內(nèi)任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度和空腔中心處的電勢．

圖1

這個問題中，電荷的分布就不具有球?qū)ΨQ性．為了求解這個問題，需要在空腔內(nèi)補(bǔ)上體密度為ρ的均勻電荷分布，同時補(bǔ)上體密度為-ρ的均勻電荷分布．如此一來，就可以利用高斯定理分別求出半徑為R1、電荷密度為ρ的均勻帶電球體及球形空腔處半徑為R2、電荷密度為-ρ的均勻帶電球體在空腔內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)及在空腔中心處產(chǎn)生的電勢，然后再利用疊加原理得到最終結(jié)果．

這個問題使我們很自然地想起另外一個問題：在半徑為R1，電流密度為j的無限長載流圓柱中，有一個半徑為R2的無限長圓柱形空腔(軸相互平行)，求空腔內(nèi)某點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度．

這個問題的求解需要用到安培環(huán)路定理，由于電流的分布不具有簡單的軸對稱性，需要在空腔內(nèi)補(bǔ)上電流，處理方法與上述方法完全類似．有趣的是，上述球形空腔內(nèi)的電場是均勻的，這個圓柱形空腔內(nèi)的磁場也是均勻的．

在圓柱區(qū)域內(nèi)，平行于軸向均勻分布的磁場，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間變化時，可以利用

圖2

為了求解此題，將空腔部分看作磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B和-B的均勻磁場的疊加，于是整個磁場可以看作以過O點(diǎn)垂直于紙面的直線為軸的圓柱內(nèi)的均勻磁場B和以過O′點(diǎn)垂直于紙面的直線為軸的圓柱內(nèi)的均勻磁場-B的疊加，金屬棍上的感生電動勢εAB就是B變化產(chǎn)生的感生電動勢ε1和-B變化產(chǎn)生的感生電動勢ε2的代數(shù)和．其中，均勻磁場-B隨時間的變化產(chǎn)生的感生電場E2垂直于金屬棍，ε2=0．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場產(chǎn)生的感生電動勢ε1的分析見下一小節(jié)．

第25屆競賽的第18題[5]也同樣用到補(bǔ)償法求渦旋電場，在此不再贅述．

3.1.2輔助法的應(yīng)用

在中學(xué)階段學(xué)習(xí)幾何時，我們不得不習(xí)慣于畫輔助線，一條恰當(dāng)?shù)妮o助線可以使幾何難題瞬間變得簡單．在電磁學(xué)中，也不乏利用輔助線求解問題的例子．

在上一個問題中，為了求出感生電動勢ε1，如果按部就班地先求出磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場隨時間變化產(chǎn)生的渦旋電場Ei的分布，再將Ei沿金屬棍AB積分，這樣做比較棘手(因?yàn)榻饘俟魃喜煌€元處Ei的大小、方向不盡相同)．

如圖3所示，作兩條輔助線分別連接OA和OB，此時OA，AB，BO構(gòu)成閉合回路．在OA，BO上，Ei與線元垂直，該閉合回路上的感生電動勢即為ε1．而閉合回路OABO上的感生電動勢可利用法拉第電磁感應(yīng)定律很容易地求出．

圖3

圖4

這個問題中，雖然均勻磁場B對稱地分布在圓形區(qū)域內(nèi)，其隨時間的變化產(chǎn)生的渦旋電場Ei的分布很容易得出，但由于MN上不同線元處Ei的大小、方向不盡相同，欲利用積分的方法達(dá)到目的，也是比較棘手的．如果作3條輔助線分別連接圓心和M，N及棒的中點(diǎn)，這個問題就迎刃而解了．

3.1.3等效法的應(yīng)用

所謂等效法，就是在不影響問題的物理本質(zhì)的情況下，將問題簡化處理，找到解決問題的途徑．

圖5(a)所示的電阻絲網(wǎng)絡(luò)[5]，水平和豎直的每一小段、三段斜電阻絲的每一段的電阻同為r，要求兩個端點(diǎn)A，B間等效電阻R．

筆者剛接觸到這個電阻絲網(wǎng)絡(luò)時，也感到其復(fù)雜．經(jīng)過仔細(xì)研究后，我們發(fā)現(xiàn)，按圖5(b)的方法分解，如果將B′，C′接到一個電源的兩極，則D，E兩點(diǎn)的電位相等，即最右邊兩個圖可以不予考慮．B′，C′間的等效電阻為rB′C′=r，rB′C′與rAC串聯(lián)后再與rAB并聯(lián)即為A，B間的等效電阻R．

圖5

另一個比較復(fù)雜的電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖6(a)所示[4]，3個半徑相同的均勻?qū)w圓環(huán)兩兩正交，各交點(diǎn)處彼此連結(jié)，每個圓環(huán)的電阻均為R，要求A，B間的等效電阻RAB和A，C間的等效電阻RAC．

圖6

為了求RAC，設(shè)想將A，C點(diǎn)接在電源的兩極，從電流分布看，ACBDA環(huán)面的上、下兩半是對稱的，電路是完全一樣的，因此可作圖6(b)所示的疊合(圖中G代表E，F(xiàn)兩點(diǎn)的疊合)．圖中電流間應(yīng)有

I1=I4，I2=I3，這樣就可以認(rèn)為I1和I4獨(dú)立于I2和I3而不在G點(diǎn)交匯，該電路于是可進(jìn)一步等效為圖6(c)所示的電路．如此，即可得到RAC．

3.2電磁學(xué)試題中的綜合性分析方法

我們通常遇到的物理問題一般比較簡單，可以很容易地看出因果關(guān)系、已知條件與待求結(jié)果之間的路徑很明晰．但有些問題卻不是這么簡單．

圖7所示的是兩個同心相對放置的均勻帶電的半球面[4]，它們的半徑分別為R1和R2，電荷面密度分別為σ1和σ2，滿足關(guān)系σ1R1=-σ2R2．要求證明小球面所對的圓截面S為等勢面，并計(jì)算這個等勢面的電勢值．

圖7

如果能夠證明S為等勢面，這個電勢值就很好求了，它就是球心O的電勢．本題的關(guān)鍵是如何證明S為等勢面．

按照邏輯性思維分析，在S上任意取一點(diǎn)求其電勢，如果所得的值與點(diǎn)的位置沒有關(guān)系，那就說明S是一個等勢面．但此路不通．

我們改變思維的方向：若要證明S為等勢面，只要證明S面上的電場強(qiáng)度與S面垂直即可；若要證明S面上的場強(qiáng)與S面垂直，只要知道兩個半球面在S上獨(dú)立產(chǎn)生的場強(qiáng)即可；最理想的情況，如果一個均勻帶電的半球面在其大圓面上任一點(diǎn)的場強(qiáng)與大圓面垂直，那可就太棒了！是垂直嗎？利用反證法，假設(shè)不垂直，那么導(dǎo)致的結(jié)果將是“一個均勻帶電的球面在球面內(nèi)產(chǎn)生的場強(qiáng)不為零”，這是錯誤的．這個錯誤說明了：一個均勻帶電的半球面在其大圓面上任一點(diǎn)的場強(qiáng)與大圓面垂直；進(jìn)而，兩個半球面在S產(chǎn)生的合場強(qiáng)與S面垂直；再進(jìn)而，S是一個等勢面！

我們把從終點(diǎn)出發(fā)，往回找理由，讓最后的理由與已知條件相吻合的思維方法稱為綜合性分析方法．這樣的思維方法，不僅在電磁學(xué)中用到，在力學(xué)中同樣有用，是各類證明題的通用方法．除了學(xué)習(xí)、研究外，這種思維模式對個人的成長、成才、成名也有十分重要的意義．

3.3電磁學(xué)試題中的數(shù)學(xué)思想

第7屆競賽有這么一個題目[4]：圖8所示的電阻網(wǎng)絡(luò)是由n個相同的單元重復(fù)連結(jié)而成，為使A，B間的等效電阻RAB與單元數(shù)n無關(guān)，求Rx的取值．

圖8

既然RAB與單元數(shù)n無關(guān)，那么，當(dāng)n=1和n=0時，A，B間的等效電阻值相等．或者，稍麻煩一點(diǎn)兒，取n=2和n=1時，A和B間的等效電阻值相等．Rx即可解出．

筆者當(dāng)初分析這個問題時，設(shè)計(jì)了另外一個類似的問題：如圖9所示，n個相同的單元重復(fù)連結(jié)而成的電阻網(wǎng)絡(luò)，A，B間的等效電阻RAB與單元數(shù)n是什么關(guān)系？當(dāng)n→∞時，RAB為何值？

圖9

圖10

筆者研究這個問題時，又聯(lián)想到第15屆競賽的一個力學(xué)問題[6]：如圖10所示，ABC為等邊三角形，連接AB邊、AC邊的中點(diǎn)B1，C1，再連接AB1，AC1的中點(diǎn)B2，C2，…，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成無限內(nèi)接等邊三角形系列．設(shè)所有線段的質(zhì)量線密度相等，BC邊的質(zhì)量為m，長度為a，求等邊三角形系列的總質(zhì)量和系統(tǒng)質(zhì)心與BC邊的距離．

我們發(fā)現(xiàn)，這兩個問題蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)中“極限”的思想，利用極限思想，其解唾手可得，有興趣的讀者可參閱文獻(xiàn)[7]．

4結(jié)語

本文對全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽電磁學(xué)試題進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，分析了各條知識的占比情況，剖析了典型的解題方法．電磁學(xué)試題要求考生具有較好的數(shù)學(xué)能力，涉及的方法與技巧較多．我們也希望在以后的競賽中，命題組能夠多設(shè)計(jì)一些與生活實(shí)際、工程技術(shù)或科學(xué)前沿相聯(lián)系的試題，以培育學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)他們的發(fā)展?jié)摿Γ?/p>

參 考 文 獻(xiàn)

1劉家福，張昌芳. 大學(xué)生物理競賽及其試題特色. 物理與工程，2008，18(4)：65

2劉家福，張昌芳.大學(xué)生物理競賽試題賞析(Ⅰ)——力學(xué)部分.物理通報(bào)，2014(10)：54～56

3教育部高等學(xué)校物理學(xué)與天文學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會. 理工科類大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求(2010年版).北京：高等教育出版社，2010. 1

4工科物理編輯部. 全國部分地區(qū)非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競賽題解匯編(第1～13屆). 北京：工科物理，1997. 35，92，101，45，73

5北京物理學(xué)會. 第25屆全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽試卷.2008.5,3

6工科物理編輯部. 全國部分地區(qū)非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競賽題解(第15屆). 北京：工科物理，1998. 2，4

7汪斌，劉家福. 數(shù)列的極限及其應(yīng)用分析. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2006，36(8)：367