基于附加源波疊加法的聲輻射計(jì)算研究

基于附加源波疊加法的聲輻射計(jì)算研究

夏雪寶1,2，向陽(yáng)1,2

(1.武漢理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,武漢430063； 2.船舶動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)用技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢430063)

摘要：針對(duì)單極子波疊加法在特征波數(shù)處聲場(chǎng)解的非唯一性問(wèn)題，采用一種通過(guò)添加附加源克服解非唯一性的方法-附加源波疊加法，即在單極子波疊加法的基礎(chǔ)上添加一定數(shù)量附加源從而獲得聲場(chǎng)全波數(shù)域內(nèi)的唯一解。給出了具有解析解的脈動(dòng)球源、振蕩球源及無(wú)解析解的立方箱體結(jié)構(gòu)三個(gè)數(shù)值算例。計(jì)算結(jié)果表明：對(duì)于脈動(dòng)球源，添加一個(gè)附加源就可較好解決聲場(chǎng)解的非唯一性問(wèn)題；對(duì)于振蕩球源，增加附加源個(gè)數(shù)可解決聲場(chǎng)解的非唯一性問(wèn)題，但會(huì)降低聲場(chǎng)解的精度，但通過(guò)增加單極子源個(gè)數(shù)可以很好提高計(jì)算精度；該方法計(jì)算效率略低于復(fù)數(shù)矢徑波疊加法，但較三極子波疊加法效率更高；對(duì)于立方箱體結(jié)構(gòu)，確定了最佳的附加源個(gè)數(shù)，保證了聲場(chǎng)解的唯一性。

關(guān)鍵詞：波疊加法；非唯一性；附加源；聲輻射

中圖分類號(hào):TB52文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目；

收稿日期：2013-11-08修改稿收到日期：2014-01-15

基金項(xiàng)目：國(guó)家重點(diǎn)科技攻關(guān)項(xiàng)目(2011ZX06002-10-15，2011ZX06002-10-16)；國(guó)家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(91215301)；北京市屬高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)提升計(jì)劃資助

收稿日期：2013-08-15修改稿收到日期：2014-01-02

Acousticradiationcalculationbasedonadditionalsourceswavesuperpositionmethod

XIA Xue-bao1,2, XIANG Yang1,2(1.SchoolofEnergyandPowerEngineering,WUT,Wuhan430063,China; 2.KeyLaboratoryofMarinePowerEngineering&TechnologyMinistryofCommunication,Wuhan430063,China)

Abstract:The additional sources wave superposition method is a method of adding certain additional sources in monopole wave superposition method, which could overcome the problem of non-uniqueness of the acoustic field solution for fictitious wave numbers encountered in monopole wave superposition method. Three numerical examples about the sources of pulsating sphere, swing sphere and cube radiator were given. The numerical results demonstrate that the non-uniqueness problem can be removed by adding one source as for pulsating sphere source. The non-uniqueness problem also can be solved by adding more additional sources as for swing sphere source, but the computational accuracy will decline with the increase of the number of additional sources. By increasing the number of monopole sources, the additional sources wave superposition method can achieve high accuracy. The additional sources wave superposition method is somewhat less efficient than the wave superposition method with complex radius vector, but it is better than the tripole wave supposition method. As for the cube radiator, the acoustic uniqueness solution can be obtained by determining the optimized number of additional sources.

Keywords:wavesuperpositionmethod;non-uniqueness;additionalsources;acousticradiation

目前對(duì)于任意形狀結(jié)構(gòu)的聲輻射及散射問(wèn)題的研究主要是采用聲邊界元(BEM)的方法計(jì)算。由于邊界元法能自動(dòng)滿足Sommerfeld邊界條件及縮減求解問(wèn)題的維度，因此較有限元法(FEM)效率更高。但邊界方程在積分求解聲輻射問(wèn)題時(shí)會(huì)遇到積分的奇異性問(wèn)題及在Dirichlet內(nèi)問(wèn)題的特征波數(shù)處解的非唯一性問(wèn)題[1-3]。

不同于邊界元法，Koopmann等[4]提出一種避免邊界積分奇異性求解聲場(chǎng)的方法-波疊加法(WSM)。該方法將一系列的等效聲源(單極子源)置于輻射體內(nèi)部，通過(guò)匹配輻射體表面速度邊界條件求得單極子源的源強(qiáng)，再對(duì)單極子源的輻射聲場(chǎng)進(jìn)行疊加來(lái)求輻射體外部的聲場(chǎng)解。由于單極子源是位于輻射體內(nèi)部，避免了與輻射體邊界表面重合，從而不存在積分的奇異性問(wèn)題。單極子源的位置對(duì)聲場(chǎng)求解的精度有很大影響[5]，實(shí)際計(jì)算中往往將單極子源置于輻射體內(nèi)部球面上或與輻射體形狀相似的光滑曲面上。Jeans等[6]研究發(fā)現(xiàn)，由于單極子源所處位置為光滑封閉的曲面，會(huì)導(dǎo)致聲場(chǎng)解在特征波數(shù)處出現(xiàn)非唯一性的問(wèn)題,提出采用單極子源與偶極子源組合形式即三極子源(也稱混合勢(shì))解決特征波數(shù)處解的非唯一性問(wèn)題。向宇等[7]根據(jù)波疊加法與結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的相似性，提出一種復(fù)數(shù)矢徑波疊加法，該方法在單極子或偶極子波疊加法(也稱單層勢(shì)或雙層勢(shì))的基礎(chǔ)上，將單極子源所在曲面到中心點(diǎn)的矢徑模值取為復(fù)數(shù)可以克服聲場(chǎng)解在特征波數(shù)處的非唯一性問(wèn)題。

用于求解輻射體聲輻射和散射問(wèn)題的基本解方法(MethodofFundamentalSolutions，MFS)可看成為一種間接邊界元法[8]。該方法通過(guò)將點(diǎn)源置于輻射體內(nèi)部(點(diǎn)源的初始位置為隨機(jī)放置，在求解過(guò)程中可以進(jìn)行優(yōu)化至最佳位置)，線性疊加一組基本解來(lái)獲得聲場(chǎng)的近似解，數(shù)值算例表明該方法可以避免聲場(chǎng)解的非唯一性[9]?；谶@一思路，本文采用一種新的克服在特征波數(shù)處解的非唯一性問(wèn)題的波疊加法-附加源波疊加法。即在單極子波疊加法的基礎(chǔ)上通過(guò)輻射體內(nèi)部隨機(jī)添加附加源的方法，該方法不僅成功克服解的非唯一性，而且三極子波疊加法更為節(jié)省計(jì)算時(shí)間。同時(shí)研究了附加源個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，增加附加源的個(gè)數(shù)可以有效克服解的非唯一性，但會(huì)造成計(jì)算整體精度的降低，通過(guò)增加單極子源的個(gè)數(shù)可以很好彌補(bǔ)該方法的不足，使精度達(dá)到計(jì)算要求。針對(duì)實(shí)際無(wú)解析解的立方箱體結(jié)構(gòu)，采用附加源波疊加法計(jì)算時(shí),確定了適宜的單極子個(gè)數(shù)及位置，并通過(guò)計(jì)算確定了最佳附加源個(gè)數(shù)。計(jì)算結(jié)果表明該方法能很好克服立方箱體結(jié)果聲場(chǎng)解得非唯一性問(wèn)題，并獲得非常高的計(jì)算精度。

1波疊加法

通過(guò)疊加任意形狀的輻射體內(nèi)部光滑曲面上N個(gè)均勻分布等效聲源的輻射聲場(chǎng)，可得到輻射體外部區(qū)域的任一場(chǎng)點(diǎn)的聲壓解[10]如下所示

βnG(rm|rn)·nn]

(1)

式中：sn為等效聲源強(qiáng)度；G(rm|rn)=eikR/R為自由空間格林函數(shù)[10]；rn、rm分別為聲源點(diǎn)及空間場(chǎng)點(diǎn)位置向量；R為聲源點(diǎn)rn與空間場(chǎng)點(diǎn)rm之間的距離；i為虛數(shù)單位；k為波數(shù)；n為對(duì)聲源點(diǎn)求梯度；nn為偶極子聲源單位法向量。系數(shù)α和β的不同取值表示采用不同的等效聲源的波疊加法。表1給出了α和β不同取值時(shí)對(duì)應(yīng)的聲源類型。

表1　不同 α和 β對(duì)應(yīng)的聲源類型

波疊加法是通過(guò)體積速度匹配來(lái)確定中的聲源強(qiáng)度sn，進(jìn)而求得聲場(chǎng)解[10]。描述質(zhì)點(diǎn)速度與聲壓關(guān)系的線性歐拉方程為v(rm)=p(rm)/ikρc，因此由式(1)可得到邊界表面質(zhì)點(diǎn)的法向速度為

βnG(rm|rn)·nn]·nm

(2)

式中：ρc為空氣特性阻抗；nm為邊界表面位置單位法向量；m為對(duì)邊界表面質(zhì)點(diǎn)求梯度。將邊界表面離散為M個(gè)聲學(xué)單元，則法向速度對(duì)單元面積的積分就可確定單元的體積速度為

βnG(rm|rn)·nn]·nmdSm

(3)

式中：Sm為表面單元m的面積區(qū)域。式(3)可用矩陣的形式表示為

u=Us

(4)

式中：u為表面單元體積速度向量，s為等效聲源強(qiáng)度向量。矩陣U中的元素為

βnG(rm|rn)·nn]·nmdSm

(5)

通過(guò)體積速度邊界條件根據(jù)式(4)求得聲源強(qiáng)度，進(jìn)而由式(1)可確定輻射聲場(chǎng)的解。

2解的非唯一性及附加源波疊加法

Wilton等[11]指出，當(dāng)應(yīng)用單極子波疊加積分方程進(jìn)行計(jì)算時(shí)，當(dāng)計(jì)算的特征波數(shù)等于或接近單極子所在虛擬曲面上的邊界條件為內(nèi)部Dirichle條件所對(duì)應(yīng)的特征波數(shù)時(shí)，方程的解會(huì)出現(xiàn)非唯一現(xiàn)象；采用偶極子波疊加方程計(jì)算時(shí)，當(dāng)計(jì)算特征波數(shù)等于或接近虛擬曲面的邊界條件為內(nèi)部Neumann條件對(duì)應(yīng)的特征波數(shù)時(shí)，方程的解也會(huì)出現(xiàn)非唯一現(xiàn)象；而采用三極子波疊加法時(shí)，特征波數(shù)不會(huì)等于或接近虛擬曲面的邊界條件為內(nèi)部Robin條件對(duì)應(yīng)的特征波數(shù)，所以該方法可以保證解的唯一性。

基本解方法(MFS)是通過(guò)將一系列等效聲源任意置于輻射體內(nèi)部，通過(guò)疊加等效聲源的輻射來(lái)求解輻射體的輻射聲場(chǎng)解[9]。因此該方法也滿足公式(1)，與波疊加法具有相似性。兩者的不同之處在于基本解方法是將等效聲源任意置于輻射體內(nèi)部，而波疊加法是將等效聲源置于輻射體內(nèi)部一光滑封閉曲面上。文獻(xiàn)[9]指出基本解方法求解聲輻射問(wèn)題時(shí)能有效克服解的非唯一性，僅當(dāng)?shù)刃曉次挥谔厥馕恢脮r(shí)才會(huì)存在解的非唯一性問(wèn)題[12]。

圖1　附加源波疊加法示意圖 Fig.1 The additional sources wave superposition method

如圖1所示，基于基本解方法的思想，在單極子波疊加法的基礎(chǔ)上通過(guò)添加附加源(在輻射體內(nèi)任意放置附加源，但要避開(kāi)單極子源所在封閉曲面)來(lái)克服單極子波疊加法解的非唯一性問(wèn)題，稱該方法為附加源波疊加法。基于附加源波疊加法聲場(chǎng)的解可表示為

(6)

式中，A為附加源的個(gè)數(shù)。附加源的作用是用來(lái)克服解的非唯一性，而整體的計(jì)算精度還是由單極子源的位置與個(gè)數(shù)決定。

3數(shù)值算例

為了確定附加源波疊加法是否能克服解的非唯一性問(wèn)題及該方法求解的精度，采用具有解析解的脈動(dòng)球源和振蕩球源及無(wú)解析解的立方箱體對(duì)該方法進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。

3.1脈動(dòng)球源

球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的脈動(dòng)球源的輻射聲壓解析解[13]為

(7)

式中：r為場(chǎng)點(diǎn)與脈動(dòng)球源球心的距離；v為脈動(dòng)球源表面振速幅值；a為脈動(dòng)球源半徑。規(guī)定半徑a=1m，振速幅值v=1m/s。

單極子波疊加法計(jì)算時(shí)，單極子源均勻分布于半徑b=0.5a球面上，單極子個(gè)數(shù)為91個(gè)。附加源波疊加法計(jì)算時(shí)，在單極子波疊加法的基礎(chǔ)上，隨機(jī)添加一個(gè)附加源(位于輻射體內(nèi)部且避開(kāi)單極子源所在球面)，該源的坐標(biāo)由Matlab隨機(jī)生成(0.161 3m，0.550 1m，-0.677 6m)。用兩種方法計(jì)算球面聲壓并與解析解對(duì)比如圖2和3所示。

圖2 脈動(dòng)球源表面聲壓實(shí)部對(duì)比Fig.2Therealpartofthesurfacepressurecomparisionforpulsatingspheresource圖3 脈動(dòng)球源表面聲壓虛部對(duì)比Fig.3Theimaginarypartofthesurfacepressurecomparisionforpulsatingspheresource圖4 聲壓解相對(duì)誤差Fig.4Therelativeerrorofpressure

由圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)：采用單極子波疊加法求解，脈動(dòng)球源在特征波數(shù)kb=π,2π,3π,…時(shí)，聲壓實(shí)部和虛部解出現(xiàn)非唯一現(xiàn)象；采用附加源波疊加法計(jì)算時(shí)，在整個(gè)波數(shù)域內(nèi)聲壓解與解析解能很好吻合。

對(duì)比能夠克服聲場(chǎng)解的非唯一性問(wèn)題的三種方法，附加源波疊加法、三極子波疊加法及復(fù)數(shù)矢量波疊加的計(jì)算時(shí)間及表面聲壓相對(duì)誤差。聲壓相對(duì)誤差定義為

(8)

式中：pa為波疊加法求計(jì)算得到的表面聲壓幅值；p為聲壓解析解幅值。三種方法等效聲源個(gè)數(shù)(91個(gè))及位置相同，附加源波疊加法多添加一個(gè)附加源。復(fù)數(shù)矢徑波疊加法計(jì)算時(shí)，參照文獻(xiàn)[7,13]，單極子源所在球面復(fù)數(shù)半徑取為b=(0.5+0.2i)a。三種方法計(jì)算結(jié)果如圖4所示(k的步長(zhǎng)為0.05)。

由圖4可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于脈動(dòng)球源，在分析波數(shù)內(nèi)，三種方法都可以很好克服特征波數(shù)處解的非唯一性；三種方法中，附加源波疊加法計(jì)算精度最高，幾乎為零，而采用三極子波疊加法誤差保持4.5%以內(nèi)，復(fù)數(shù)矢徑波疊加法誤差保持在1%以內(nèi)；附加源波疊加法計(jì)算效率低于復(fù)數(shù)矢徑波疊加法，但附加源波疊加法較三極子波疊加法高50%左右。由于附加源波疊加法較單極子波疊加法僅添加少量單極子源，而復(fù)數(shù)矢徑波疊加法是將單極子所在曲面中心點(diǎn)的矢徑模值取為復(fù)數(shù)，無(wú)需增加單極子源個(gè)數(shù)。因此三種方法中，復(fù)數(shù)矢徑波疊加法效率最高，附加源波疊加法第二，而三極子波疊加法效率最低。

3.2振蕩球源

坐標(biāo)原點(diǎn)處沿x軸方向振蕩球源的輻射聲壓解析解[13]為

(9)

式中:θ為場(chǎng)點(diǎn)與振蕩方向x軸的夾角。同樣規(guī)定球源半徑a=1m，沿x軸方向振蕩的速度幅值v=1m/s。單

極子波疊加法計(jì)算時(shí)，單極子源均勻分布于半徑b=0.5a球面上，單極子個(gè)數(shù)為91個(gè)。附加源波疊加法計(jì)算時(shí)，在單極子波疊加法的基礎(chǔ)上，隨機(jī)添加一個(gè)附加源(位于輻射體內(nèi)部且避開(kāi)單極子源所在球面)。用兩種方法計(jì)算θ=0處球面聲壓并與解析解對(duì)比如圖5和6所示。

由圖5和圖6可知，波數(shù)kb=4.493 4,7.725 2,…時(shí)，采用單極子波疊加法及1個(gè)附加源的附加源波疊加法都存在聲場(chǎng)解的非唯一性。這是由于附加源個(gè)數(shù)不夠，不足以克服解的非唯一性。因此，在91個(gè)單極子源的基礎(chǔ)上，對(duì)比分析附加源個(gè)數(shù)為3、5、7時(shí)聲場(chǎng)的解，研究附加源個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響規(guī)律，計(jì)算結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖5 振蕩球源θ=0處表面聲壓實(shí)部對(duì)比Fig.5Therealpartofthesurfacepressurecomparisionforswingspheresource(θ=0)圖6 振蕩球源θ=0處表面聲壓實(shí)部對(duì)比Fig.6Theimaginarypartofthesurfacepressurecomparisionforswingspheresource(θ=0)圖7 不同附加源個(gè)數(shù)振蕩球源θ=0處表面聲壓實(shí)部對(duì)比Fig.7Therealpartofthesurfacepressurecomparisionofvariousadditionalsourcesforswingspheresource(θ=0)

圖8 不同附加源個(gè)數(shù)振蕩球源θ=0處表面聲壓虛部對(duì)比Fig.8Theimaginarypartofthesurfacepressurecomparisionofvariousadditionalsourcesforswingspheresource(θ=0)圖9 不同單極子源個(gè)數(shù)振蕩球源θ=0處表面聲壓實(shí)部對(duì)比(附加源個(gè)數(shù)為7個(gè))Fig.9Therealpartofthesurfacepressurecomparisionofvariousmonopolesourcesforswingspheresource(θ=0,A=7)圖10 不同單極子源個(gè)數(shù)振蕩球源θ=0處表面聲壓虛部對(duì)比(附加源個(gè)數(shù)為7個(gè))Fig.10Theimagnarypartofthesurfacepressurecomparisionofvariousmonopolesourcesforswingspheresource(θ=0,A=7)

由圖7和圖8可以得出：當(dāng)附加源個(gè)數(shù)增加為3個(gè)時(shí)，聲場(chǎng)的解在特征波數(shù)處任存在非唯一性問(wèn)題；附加源個(gè)數(shù)為5個(gè)或7個(gè)時(shí)，保證了解的唯一性，但隨附加源個(gè)數(shù)的增多，計(jì)算的整體精度有所降低。由文獻(xiàn)[5]可知，波疊加法中等效源的數(shù)量與位置決定計(jì)算精度，因此采用附加源波疊加法造成計(jì)算精度的降低可以通過(guò)改變單極子數(shù)目和位置來(lái)彌補(bǔ)。在不改變單極子源所在封閉球面半徑的情況下，對(duì)比分析不同數(shù)量單極子個(gè)數(shù)對(duì)附加源波疊加法的影響。單極子源個(gè)數(shù)分別為91、153、250(附加源個(gè)數(shù)為7)時(shí)，振蕩球源表面聲壓解(θ=0)如圖9和圖10所示，相應(yīng)的誤差對(duì)比如圖11所示。

圖11　不同單極子源個(gè)數(shù)振蕩球源θ=0處 表面聲壓誤差對(duì)比(附加源個(gè)數(shù)為7個(gè)) Fig.11 The relative error of pressure comparision of various monopole sources for swing sphere source (θ=0, A=7)

由以上聲壓及誤差對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，附加源個(gè)數(shù)不變的情況下，增加單極子源的個(gè)數(shù)為153個(gè)時(shí)，聲壓最大誤差由91個(gè)單極子源的20%左右下降到5%以內(nèi)。而當(dāng)單極子源個(gè)數(shù)為250個(gè)時(shí)，誤差可以忽略不計(jì)，聲壓解具有相當(dāng)高的精度(對(duì)于θ=30、45、60、90，求得的表面聲壓解也滿足計(jì)算精度要求)。因此，采用附加源波疊加法克服解的非唯一性而造成計(jì)算整體精度的降低，可以通過(guò)增加單極子源的個(gè)數(shù)來(lái)解決，使計(jì)算結(jié)果即克服了解的非唯一性又具有相當(dāng)高的精度。

對(duì)于振蕩球源，在250個(gè)單極子源情況下，添加7個(gè)附加源就可以很好克服聲場(chǎng)解的非唯一性問(wèn)題，同時(shí)可以保證非常高的整體計(jì)算精度。為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的計(jì)算效率及精度，對(duì)比附加源波疊加法、三極子波疊加法及復(fù)數(shù)矢徑波疊加法的計(jì)算效率及精度。三種計(jì)算方法的等效聲源個(gè)數(shù)均為250個(gè)且位置相同，附加源波疊加法多添加7個(gè)附加源。采用復(fù)數(shù)矢徑波疊加法計(jì)算時(shí)，單極子源所在復(fù)數(shù)失徑取為b=(0.5+0.2i)a。三種方法計(jì)算振蕩球源θ=0處表面聲壓誤差及計(jì)算時(shí)間對(duì)比結(jié)果如圖12所示(k的步長(zhǎng)為0.05)。

圖12　聲壓解相對(duì)誤差 Fig.12 The relative error of pressure

由圖12 可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于振蕩球源，在分析波數(shù)內(nèi)，三種方法都可以克服特征波數(shù)處解的非唯一性；三種方法計(jì)算誤差均在0.2%范圍以內(nèi)，幾乎可以忽略不計(jì)，具有非常高的精度；與脈動(dòng)球源一樣，附加源波疊加法計(jì)算效率低于復(fù)數(shù)矢徑波疊加法，但高于三極子波疊加法。

3.3立方箱體結(jié)構(gòu)

對(duì)于實(shí)際復(fù)雜結(jié)構(gòu)采用附加源波疊加法進(jìn)行聲場(chǎng)計(jì)算時(shí)會(huì)遇到如何確定單極子源個(gè)數(shù)、單極子源位置、附加源個(gè)數(shù)及附加源位置這些問(wèn)題。對(duì)于實(shí)際結(jié)構(gòu)，一般是將輻射體表面離散成聲學(xué)單元，將表面單元中心點(diǎn)坐標(biāo)乘以縮放系數(shù)獲得單極子源所在位置坐標(biāo)。因此對(duì)于單極子源個(gè)數(shù)的確定問(wèn)題，因單極子個(gè)數(shù)與輻射體表面?zhèn)€數(shù)相等，可借鑒邊界元法，即保證表面單元滿足表面單元尺寸小于λ/6(λ為聲波波長(zhǎng))[14]，進(jìn)而初步確定單極子源個(gè)數(shù)，若計(jì)算后整體精度不滿足要求，則可增加單極子源個(gè)數(shù)來(lái)提高計(jì)算精度。對(duì)于如何確定單極子源位置的問(wèn)題，由于單極子源位置一般是通過(guò)邊界表面單元中心點(diǎn)進(jìn)行同形縮放獲得，同形縮放系數(shù)范圍為0到1，且縮放系數(shù)不能太大或太小。因?yàn)榭s放系數(shù)太大時(shí)，單極子源距邊界表面過(guò)近，計(jì)算時(shí)格林積分會(huì)出現(xiàn)近奇異性，計(jì)算誤差較大；縮放系數(shù)太小時(shí)，單極子源所在曲面變小，單極子源之間的距離過(guò)近，會(huì)導(dǎo)致矩陣變換時(shí)向量組高度線性相關(guān)，計(jì)算結(jié)果不精確。因此可通過(guò)計(jì)算選取合適同形縮放系數(shù)，進(jìn)而獲得單極子源所在位置。對(duì)于附加源位置確定的問(wèn)題，附加源位置為程序隨機(jī)生成但要保證避免位于單極子源所在曲面。而附加個(gè)數(shù)則需通過(guò)分析計(jì)算結(jié)果，確定能保證聲場(chǎng)唯一解的最佳附加源個(gè)數(shù)。

圖13　立方箱體邊界元模型 Fig.13 The boundary element model of the cube

為進(jìn)一步驗(yàn)證附加源波疊加法對(duì)無(wú)解析解實(shí)際結(jié)構(gòu)聲場(chǎng)計(jì)算的有效性，以邊長(zhǎng)為1m的立方箱體為對(duì)象進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。該立方箱體的邊界元網(wǎng)格模型如圖13所示，總共150個(gè)表面單元。計(jì)算時(shí)，取每個(gè)表面單元中心點(diǎn)坐標(biāo)乘以縮放系數(shù)進(jìn)行同形縮放來(lái)獲得單極子源所在位置坐標(biāo)。

對(duì)于模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)的立方箱體，聲輻射并無(wú)解析解可循，因此在立方箱體中心處放置一個(gè)聲源強(qiáng)度s=ikρc的簡(jiǎn)單源(單極子源)。以該簡(jiǎn)單源在箱體表面單元中心點(diǎn)產(chǎn)生的質(zhì)點(diǎn)速度作為該箱體的速度邊界條件，簡(jiǎn)單源在單元中心點(diǎn)處的輻射聲壓則作為標(biāo)準(zhǔn)聲壓。由于立方箱體表面不同單元中心點(diǎn)聲壓不相等，因此表面聲壓相對(duì)誤差定義為

(10)

式中，pa,i為波疊加法求得表面單元中心點(diǎn)處聲壓幅值，pi為立方箱體中心處簡(jiǎn)單源輻射到表面單元i中心點(diǎn)處聲壓幅值，i=1…N，N為表面單元個(gè)數(shù)。采用單極子波疊加法求解立方箱體結(jié)構(gòu)輻射聲場(chǎng)，無(wú)法事先獲知該結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的特征波數(shù)，因此采用單極子波疊加法求解輻射箱體表面聲壓相對(duì)誤差，分析該結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的特征波數(shù)，計(jì)算結(jié)果如圖14所示(計(jì)算時(shí)縮放系數(shù)取為0.75)。

圖14　表面聲壓相對(duì)誤差 Fig.14 The relative error of pressure

由圖14可以發(fā)現(xiàn)，采用單極子波疊加法計(jì)算時(shí)分析波數(shù)范圍內(nèi)立方箱體表面聲壓解存在3個(gè)特征波數(shù)點(diǎn)分別為k=7.2、13.85、18.1；計(jì)算波數(shù)接近或等于特征波數(shù)時(shí)表面聲壓相對(duì)誤差增大，其它波數(shù)處單極子波疊加法計(jì)算精度非常高，因此也說(shuō)明取的單極子源個(gè)數(shù)及縮放系數(shù)非常合理。為克服單極子波疊加法聲場(chǎng)解在特征波數(shù)處非唯一性問(wèn)題。在單極子波疊加法的基礎(chǔ)上，添加A=7個(gè)附加源計(jì)算表面聲壓相對(duì)誤差并與單極子波疊加法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖15所示(經(jīng)計(jì)算A=7時(shí)，計(jì)算結(jié)果最好)。附加源位置由Matlab隨機(jī)生成，但避免與單極子源所在立方體重合。

圖15　表面聲壓相對(duì)誤差 Fig.15 The relative error of pressure

由圖15可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)的立方箱體，采用附加源波疊加法進(jìn)行聲場(chǎng)計(jì)算，添加7個(gè)附加源就能很好克服單極子波疊加法在特征波數(shù)處聲場(chǎng)解的非唯一性問(wèn)題，并保證了非常高的整體計(jì)算精度。因此，附加源波疊加方法對(duì)于模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)的立方箱體也一種有效、可行的聲場(chǎng)計(jì)算方法。

4結(jié)論

在單極子波疊加法的基礎(chǔ)上，通過(guò)在輻射體內(nèi)部添加一定數(shù)量的附加源克服了單極子波疊加法在特征波數(shù)處解的非唯一性問(wèn)題。數(shù)值算例表明，該方法計(jì)算效率及精度優(yōu)于三極子波疊加法；對(duì)于模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)的立方箱體，該方法也能很好克服聲場(chǎng)解的非唯一性問(wèn)題并能保證非常高的計(jì)算精度。如何優(yōu)化附加源及單極子源的數(shù)目和位置，使計(jì)算精度和效率同時(shí)達(dá)到最高還有待今后進(jìn)一步深入研究。

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第一作者石海忱男，碩士生，1989年8月生

通信作者陳前男，教授，博士生導(dǎo)師，1951年生

第一作者李小軍男，研究員,博士生導(dǎo)師，1965年生

通信作者侯春林女，博士，高級(jí)工程師，1981年生

郵箱：hou.chunlin@gmail.com