簡(jiǎn)化齊次平衡原則與Gerdjikov-Ivanov方程的精確解

簡(jiǎn)化齊次平衡原則與Gerdjikov-Ivanov方程的精確解

李向正1,郝祥暉2

(1.河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 洛陽(yáng) 471023；2.濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,河南 濟(jì)源 459000)

摘要：發(fā)展和改進(jìn)求解非線性發(fā)展方程的方法是一項(xiàng)重要的工作。簡(jiǎn)化了齊次平衡原則,用變化后的方法求解了Gerdjikov-Ivanov方程,得到了該方程的鐘狀孤波解、周期波解和代數(shù)孤波解。

關(guān)鍵詞：Gerdjikov-Ivanov方程;齊次平衡原則;精確解

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10871129);河南省教育廳自然科學(xué)研究計(jì)劃基金項(xiàng)目(2011B110013,12B110006);河南科技大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(09001562)

作者簡(jiǎn)介：李向正(1972-),男,河南偃師人,副教授,博士,主要研究方向?yàn)榉蔷€性數(shù)學(xué)物理方程.

收稿日期：2014-06-06

文章編號(hào)：1672-6871(2015)01-0082-04

中圖分類號(hào)：O175.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

現(xiàn)代物理學(xué)的進(jìn)展在很大程度上依賴于非線性數(shù)學(xué)及求解非線性方程方法的進(jìn)展[1]。文獻(xiàn)[2-3]提出齊次平衡原則之后，該原則在非線性發(fā)展方程的求解方面得到了廣泛的應(yīng)用。已有的一些行之有效的方法，諸如雙曲正切函數(shù)展開(kāi)方法[4]及其擴(kuò)展方法[5]、Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)方法[6]、F展開(kāi)法[7-9]、(G′/G)展開(kāi)法[10-14]、LS解法[15]、映射法[16]、輔助方程法[17-18]等,均需借助齊次平衡原則來(lái)確定其解的表達(dá)式中最高次項(xiàng)的次數(shù)。然而，齊次平衡原則中有一些步驟是可以簡(jiǎn)化的。本文將對(duì)齊次平衡原則進(jìn)行簡(jiǎn)化以及變形,并以Gerdjikov-Ivanov方程

(1)

為例，求出其精確解。此方程出現(xiàn)在量子場(chǎng)理論、弱非線性色散水波和非線性光學(xué)等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[19]借助Liénard方程作輔助求解了方程(1)。文獻(xiàn)[20]用分支理論和相圖分析的方法研究了方程(1)，并給出了部分精確解。

1Gerdjikov-Ivanov方程的精確解

下面尋找方程(1)的行波解：

q(x,t)=a(ξ)exp{i[ψ(ξ)-ωt]}，

(2)

其中：x為空間變量；t為時(shí)間變量；q(x,t)為光波的振幅函數(shù)；ξ=x-vt，v為待定常數(shù)；a(ξ)>0;ψ(ξ)為待定實(shí)函數(shù)；ω為待定常數(shù)。

將式(2)代入方程(1)，消去因子exp{i[ψ(ξ)-ωt]},并令實(shí)部虛部分別為零，得到a(ξ),ψ(ξ)滿足的常微分方程(ODE)組：

(3)

-va′(ξ)+2a′(ξ)ψ′(ξ)+a(ξ)ψ″(ξ)-a2(ξ)a′(ξ)=0。

(4)

為簡(jiǎn)化方程組(3)和方程組(4)，令

(5)

將式(5)代入式(4)，可使式(4)自動(dòng)成立。將式(5)代入式(3)得：

(6)

設(shè)

(7)

將式(7)代入方程(6)，整理可得：

(8)

(9)

其中，A、B是待定常數(shù)。

將式(9)代入方程(8)，得：

(4A2v2+16A2ω)f2+12A2f′2-8A2Bf″-8A2ff″]=0。

(10)

要使方程(10)成立，只需

3A4-8A3Bv+4A2B2v2+16A2B2ω+(-8A3v+8A2Bv2+32A2Bω)f+

(4A2v2+16A2ω)f2+12A2f′2-8A2Bf″-8A2ff″=0。

(11)

下面考慮方程(11)3種形式的解：

(Ⅰ)設(shè)f=cosh(ξ)。

(12)

將式(12)代入方程(11),而后令cosh(ξ)各冪次項(xiàng)的系數(shù)為零,解關(guān)于A、B、v和ω的方程組得：

(13)

其中，0

將式(12)和解(13)代入式(9)得：

(14)

(Ⅱ)設(shè)f=cos(ξ)。

(15)

將式(15)代入方程(11)，而后令cos(ξ)各冪次項(xiàng)的系數(shù)為零，解關(guān)于A、B、v和ω的方程組得：

(16)

其中，B2>1。

將式(15)和解(16)代入式(9)得：

(17)

(18)

(Ⅲ)設(shè)f=ξ2。

(19)

將式(19)代入方程(11)，而后令ξ2各冪次項(xiàng)的系數(shù)為零，解關(guān)于A、B、v和ω的方程組得：

(20)

將式(19)和解(20)代入式(9)得：

(21)

將b1、式(7)及解(13)代入式(5)，再積分后解出：

(22)

再將b1、式(7)、解(13)及式(22)代入式(2)，可得方程(1)的鐘狀孤波解：

(23)

將b2、式(7)及解(16)代入式(5),再積分后解出：

(24)

再將b2、式(7)、解(16)及式(24)代入式(2),可得方程(1)的周期波解：

(25)

將b3、式(7)及解(16)代入式(5)，再積分后解出：

(26)

再將b3、式(7)、解(16)及式(26)代入式(2)，可得方程(1)的周期波解：

(27)

將b4、式(7)及解(20)代入式(5)，再積分后解出：

(28)

再將b4、式(7)、解(20)及式(28)代入式(2)，可得方程(1)的代數(shù)孤立波解：

(29)

本文借助方程(10)的解來(lái)構(gòu)造Gerdjikov-Ivanov方程的精確解，此方法與文獻(xiàn)[19]對(duì)比,其思想更自然。文獻(xiàn)[20]利用直接積分法構(gòu)造方程(1)的解,需要較高的技巧,不如本文方法簡(jiǎn)潔。需要指出的是復(fù)函數(shù)的模一般為正值,文獻(xiàn)[20]中給出的負(fù)值的模函數(shù)應(yīng)舍去。

2結(jié)論

本文對(duì)齊次平衡原則做了3點(diǎn)變化。首先,直接將齊次平衡原則中的待定函數(shù)改為有理函數(shù),并相應(yīng)省去了原方法中的第2步和第3步，減少了計(jì)算量;其次,將變化后的齊次平衡原則直接作用于行波約化后的非線性常微分方程,再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解齊次平衡的常微分方程；第三,原齊次平衡原則中沒(méi)有給出式(5)的解,借助式(5)可得到方程(1)的鐘狀孤波解、周期波解和代數(shù)孤波解。本文以Gerdjikov-Ivanov方程為例,證明了簡(jiǎn)化齊次平衡原則是可行且有效的。

致謝:本文得到王明亮教授的指導(dǎo)，在此表示感謝。

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