考慮內(nèi)部激勵(lì)隨機(jī)性的兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性

考慮內(nèi)部激勵(lì)隨機(jī)性的兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性

廖映華1,2，秦大同1，劉長釗1

(1. 重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶400044； 2. 四川理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,四川自貢643000)

摘要：根據(jù)某特種裝備用兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的構(gòu)型特點(diǎn)，考慮軸承變形、嚙合剛度、嚙合誤差和齒側(cè)間隙等因素，建立了兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的軸承-齒輪耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型。采用Runge-Kutta逐步積分法求解系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)微分方程，從而獲得隨機(jī)嚙合剛度和嚙合誤差激勵(lì)作用下兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力及其頻譜，采用Monte Carlo仿真獲得動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力的統(tǒng)計(jì)特征，研究了嚙合剛度和嚙合誤差隨機(jī)性對動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力的影響規(guī)律，為兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化以及動(dòng)態(tài)可靠性優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)內(nèi)部激勵(lì)；人字齒輪傳動(dòng)；動(dòng)力學(xué)特性；統(tǒng)計(jì)特征

中圖分類號(hào):TH132.4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Dynamic characteristics of two-stage split herringbone gear trains considering the randomness of internal excitations

LIAOYing-hua1,2,QINDa-tong1,LIUChang-zhao1(1. State key laboratory of mechanical transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China；2. School of Mechanical Engineering, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China)

Abstract:According to the configurational characteristics, a bearing-gear coupled non-linear dynamics model of two-stage split herringbone gear trains used in special equipment was presented. In the model, bearing stiffness, mesh stiffness，mesh errors and gear backlash were all included. Then the Runge-Kutta step-by-step integration method was used to solve the non-linear differential equations of motion, the time history curves and frequency spectrums of the dynamic meshing force and dynamic bearing force were obtained considering the random mesh stiffness and mesh error excitations, and further, their statistical characteristics were determined by Monte Carlo simulation to analyze the influences of the randomness of mesh stiffness and mesh errors on the dynamic mesh force and dynamic bearing force. The research results lay a foundation for the dynamic optimization and dynamic reliability optimization of two-stage split herringbone gear trains.

Key words:random internal excitation; herringbone gear trains; dynamic characteristic; statistical characteristic

人字齒輪由左右完全對稱的斜齒輪構(gòu)成，人字齒輪傳動(dòng)無軸向力，承載能力高，廣泛用于起重機(jī)械、艦船、礦山機(jī)械和工程機(jī)械等重載設(shè)備。由于制造安裝誤差、時(shí)變嚙合剛度和齒側(cè)間隙等因素的影響，人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)工作時(shí)各傳動(dòng)件承受著復(fù)雜的動(dòng)態(tài)載荷，對系統(tǒng)振動(dòng)噪聲、疲勞壽命和可靠性有重要影響，因此人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析是低噪聲和高可靠性設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

已有大量文獻(xiàn)對人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究。吳新躍等[1]在考慮齒輪軸的軸向變形，忽略齒輪摩擦的基礎(chǔ)上，建立了單級人字齒輪副嚙合耦合振動(dòng)模型。王成等[2-3]建立了單級人字齒輪傳動(dòng)的彎-扭-軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，討論了系統(tǒng)的內(nèi)部激勵(lì)和輪齒修形對人字齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)特性的影響，并通過輪齒接觸分析(TCA)和承載接觸分析(LTCA)計(jì)算內(nèi)部激勵(lì)。Sondkar[4]建立了單級人字齒輪行星齒輪動(dòng)力學(xué)分析模型，并分析了系統(tǒng)的固有特性及動(dòng)態(tài)響應(yīng)。郭家舜等[5]將齒廓修形作為一種時(shí)變齒側(cè)間隙，建立了單級人字齒輪傳動(dòng)的彎-扭-軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析了修形參數(shù)對動(dòng)態(tài)系數(shù)幅值的影響。卜忠紅等[6]建立了人字行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)-橫向振動(dòng)模型，得到了系統(tǒng)的五種固有振動(dòng)模式，分析了科氏慣性力、離心慣性力以及轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)固有頻率的影響。朱增寶等[7-8]建立了考慮支撐彈性變形、時(shí)變嚙合剛度、誤差激勵(lì)等因素的差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了安裝誤差、偏心和齒輪誤差對系統(tǒng)均載特性的影響。上述研究將各種激勵(lì)視為確定性激勵(lì)，但實(shí)際上由于制造、安裝誤差存在的隨機(jī)性導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)內(nèi)部激勵(lì)的不確定性，其對齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響不應(yīng)忽視[9-13]。因此，為了研究制造誤差隨機(jī)性對兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律，本文以某特種裝備用兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為對象，考慮軸承變形、嚙合剛度、嚙合誤差和齒側(cè)間隙等因素，建立了人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的齒輪-軸承耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了由隨機(jī)制造誤差引起的嚙合剛度和嚙合誤差等內(nèi)部激勵(lì)的隨機(jī)性對人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。

圖1為某種特種裝備用兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)簡圖，該傳動(dòng)系統(tǒng)的中間軸軸向固定，高速軸和低速軸軸向自由。將齒輪的輪體視為剛體，輪齒、軸和軸承視為線彈性體， 考慮傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)變形和軸向

變形，忽略粘性阻尼、重力和輪齒間的摩擦力，考慮人字齒輪制造誤差引起的嚙合誤差、軸向位移激勵(lì)和齒側(cè)間隙，則可建立圖2所示的兩級人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。圖2中，在齒輪i(i=1,…,6)的理論中心Oi建立固定坐標(biāo)系OiYiZi，坐標(biāo)軸Yi平行于系統(tǒng)靜態(tài)齒輪嚙合線，坐標(biāo)軸Zi位于軸承孔的理想中心線上；齒輪i的質(zhì)量為mi，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ji；Td為驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

圖1　某特種裝備用兩級分流式 人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)簡圖 Fig.1 Kinematic diagram of two-stage split herringbone gear trains used on special equipment

圖2　兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型 Fig.2 Dynamic model of two-stage split herringbone gear trains

1兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)人字齒輪副的嚙合狀態(tài)以及位置關(guān)系，人字齒輪嚙合副k(k=I, Ⅱ, Ⅲ)的左(L)、右(R)側(cè)輪齒的嚙合變形δjk(j=L、R)為

(11)

式中:yi為齒輪i的質(zhì)心在Yi方向上偏離其理論位置的線位移；θi為齒輪i的角位移；βbk為構(gòu)成齒輪副k的齒輪的基圓柱螺旋角；ejk為齒輪副k的左、右側(cè)的嚙合誤差；rbi為齒輪i的基圓半徑。

考慮齒側(cè)間隙時(shí)，人字齒輪副k的左、右側(cè)的嚙合力Fjk為

(2)

式中:bk為齒輪副k的法向齒側(cè)間隙。kjk為齒輪副k的左、右側(cè)的綜合嚙合剛度。

人字齒輪副k在切向和軸向上的總嚙合力Fvyk、Fvzk分別為

(3)

取系統(tǒng)廣義坐標(biāo)列陣為

q=

[y1,θ1,y2,θ2,y3,z3,θ3,y4,z4,θ4,y5,z5,θ5,y6,θ6](4)

根據(jù)牛頓第二定律，圖2所示的兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(5)

2人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)內(nèi)部激勵(lì)分析

2.1隨機(jī)嚙合剛度引起的內(nèi)部激勵(lì)

由于齒輪制造安裝誤差隨機(jī)性的影響，嚙合剛度既存在周期性分量，又存在隨機(jī)性分量，嚙合剛度激勵(lì)可表示為

(6)

式中:km為平均嚙合剛度；kai、φki分別為嚙合剛度周期性分量的幅值和相位；N為諧波次數(shù)；fm為嚙合頻率；kr(t)為嚙合剛度隨機(jī)性分量。

嚙合剛度隨機(jī)性分量kr(t)一般某一范圍內(nèi)變化，工程上通常假設(shè)其服從截尾正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為

(7)

2.2隨機(jī)嚙合誤差引起的內(nèi)部激勵(lì)

如圖3所示，影響齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)平穩(wěn)性的誤差主要有齒輪的偏心誤差er、齒距偏差fpt、漸開線齒廓偏差ffα。圖2中，O為齒輪的理論中心，O′為齒輪的實(shí)際中心，坐標(biāo)軸y與嚙合線平行。pt為端面齒距，δ為偏心誤差的位置角，fc為軸頻。由于制造、安裝過程中的不確定性，這些誤差均包含隨機(jī)成分，則嚙合誤差激勵(lì)表示為

e(t)=ersin(2πfct+δ)+

(8)

式中，eai、φei分別為齒距和齒廓偏差引起的周期性分量的幅值和初始相位角；er(t)為齒距和齒廓偏差引起的隨機(jī)分量，它服從截尾正態(tài)分布；fm為嚙頻，且fm=fcz，z為齒輪的齒數(shù)。

圖3　影響齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)平穩(wěn)性的誤差 Fig.3 Errors affecting the drive stationarity of a gear system

3仿真與分析

某特種裝備用兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的基本參數(shù)見表1，系統(tǒng)的輸入額定轉(zhuǎn)速nd=1 750 r/min，額定轉(zhuǎn)矩Td=2 225 N·m。以其為例分析嚙合剛度和嚙合誤差隨機(jī)性對兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的影響。

3.1內(nèi)部激勵(lì)隨機(jī)性對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響

考慮側(cè)隙非線性和隨機(jī)內(nèi)部激勵(lì)時(shí)，兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為多自由度非線性系統(tǒng)。本文采用Runge-Kutta數(shù)值逐步積分求解系統(tǒng)響應(yīng)、動(dòng)態(tài)嚙合和動(dòng)態(tài)支承力，并通過傅里葉變換得到它們的頻譜。

表1　某特種裝備用兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的基本參數(shù)

忽略齒側(cè)間隙和嚙合誤差的情況下，嚙合剛度隨機(jī)性對齒輪副Ⅰ、Ⅲ的動(dòng)態(tài)嚙合力的影響如圖4所示，嚙合剛度隨機(jī)性對齒輪1的動(dòng)態(tài)支承力(Fbyk=kykyk)的影響如圖5所示。由圖4可知，考慮嚙合剛度隨機(jī)性的動(dòng)態(tài)嚙合力(圖4(b)、(d))的幅值明顯比不考慮嚙合剛度隨機(jī)性的動(dòng)態(tài)嚙合力(圖4 (a)、(c))大；由于齒輪副Ⅰ的嚙頻高、傳遞的載荷小，嚙合剛度隨機(jī)性引起的動(dòng)態(tài)嚙合力隨機(jī)波動(dòng)較大，因此齒輪副I的動(dòng)態(tài)嚙合力增幅比齒輪副Ⅲ的增幅更大。由圖4(c)、(d)和圖5(a)、(b)可知，由于軸承-齒輪的耦合作用，動(dòng)態(tài)支承力的幅值隨動(dòng)態(tài)嚙合力的增加而增加。由圖4(e)~(h)可知，考慮嚙合剛度隨機(jī)性時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力的各諧波成分的幅值明顯增加，且在圖4(f)所示的齒輪副Ⅰ的動(dòng)態(tài)嚙合力頻譜中出現(xiàn)了2 668 Hz、2 943 Hz的新諧波成分，這是由于嚙合剛度隨機(jī)性引起了動(dòng)態(tài)嚙合力隨機(jī)波動(dòng)。

圖4　嚙合剛度隨機(jī)性對齒輪副Ⅰ、Ⅲ的動(dòng)態(tài)嚙合力的影響(忽略嚙合誤差和齒側(cè)間隙) Fig.4 Influences of random mesh stiffness on dynamic meshing force of gear pair Ⅰ and Ⅲ (Regardless of the meshing error and backlash)

圖5　嚙合剛度隨機(jī)性對齒輪1的動(dòng)態(tài)支承力的影響(忽略嚙合誤差和齒側(cè)間隙) Fig.5 Influences of random mesh stiffness on dynamic bearing force of gear 1 (Regardless of the meshing error and backlash)

圖6　嚙合剛度隨機(jī)性對齒輪副Ⅰ的動(dòng)態(tài)嚙合力的影響 (齒側(cè)間隙b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm，不考慮嚙合誤差) Fig.6 Influences of random mesh stiffness on dynamic mesh force of gear pair Ⅰ (the backlashes b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm, Regardless of the meshing error)

圖7　嚙合誤差隨機(jī)性對齒輪副Ⅰ的動(dòng)態(tài)嚙合力的影響(忽略嚙合剛度變化和齒側(cè)間隙) Fig.7 Influences of random mesh errors on dynamic mesh force of gear pair Ⅰ (Regardless of the variation of meshing error and backlashes)

圖8　嚙合誤差隨機(jī)性對齒輪副Ⅰ的動(dòng)態(tài)嚙合力的影響 (齒側(cè)間隙b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm，不考慮嚙合剛度變化) Fig.8 Influences of random mesh errors on dynamic mesh force of gear pair Ⅰ (the backlashes b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm，Regardless of the variation of meshing error)

在考慮齒側(cè)間隙，忽略嚙合誤差的情況下，嚙合剛度隨機(jī)性對齒輪副Ⅰ的動(dòng)態(tài)嚙合力的影響如圖6所示。對比圖6(a)、(b)所示的時(shí)域曲線可知，嚙合剛度隨機(jī)性使齒輪副Ⅰ的動(dòng)態(tài)嚙合力的隨機(jī)波動(dòng)更加明顯、變化幅值明顯增大，齒輪副不僅發(fā)生脫嚙，導(dǎo)致嚙合沖擊，還發(fā)生了非工作齒面接觸。對比圖6(c)、(d)所示的頻譜可知，考慮嚙合剛度隨機(jī)性時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力的頻率成分明顯增多，各頻率成分對應(yīng)的幅值也發(fā)生了明顯變化，且在低頻段出現(xiàn)了連續(xù)的頻率成分，這是由于嚙合沖擊和系統(tǒng)內(nèi)部激勵(lì)隨機(jī)性使動(dòng)態(tài)嚙合力中隨機(jī)成分增加所致。

忽略嚙合剛度變化和齒側(cè)間隙的情況下，嚙合誤差隨機(jī)性對齒輪副Ⅰ的動(dòng)態(tài)嚙合力的影響如圖7所示。由圖7(a)、(b)可知，考慮嚙合誤差隨機(jī)性的動(dòng)態(tài)嚙合力的幅值明顯比不考慮嚙合剛度隨機(jī)性的動(dòng)態(tài)嚙合力大。由圖7(c)、(d)可知，考慮嚙合誤差隨機(jī)性時(shí)，齒輪Ⅰ的動(dòng)態(tài)嚙合力出現(xiàn)了2 958 Hz和4 394 Hz的新頻率成分。對比圖7(a)、(b)和圖4(a)、(b)可知，嚙合誤差隨機(jī)性對動(dòng)態(tài)嚙合力幅值的影響比嚙合剛度隨機(jī)性更顯著。

在考慮齒側(cè)間隙，忽略嚙合剛度變化的情況下，嚙合誤差隨機(jī)性對齒輪副Ⅰ的動(dòng)態(tài)嚙合力的影響如圖8所示。由圖8(a)、(b)可知，嚙合剛度隨機(jī)性使動(dòng)態(tài)嚙合力的幅值顯著增大，且出現(xiàn)了明顯的脫嚙和反向嚙合。對比圖8(c)、(d)可知，低頻部分的頻率基本不變，高頻部分頻率成分更加豐富。對比圖8(c)、(d)和圖6(c)、(d)可知，嚙合誤差隨機(jī)性對動(dòng)態(tài)嚙合力高頻部分影響較大，而嚙合剛度隨機(jī)性對動(dòng)態(tài)嚙合力的低頻部分和高頻部分均有顯著的影響。

3.2內(nèi)部激勵(lì)隨機(jī)性對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)力的統(tǒng)計(jì)特征的影響

多自由度非線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征常采用隨機(jī)等效線性化[14]與MCS[15-16](Monte Carlo仿真)獲得，本文采用MCS獲得隨機(jī)嚙合剛度和隨機(jī)嚙合誤差作用下系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力的統(tǒng)計(jì)特征。

圖9　系統(tǒng)動(dòng)態(tài)力的統(tǒng)計(jì)特征與齒輪副Ⅲ的隨機(jī)嚙合 誤差的標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系 (齒側(cè)間隙b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm) Fig.9 Relations between the statistical characteristic of dynamic force and the standard deviation of random mesh error on gear pair Ⅲ (The gear backlashes b 1=b 2=15 μm，b 3=25 μm)

圖9為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)力的統(tǒng)計(jì)特征與齒輪副Ⅲ的隨機(jī)嚙合誤差的標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系。由圖9可知，隨機(jī)嚙合誤差的標(biāo)準(zhǔn)差較小時(shí)，隨機(jī)嚙合誤差的標(biāo)準(zhǔn)差對動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力的均值和變異系數(shù)(=標(biāo)準(zhǔn)差/均值)的影響較?。划?dāng)隨機(jī)嚙合誤差的標(biāo)準(zhǔn)差較大時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)增大，齒輪副頻繁出現(xiàn)脫嚙和非工作齒面接觸，使得動(dòng)態(tài)支承力的均值、動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力的變異系數(shù)隨隨機(jī)嚙合誤差的標(biāo)準(zhǔn)差的增大而顯著增大。

隨機(jī)嚙合剛度的標(biāo)準(zhǔn)差對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)力的統(tǒng)計(jì)特征的影響規(guī)律與隨機(jī)嚙合誤差的標(biāo)準(zhǔn)差相似。在不考慮外部載荷變化的情況下，增大隨機(jī)嚙合剛度和隨機(jī)嚙合誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力的均值基本不變。

4結(jié)論

(1)建立了考慮軸承變形，嚙合剛度、嚙合誤差和齒側(cè)間隙的兩級分流式人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的軸承-齒輪耦合動(dòng)力學(xué)模型。

(2)采用Runge-Kutta數(shù)值逐步積分法求得隨機(jī)嚙合剛度或嚙合誤差激勵(lì)作用下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力，結(jié)果表明：嚙合剛度或嚙合誤差的隨機(jī)性使得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力發(fā)生隨機(jī)波動(dòng)，諧波成分增多，甚至出現(xiàn)連續(xù)頻率成分；嚙合剛度或嚙合誤差的隨機(jī)性使動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力明顯增大，當(dāng)轉(zhuǎn)速高、載荷輕時(shí)，嚙合剛度或嚙合誤差的隨機(jī)性對動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力影響更明顯；考慮嚙合剛度或嚙合誤差的隨機(jī)性時(shí)，齒側(cè)間隙對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響更加顯著。

(3)采用Monte Carlo仿真獲得隨機(jī)嚙合剛度或嚙合誤差激勵(lì)作用下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力的統(tǒng)計(jì)特征，并分析了其對動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力的統(tǒng)計(jì)特征的影響。結(jié)果表明：隨機(jī)嚙合剛度或嚙合誤差的標(biāo)準(zhǔn)差增大，動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力的標(biāo)準(zhǔn)差以及動(dòng)態(tài)支承力的均值也增大，但動(dòng)態(tài)嚙合力的均值基本不變；當(dāng)隨機(jī)嚙合剛度或嚙合誤差的標(biāo)準(zhǔn)差增大至某一值時(shí)，嚙合副將發(fā)生脫嚙和非工作齒面接觸，引起嚙合沖擊，使動(dòng)態(tài)嚙合力和動(dòng)態(tài)支承力的波動(dòng)幅值急劇增大。

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