智能桁架結(jié)構(gòu)最優(yōu)振動(dòng)控制與作動(dòng)器優(yōu)化配置

第一作者曹玉巖男，碩士，助理研究員，1986年2月生

智能桁架結(jié)構(gòu)最優(yōu)振動(dòng)控制與作動(dòng)器優(yōu)化配置

曹玉巖，王志臣，付世欣,吳慶林

(中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林130033)

摘要：研究了智能桁架結(jié)構(gòu)最優(yōu)振動(dòng)控制和作動(dòng)器的優(yōu)化配置問(wèn)題。首先采用有限元方法，根據(jù)Hamilton原理推導(dǎo)了智能桁架結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程，根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制理論，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)最小化性能泛函，求解黎卡提矩陣代數(shù)方程確定了最優(yōu)控制輸入。然后通過(guò)對(duì)最優(yōu)控制性能指標(biāo)函數(shù)的修正，得到了與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)的性能指標(biāo)，以修正的性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用模擬退火算法對(duì)作動(dòng)器位置進(jìn)行了優(yōu)化配置。最后給出了空間智能桁架結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制算例驗(yàn)證建模過(guò)程和算法。算例結(jié)果表明，通過(guò)最優(yōu)振動(dòng)控制可以使結(jié)構(gòu)振動(dòng)快速衰減，達(dá)到振動(dòng)抑制的效果，而且通過(guò)模擬退火算法可以確定最佳的作動(dòng)器布置方式。

關(guān)鍵詞：智能桁架；Hamilton原理；振動(dòng)控制；模擬退火

收稿日期：2013-11-08修改稿收到日期：2014-02-12

中圖分類號(hào):TP13文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Optimal vibration control and actuator placement for intelligent truss structures

CAOYu-yan,WANGZhi-chen,FUShi-xin,WUQing-lin(Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033, China)

Abstract:The optimal vibration control and actuator placement for intelligent truss structures was investigated. The mech-electric coupling dynamic formulation of piezoelectric intelligent truss structures based on Hamilton principle was presented. The mathematical model of vibration control for truss structures was derived using linear quadratic Gauss optimal control theory. The input of optimal control was determined by minimizing the performance function and solving the Riccati algebraic equation. Then, the performance criterion unrelated to initial state was obtained through correcting the performance criterion of optimal control. The optimization of actuator position was performed using simulated annealing algorithm so as to minimize the corrected performance criterion. The numerical example of vibration control for a spatial intelligent truss structure was given to verify the modeling process and optimization algorithm. The simulations results indicate that the vibration suppression effect is obvious and the vibration responses decrease quickly by the optimal vibration control.

Key words:intelligent truss; Hamilton theory; vibration control; simulated annealing

隨著航天事業(yè)的發(fā)展，航天器朝著輕量化、大型化方向發(fā)展，桁架結(jié)構(gòu)作為一種特殊的結(jié)構(gòu)得到了越來(lái)越普遍的應(yīng)用[1-2]。由于其自身低剛度、弱阻尼的特點(diǎn)，振動(dòng)問(wèn)題很突出，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，桁架結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制問(wèn)題一直是研究的熱點(diǎn)，尤其是壓電陶瓷堆作動(dòng)器的出現(xiàn)，使得復(fù)雜桁架結(jié)構(gòu)主動(dòng)振動(dòng)控制成為可能[3]。將作動(dòng)器和傳感器與桁架結(jié)構(gòu)結(jié)合一起形成自適應(yīng)結(jié)構(gòu)，在振動(dòng)控制、噪聲抑制、形狀控制和精密定位領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

在國(guó)內(nèi)外，智能結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主動(dòng)控制及優(yōu)化方法已經(jīng)取得了一定的進(jìn)展[1,4-6]，結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制和作動(dòng)器的最優(yōu)布置一直是該領(lǐng)域研究的主要問(wèn)題。Moita等[1]研究了壓電層合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制問(wèn)題，并采用模擬退火算法對(duì)貼片作動(dòng)器的位置進(jìn)行了優(yōu)化配置。Yan等[7]研究了空間桁架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制問(wèn)題，作動(dòng)器的優(yōu)化配置采用遺傳算法實(shí)現(xiàn)，但其優(yōu)化結(jié)果受到初始條件的影響很大，不同的初始條件將得到不同的優(yōu)化配置結(jié)果。徐亞蘭等[8]基于結(jié)構(gòu)模態(tài)空間范數(shù)研究了壓電柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制問(wèn)題。謝永等[9]對(duì)10跨桁架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性和主動(dòng)振動(dòng)控制進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。曾光等[10]研究了基于遺傳算法的空間智能桁架結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制中的作動(dòng)器/傳感器位置優(yōu)化問(wèn)題。徐斌等[11]針對(duì)區(qū)間參數(shù)壓電智能結(jié)構(gòu)/控制一體化多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，提出了一種區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)/控制多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法。彭海軍等[12]針對(duì)桁架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制問(wèn)題，采用基于變形修正的物理降階方法對(duì)有限元模型降階，并設(shè)計(jì)線性二次高斯(LQG)最優(yōu)控制律。趙國(guó)偉等[13]對(duì)柔性自適應(yīng)桁架最優(yōu)振動(dòng)控制進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。

本文研究了智能桁架結(jié)構(gòu)最優(yōu)振動(dòng)控制和作動(dòng)器的優(yōu)化配置問(wèn)題。首先采用有限元方法和最優(yōu)控制理論，建立智能桁架結(jié)構(gòu)最優(yōu)振動(dòng)控制模型，通過(guò)最小化性能泛函，并求解黎卡提(Riccati)矩陣代數(shù)方程確定了最優(yōu)控制輸入。然后應(yīng)用模擬退火算法對(duì)作動(dòng)器的位置進(jìn)行優(yōu)化。最后給出空間智能桁架結(jié)構(gòu)的仿真算例，驗(yàn)證建模過(guò)程和算法。

1智能桁架結(jié)構(gòu)最優(yōu)振動(dòng)控制系統(tǒng)建模

1.1智能桁架結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

智能桁架結(jié)構(gòu)的桿件包括壓電作動(dòng)器和主體桿件，其中壓電作動(dòng)器是由多層壓電片堆疊膠合而成的，李東旭等[14-16]詳細(xì)介紹了壓電材料單元的力學(xué)方程，這里僅作簡(jiǎn)要敘述。作動(dòng)器結(jié)構(gòu)如圖1所示，在電壓的作用下可產(chǎn)生軸向伸縮位移，其動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。

圖1　壓電陶瓷堆作動(dòng)器結(jié)構(gòu) Fig.1 Structure of piezoelectric actuator

圖2　壓電作動(dòng)器力學(xué)模型簡(jiǎn)化 Fig.2 Mechanic model of piezoelectric actuator

根據(jù)Hamilton變分原理，軸向伸縮PZT壓電元件機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：L=T-U為L(zhǎng)agrange函數(shù)，T為系統(tǒng)動(dòng)能，U為系統(tǒng)勢(shì)能，δ′W為外載荷所做虛功(外載荷所做功的變分)。

由式(1)可得壓電作動(dòng)器單元?jiǎng)恿W(xué)方程為[16]

(2)

(3)

(4)

壓電主動(dòng)桿是由壓電作動(dòng)器兩端與主體桿件連接而成的可軸向伸縮的桿件，結(jié)構(gòu)如圖3所示，其中單元1、3為主體材料單元，單元2為壓電作動(dòng)器單元。

圖3　主動(dòng)桿示意圖 Fig.3 Diagram of active members

單元1、3的有限元方程為

(5)

式中，上標(biāo)(h)表示主體桿件材料的相關(guān)矩陣，其含義與式(2)一致。

對(duì)單元1或3，其方程的具體形式為

(6)

對(duì)單元1、2、3的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣進(jìn)行組裝，得到總體坐標(biāo)系下結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程為

(7)

式中，上標(biāo)(c)表示主動(dòng)桿的相關(guān)矩陣。

矩陣[H],[M]的表達(dá)式為

式中，λ=k1k2+k2k3+k1k3，ki(i=1,2,3)為單元i的拉伸剛度，kuv為作動(dòng)器的耦合剛度。

將式(8)代入式(7)得到主動(dòng)桿的機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程為

[Kuv]e{δ}e+{Kvv}eφ=-{Q}e

(10)

通過(guò)縮聚變換，使壓電主動(dòng)桿的方程與主體桿單元具有相同形式。根據(jù)以上推導(dǎo)得到了壓電主動(dòng)桿件模型，通過(guò)坐標(biāo)變換將各單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣變換為總體坐標(biāo)系下的特性矩陣，然后對(duì)其進(jìn)行組集，即得到壓電桁架結(jié)構(gòu)的無(wú)阻尼動(dòng)力學(xué)方程為

(11)

式中，

1.2最優(yōu)振動(dòng)控制建模

由于桁架結(jié)構(gòu)的特性矩陣如剛度矩陣、質(zhì)量矩陣等均是時(shí)不變的，結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制系統(tǒng)屬于線性定常系統(tǒng)，根據(jù)最優(yōu)控制理論，性能指標(biāo)是狀態(tài)變量的二次函數(shù),可以把這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題視為線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題[17]。

為了應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制，將式(11)變換為狀態(tài)空間方程表達(dá)式為

(12)

為了能在消耗最少控制能量的情況下使結(jié)構(gòu)振動(dòng)迅速衰減，根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制理論，性能指標(biāo)函數(shù)表達(dá)為

(13)

式中，Q∈R2n×2n為半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣，R∈Rr×r為正定控制加權(quán)矩陣，Q,R為對(duì)陣矩陣且常取為對(duì)角陣。

根據(jù)最優(yōu)控制理論，使性能指標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的充分必要條件為

u(t)=-Kx(t)=-R-1BTPx(t)

(14)

矩陣P可以通過(guò)求解黎卡提(Ricatii)矩陣代數(shù)方程得到，即

ATP+PA+Q-PBR-1BTP=0

(15)

性能指標(biāo)函數(shù)的最小值為

(16)

將式(14)代入式(12)得

(17)

由式(17)可求得

x=x0e(A-BR-1BTP)t

(18)

2壓電作動(dòng)器的優(yōu)化配置

壓電作動(dòng)器的最優(yōu)配置問(wèn)題屬于離散規(guī)劃問(wèn)題，有很多優(yōu)化方法如遺傳算法、模擬退火算法可以求解該問(wèn)題，在這里采用模擬退火算法，與傳統(tǒng)的應(yīng)用梯度的優(yōu)化方法相比，模擬退火算法的優(yōu)點(diǎn)可以防止過(guò)早收斂與局部最優(yōu)解。

2.1模擬退火算法

模擬退火算法于1982年由Kirkpatrick等引入組合優(yōu)化領(lǐng)域，它源于對(duì)固體退火過(guò)程的模擬，采用Metropolis接受準(zhǔn)則，并適當(dāng)?shù)目刂茰囟鹊南陆颠^(guò)程實(shí)現(xiàn)模擬退火，從而達(dá)到求解全局優(yōu)化問(wèn)題的目的。模擬退火算法中按Metropolis接受準(zhǔn)則確定。

算法中是否接受從當(dāng)前解x1到新解x2的轉(zhuǎn)移由Metropolis接受準(zhǔn)則決定，可以描述為

2.2作動(dòng)器優(yōu)化配置

根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制理論，最小化性能指標(biāo)相當(dāng)于最小化系統(tǒng)能量與控制能量，將式(18)和式(14)代入式(13)得

(20)

從式(20)可以看出性能指標(biāo)函數(shù)與初始狀態(tài)有直接關(guān)系，為了消除初始狀態(tài)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，將對(duì)能量函數(shù)做如下修正[18]，并將修正后的能量函數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0在n維單位球面上隨機(jī)分布，則式(20)將變化為

(21)

式中，Aeq=A-BR-1BTP

Qeq=Q+(R-1BTP)TR(R-1BTP)

對(duì)式(21)計(jì)算關(guān)于初始狀態(tài)x0的數(shù)學(xué)期望為

(22)

(23)

(24)

修正后的系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù)可以表達(dá)為

(25)

式(25)所表示的性能指標(biāo)的意義為：當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0在n維單位球面上隨機(jī)分布時(shí)，最小化修正性能指標(biāo)式(25)等價(jià)于最小化性能指標(biāo)式(25)關(guān)于初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)期望。

根據(jù)上述推導(dǎo)，將修正的性能指標(biāo)函數(shù)，即式(25)作為作動(dòng)器優(yōu)化配置的目標(biāo)函數(shù)，可以建立作動(dòng)器優(yōu)化配置的數(shù)學(xué)模型為

(26)

式中，λj表示第j個(gè)桿件是否配置作動(dòng)器，0-不安裝，1-安裝，n,m分別表示桁架桿件總數(shù)和作動(dòng)器總數(shù)。

2.3算法中初始溫度設(shè)置及新解構(gòu)造

初始溫度T0及降溫準(zhǔn)則將對(duì)算法的性能有很大影響，必須設(shè)置足夠高，至少在初始時(shí)保證所有解都能被接受，這里采用多次隨機(jī)布置產(chǎn)生一組變量，計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，利用這組目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值之差來(lái)確定初始溫度狀態(tài)，即

(27)

式中，pr為初始接受概率。

(28)

3仿真算例

以如圖4所示20節(jié)點(diǎn)64桿空間智能桁架結(jié)構(gòu)為例，對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的仿真分析。桁架節(jié)點(diǎn)和單元編號(hào)如圖4所示，約束1~4號(hào)節(jié)點(diǎn)的全部自由度，桁架結(jié)構(gòu)共有16×3=48自由度。桁架結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)和材料特性參數(shù)如表1所示。

表1　桁架中桿件及作動(dòng)器相關(guān)參數(shù)

圖4　空間桁架結(jié)構(gòu) Fig.4 Structure of truss

仿真驗(yàn)證三種情況：首先在每個(gè)桿件上均布置作動(dòng)器，共64個(gè)作動(dòng)器，分析最優(yōu)控制前后結(jié)構(gòu)振動(dòng)衰減情況；然后通過(guò)分析布置10(1~64任取)個(gè)作動(dòng)器情況下優(yōu)化布置前后的控制效果，來(lái)驗(yàn)證優(yōu)化配置算法；最后分析布置不同數(shù)量作動(dòng)器情況，優(yōu)化性能指標(biāo)與作動(dòng)器數(shù)目的關(guān)系。其中最優(yōu)振動(dòng)控制加權(quán)矩陣選取Q=106I,R=I。

3.1每個(gè)桿件均布置作動(dòng)器情況

在每個(gè)桿件位置均布置作動(dòng)器的情況下，共有64

個(gè)壓電作動(dòng)器，對(duì)三種不同的初始擾動(dòng)條件進(jìn)行了動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析，并采用提出的方法進(jìn)行最優(yōu)振動(dòng)控制。三種不同的初始擾動(dòng)條件分別為：

結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)響應(yīng)和最優(yōu)振動(dòng)控制后的響應(yīng)如圖5所示。

從圖5(a)~(c)中可以看出，通過(guò)最優(yōu)振動(dòng)控制可以使結(jié)構(gòu)振動(dòng)快速衰減，1s后衰減90%以上，1.5s后基本衰減為0。

3.2配置10個(gè)壓電作動(dòng)器情況

對(duì)個(gè)作動(dòng)器的位置進(jìn)行優(yōu)化配置，采用模擬退火算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化配置，并對(duì)優(yōu)化配置前后最優(yōu)振動(dòng)控制的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。優(yōu)化求解參數(shù)如表2所示，優(yōu)化過(guò)程中，優(yōu)化前后個(gè)作動(dòng)器布置位置如圖6所示，目標(biāo)函數(shù)變化如圖7所示，新解接受與拒絕柱形圖如圖8所示，溫度下降曲線如圖9所示。

圖5　布置64個(gè)壓電作動(dòng)器在三種工況下，智能桁架結(jié)構(gòu) 最優(yōu)振動(dòng)控制前后節(jié)點(diǎn)位移動(dòng)態(tài)響應(yīng)，圖(a)(b)(c)分別對(duì)應(yīng)初始擾動(dòng)條件(Ⅰ)(Ⅱ)和(Ⅲ) Fig.5　Dynamic responses of the intelligent truss structure without control and with optimal control by actuators for different initial disturbances, figures (a), (b) and (c) show the response for initial disturbance case (Ⅰ), (Ⅱ) and (Ⅲ) respectively

表2　優(yōu)化求解參數(shù)

從圖10(a)和(b)可以看出，優(yōu)化配置前，20節(jié)點(diǎn)X向動(dòng)態(tài)位移衰減很慢，衰減時(shí)間較長(zhǎng)，1.5 s時(shí)還存在較大幅度的振動(dòng)位移，而優(yōu)化配置后，動(dòng)態(tài)位移衰減很快，1 s內(nèi)位移得到了很好的抑制。

圖6　優(yōu)化配置前后10個(gè)作動(dòng)器的位置 Fig.6 Initial and optimal locations for actuators

3.3配置不同數(shù)量作動(dòng)器情況

為了研究作動(dòng)器數(shù)目對(duì)控制性能的影響，對(duì)配置不同數(shù)目作動(dòng)器的情況進(jìn)行仿真分析，配置作動(dòng)器數(shù)目為5~62，性能指標(biāo)變化如圖11所示。

從圖11可以看出，隨著作動(dòng)器數(shù)目的增加，性能指標(biāo)μ隨之減小，控制總能量不斷下降，即作動(dòng)器越多控制性能越好。

從圖11還可以看出，在作動(dòng)器數(shù)目1~10階段，目標(biāo)函數(shù)下降速度較快，目標(biāo)函數(shù)值減小70%以上，而在作動(dòng)器數(shù)目17~62階段，目標(biāo)函數(shù)僅下降30%。由此可知，作動(dòng)器數(shù)目存在一個(gè)臨界值，在達(dá)到臨界數(shù)目前，作動(dòng)器數(shù)目的增加對(duì)控制性能影響較大，而超過(guò)臨界數(shù)目后，對(duì)控制性能影響不明顯。因此對(duì)桁架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制，僅需配置很少一部分作動(dòng)器就能達(dá)到理想的控制效果。

圖7 優(yōu)化配置10個(gè)作動(dòng)器目標(biāo)函數(shù)變化Fig.7Objectivefunctioncurveforoptimization圖8 優(yōu)化配置10個(gè)作動(dòng)器接受與拒絕圖Fig.8Acceptanceandrefusalcurveforoptimization圖9 優(yōu)化配置10個(gè)作動(dòng)器降溫曲線Fig.9Temperaturedescendcurveforoptimization

圖10 優(yōu)化配置前后20節(jié)點(diǎn)X向動(dòng)態(tài)位移響應(yīng)Fig.10Thedynamicdisplacementresponseofnode2direction圖11 作動(dòng)器數(shù)目與性能指標(biāo)變化Fig.11Therelationsbetweenactuatornumbersandobjectionfunction

4結(jié)論

研究了智能桁架結(jié)構(gòu)最優(yōu)振動(dòng)控制與作動(dòng)器最優(yōu)配置問(wèn)題，首先采用有限元方法推導(dǎo)了智能桁架結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)最小化性能泛函，求解黎卡提(Riccati)矩陣代數(shù)方程確定了最優(yōu)控制輸入。然后以修正的性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用模擬退火算法對(duì)作動(dòng)器位置進(jìn)行了優(yōu)化配置。最后給出了桁架振動(dòng)控制算例驗(yàn)證建模過(guò)程和算法。

算例結(jié)果表明，(1)通過(guò)最優(yōu)振動(dòng)控制可以使結(jié)構(gòu)振動(dòng)快速衰減，能夠達(dá)到很好的振動(dòng)抑制效果；(2)對(duì)于確定相同數(shù)量的作動(dòng)器，不同的布置方式控制效果差別很大，通過(guò)模擬退火算法優(yōu)化，可以確定出最佳布置方式，使控制性能得到明顯改善；(3)布置的作動(dòng)器數(shù)量越多，控制效果越好，但作動(dòng)器數(shù)目存在一個(gè)臨界值，小于該臨界值時(shí)，作動(dòng)器數(shù)目的增加對(duì)控制性能的影響非常顯著，大于該臨界值時(shí)，作動(dòng)器數(shù)目的增加對(duì)控制性能的影響不明顯。

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