非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中耦合波的傳播特性

非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中耦合波的傳播特性

陳榮,吳天行

(上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海200240)

摘要：為了揭示周期結(jié)構(gòu)中縱向波和彎曲波的耦合作用，設(shè)計(jì)了對(duì)稱(chēng)和非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)?？紤]子結(jié)構(gòu)中的縱向和彎曲耦合運(yùn)動(dòng)，利用導(dǎo)納法和傳遞矩陣法，得到了周期單元的傳遞方程。由于結(jié)構(gòu)中存在多種波的耦合作用，在求解周期單元的傳播系數(shù)時(shí)將出現(xiàn)變態(tài)矩陣，采用波型分組法，求得了周期結(jié)構(gòu)中多種波型的傳播系數(shù)。推導(dǎo)了半無(wú)限長(zhǎng)和有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)在縱向力、橫向力和彎矩作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中縱向波和彎曲波的帶隙結(jié)構(gòu)相互獨(dú)立；非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中縱向波和彎曲波的耦合明顯改變了兩種波的帶隙結(jié)構(gòu)，只有在兩種波阻帶重疊的頻段內(nèi)結(jié)構(gòu)上的振動(dòng)響應(yīng)才存在衰減。

關(guān)鍵詞：周期結(jié)構(gòu)；傳遞矩陣法；Euler梁；耦合波；傳播系數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào):TB115;TH113;O321文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51079118,51279148);武漢理工大學(xué)自主創(chuàng)新研究基金資助(135105006)

收稿日期：2014-05-12修改稿收到日期：2014-07-30

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11072066);國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973)：(2013CB733004)

收稿日期：2013-05-28修改稿收到日期：2014-02-11

Coupledwavepropagationinasymmetricperiodicstructures

CHEN Rong, WU Tian-xing(StateKeyLaboratoryofMechanicalSystemandVibration,ShanghaiJiaotongUniversity,Shanghai200240,China)

Abstract:Symmetric and asymmetric periodic structures were designed to investigate the coupling of longitudinal and flexural waves propagating in the structures. By use of mechanical mobility method and transfer matrix method, transfer matrices of the elements were derived in the consideration of the coupling of longitudinal and flexural wave motions. The multiple types of waves propagating in the periodic structures were divided into two categories to avoid the numerical difficulties in solving the case of ill-conditioned transfer matrix. The propagation constants of the longitudinal and flexural waves were calculated, and the harmonic responses of semi-infinite and finite periodic structure in symmetric and asymmetric arrangements were obtained. Numerical simulations reveal that longitudinal wave and flexural wave are uncoupled in symmetric periodic structure; the band structures of longitudinal and flexural wave are significantly influenced by the coupling of the two waves, and longitudinal and flexural vibration response are attenuated only in the zones where stop bands of the both waves overlap.

Keywords:periodicstructure;transfermatrixmethod;eulerbeam;couplingwave;propagationconstant

在實(shí)際工程中，許多結(jié)構(gòu)如磁懸浮列車(chē)的承載導(dǎo)軌、多跨距橋梁、船舶結(jié)構(gòu)、 鋼筋混凝土都是由一定數(shù)量相同或類(lèi)似的單元結(jié)構(gòu)，以相同方式連接而成的，他們具有振動(dòng)帶隙特性。當(dāng)一種彈性波在一維對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，某些頻率范圍內(nèi)波不能通過(guò)，稱(chēng)之為帶隙(bandgap)；而某些頻率范圍內(nèi)波可以自由傳播，稱(chēng)之為通帶(passband)。對(duì)于非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)，多種波在結(jié)構(gòu)中傳遞和反射之后可能會(huì)引起相互干涉、耦合，而不同波型的耦合作用會(huì)改變結(jié)構(gòu)中原有單一波型的振動(dòng)帶隙，進(jìn)而影響周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳遞衰減性能。因此有必要對(duì)非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中不同波的耦合振動(dòng)帶隙進(jìn)行研究。

從20世紀(jì)60年代開(kāi)始，各國(guó)對(duì)周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性給予了更多的關(guān)注，并進(jìn)行了比較深入的理論和實(shí)驗(yàn)研究，研究對(duì)象主要集中在實(shí)際工程中廣泛應(yīng)用的周期結(jié)構(gòu)，如周期支撐，周期梁、板和殼體，以及周期桁架結(jié)構(gòu)等。而對(duì)復(fù)雜周期結(jié)構(gòu)中多種波耦合的研究的文獻(xiàn)則相對(duì)較少。早在半個(gè)世紀(jì)以前，Muller[1]把鋼筋混凝土地板簡(jiǎn)化成帶偏心子結(jié)構(gòu)梁，研究了梁結(jié)構(gòu)中耦合波的傳播特性。Mead[2]采用動(dòng)柔度法研究了一維周期結(jié)構(gòu)中波的傳播，之后他利用單元傳遞方程的特征向量提取正則力向量和位移向量[3]，計(jì)算了半無(wú)限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)的耦合振動(dòng)響應(yīng)，并解釋了帶偏心諧振器的周期簡(jiǎn)支梁中縱向-彎曲波的相互耦合、轉(zhuǎn)換現(xiàn)象[4]。Heckl[5]建立了周期簡(jiǎn)支Timoshenko梁的力學(xué)模型，研究了周期梁中縱向波、彎曲波、剪切波和扭轉(zhuǎn)波的耦合特性，并給出了不同波的傳播系數(shù)。Roy等[6]采用傳遞矩陣法，研究了帶對(duì)稱(chēng)/非對(duì)稱(chēng)柔性筋的周期梁中的彎曲波的衰減特性。近期，F(xiàn)riss等[7-8]針對(duì)一種帶非對(duì)稱(chēng)分支結(jié)構(gòu)的周期梁，研究了半無(wú)限長(zhǎng)周期梁中縱向-彎曲耦合波的傳播特性，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了有限長(zhǎng)周期梁的振動(dòng)響應(yīng)。Yi等[9]采用傳遞矩陣法計(jì)算了周期單元中耦合波的傳播系數(shù)，發(fā)現(xiàn)在結(jié)構(gòu)中傳播的三種對(duì)稱(chēng)波和三對(duì)反對(duì)稱(chēng)波相互耦合。黃修長(zhǎng)等[10-11]研究周期結(jié)構(gòu)中波傳播特性的對(duì)象主要集中在一維結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)中只存在單一波型的情形，而對(duì)非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中耦合波傳播特性的研究還相對(duì)缺乏。

本文分析了非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中縱向-彎曲耦合波的傳播特性，并與對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中波傳播進(jìn)行了比較，揭示了耦合作用對(duì)結(jié)構(gòu)中波傳播系數(shù)和對(duì)半無(wú)限長(zhǎng)和有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的影響。這一研究工作將為非對(duì)稱(chēng)梁類(lèi)結(jié)構(gòu)中求解耦合波傳播系數(shù)提供一種有效方法，并為非對(duì)稱(chēng)梁類(lèi)結(jié)構(gòu)的減振設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1模型描述

如圖1(a)和(b)所示分別為由橫向梁和豎向梁交替排列組成的半無(wú)限長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)和非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)模型。施加在結(jié)構(gòu)端部的激振力向量FIeiωt包含沿著x方向的縱向力(fIx)、沿著y方向的橫向力(fIy)以及繞著z軸的彎矩(MIz)。因此結(jié)構(gòu)的響應(yīng)具有三自由度，包括縱向速度、橫向速度和轉(zhuǎn)角速度。當(dāng)施加激振力時(shí)，非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)上的響應(yīng)由縱向波和彎曲波共同引起。而為了更好地理解結(jié)構(gòu)中彎曲波和縱向波的耦合效果，有必要分析縱向波和彎曲波互不耦合的結(jié)構(gòu)(即對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu))的波傳播特性。對(duì)稱(chēng)/非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的周期單元如圖1(c)所示。為了減少傳播系數(shù)的個(gè)數(shù)，我們?cè)谘刂鴜軸中心的橫梁上分割，這樣選取的周期單元只有一個(gè)輸入端一個(gè)輸出端，相應(yīng)地所要求解的傳播系數(shù)的個(gè)數(shù)較少。

圖1　周期結(jié)構(gòu)模型 Fig.1 Model of periodic structure

2力學(xué)模型

2.1子結(jié)構(gòu)振動(dòng)導(dǎo)納方程

如圖2所示為對(duì)稱(chēng)/非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)周期單元的振動(dòng)傳遞路徑以及各子結(jié)構(gòu)端部振動(dòng)量Ux的標(biāo)識(shí)，其中Uq=[VqFq]T(下標(biāo)q表示I、11、12、21、22、31、32、41、42或O)，Vq為端部的速度向量，F(xiàn)q為端部的力向量。將如圖2中所示各子結(jié)構(gòu)模型化為一具有密度ρ，以損耗因子η描述結(jié)構(gòu)阻尼的Euler梁和一等截面桿的組合模型，綜合兩端自由桿的縱向振動(dòng)導(dǎo)納和兩端自由Euler梁的彎曲振動(dòng)導(dǎo)納，得到各子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)導(dǎo)納方程[12]，寫(xiě)成傳遞方程形式

U11=TAUI，U21=TBU12，U31=TCU22，

U42=TDU32，UO=TEU41

(1)

其中:Ty表示梁y的振動(dòng)傳遞矩陣(下標(biāo)y表示A、B、C、D或E)。各子結(jié)構(gòu)連接界面處連續(xù)性條件，可知界面力和速度存在如下關(guān)系

Uz2=CUz1

(2)

其中C=(I0;0 -I)，I為單位矩陣，0表示零矩陣，下標(biāo)z=1, 2, 3, 4。

圖2　振動(dòng)傳遞路徑 Fig. 2 Vibration transmission path

周期單元的振動(dòng)傳遞方程可以寫(xiě)成如下形式

UO=Ta(s)UI

(3)

依據(jù)傳遞矩陣法，綜合式(1)~式(6)可以求得非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)周期單元的傳遞矩陣Ta=TECTDCTCCTBCTA。同理可以求得如圖2(b)所示對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣Ts=TECUCTA，其中

式中:M=Mt+Mb，Tt=TBCTCCTD，Tb=TDCTCCTB，Xij為矩陣X的第3i-2行至(3i)行第3j-2列至3j列子矩陣，i, j=1, 2，這里矩陣X表示矩陣M、Tt或Tb。

把對(duì)稱(chēng)/非對(duì)稱(chēng)周期單元的傳遞方程式(7)寫(xiě)成導(dǎo)納方程的形式

(4)

2.2傳播系數(shù)

當(dāng)一種波通過(guò)周期結(jié)構(gòu)時(shí)，由周期單元端部的速度連續(xù)性和力平衡性，可知速度向量VI、VO和力向量FI、FO存在如下關(guān)系[4]

VO=eμVI，F(xiàn)O=-eμFI

(5)

綜合式(4)和式(5)，可得周期單元端部的速度向量與力向量的關(guān)系

VI=(MII-eμMIO)FI

(6)

代入式(4)并消去VI可得方程

(MII+MOO-eμMIO-e-μMOI)FI=0

(7)

表示為特征值問(wèn)題，式(7)可以寫(xiě)成

(8)

基于第一節(jié)中對(duì)速度和力的分類(lèi)，把周期單元輸入/輸出端的速度和力向量分塊

同樣地，依據(jù)類(lèi)型1和類(lèi)型2坐標(biāo)把周期單元的子導(dǎo)納矩陣分塊，并且由于單元的對(duì)稱(chēng)性，子導(dǎo)納矩陣存在如下關(guān)系

(9)

其中:子矩陣MII1,1，MII2,2，MIO1,1和MIO2,2都為對(duì)稱(chēng)矩陣。把歐拉公式eμ=(sinhμ+coshμ)/2以及式(13)分別代入式(11)和(12)可得

(10)

(12)

由式(9)或(12)可以求得3對(duì)傳播系數(shù)，即橫向運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)和縱向運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的波型的傳播系數(shù)。

2.3半無(wú)限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

激振力F0施加在半無(wú)限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)的端部時(shí)，結(jié)構(gòu)中存在三種正向傳播波，對(duì)于非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)三種波都影響結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，而對(duì)于對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的縱向運(yùn)動(dòng)只受縱向波的影響而彎曲運(yùn)動(dòng)只受彎曲波的影響。利用波動(dòng)理論可得到半無(wú)限長(zhǎng)結(jié)構(gòu)激勵(lì)點(diǎn)和傳遞到第q個(gè)周期單元右端的速度響應(yīng)分別為[7]

(12)

(13)

其中e-qμ表示包含所有e-qμi的對(duì)角矩陣，i =1,2,3，f+為3個(gè)正向傳播波的正則化力向量所組成的3×3矩陣，它通過(guò)把3個(gè)正向傳遞波的傳播系數(shù)-μi依次代入式(11)求得的3個(gè)正則力向量疊加而成。

2.4有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)

對(duì)于半無(wú)限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)，不考慮邊界波的反射作用，而工程實(shí)際中的周期結(jié)構(gòu)往往是由有限周期單元組成的，因此有必要考慮結(jié)構(gòu)的邊界反射研究有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。對(duì)于包含N個(gè)周期單元的兩端自由對(duì)稱(chēng)/非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)，把結(jié)構(gòu)在激勵(lì)點(diǎn)處分成兩個(gè)子結(jié)構(gòu)，分別記為m-子結(jié)構(gòu)和(N-m)-子結(jié)構(gòu)，利用波動(dòng)理論可得到周期結(jié)構(gòu)在第q個(gè)周期單元左端的振動(dòng)響應(yīng)方程[8]

Vq=MqmFm

(14)

其中:Mqm=δqm(I+γmm-1δmm)-1為周期結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納矩陣δqm=(ζ+e-(q-m))μ+ζ-e(q-m)μe-(N-m)μrBe-(N-m)μ)(f++f-e-(N-m)μrBe-(N-m)μ)-1，γmm=(ζ+e-mμrA+ζ-e-mμ)(-f+e-mμrA-f-e-mμ)-1,δmm可以通過(guò)把矩陣δqm中的q替換成m得到， I 為三階單位矩陣,rA=f+-1f-和rB=f--1f+為結(jié)構(gòu)邊界的反射矩陣，ζ+=MIIf+-MIOf+e-μ，ζ-=MIIf--MIOf-eμ。

3數(shù)值分析及討論

下面給出了對(duì)稱(chēng)/非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們把所有子結(jié)構(gòu)取相同的物理參數(shù)，即所有子結(jié)構(gòu)的材料均為鋁，其密度ρ為2 700kg/m3，彈性模量E為7.8×1010N/m2，結(jié)構(gòu)阻尼通過(guò)取復(fù)彈性模量實(shí)現(xiàn)，即E*=E(1+iη)，η=0.001為結(jié)構(gòu)阻尼比。如圖1(c)所示周期單元中，所有沿著x方向的橫向梁尺寸相同，長(zhǎng)度、寬度和厚度分別為0.1m、0.02m和0.01m，所有沿著y方向的豎向梁尺寸相同，長(zhǎng)度、寬度和厚度分別為0.05m、0.02m和0.005m。矩陣計(jì)算和數(shù)值分析在Matlab7.0中完成。

3.1傳播系數(shù)

研究表明[7]對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中不存在縱向-彎曲耦合波，也就是縱向激振力不會(huì)引起彎曲波，而橫向力或彎矩不會(huì)激起縱向波。如圖3所示為對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中三類(lèi)波型傳播系數(shù)的衰減系數(shù)和相位系數(shù)的頻變曲線。由于近場(chǎng)彎曲波的相位系數(shù)特征比較簡(jiǎn)單，為了簡(jiǎn)潔起見(jiàn)圖中省略了該系數(shù)?？v向波依次在936~1 043Hz，1 522~2 757Hz和大于2 820Hz等頻段出現(xiàn)阻帶，即在這些頻段內(nèi)波不能傳播。衰減系數(shù)越大，表征阻帶內(nèi)波經(jīng)過(guò)相同周期數(shù)的傳播后衰減幅度也越大。在其他頻率范圍，縱向波將毫無(wú)衰減地傳遞，稱(chēng)為通帶。在通帶范圍內(nèi)，縱向波傳播系數(shù)的虛部近似地呈線性遞增或遞減，兩個(gè)相鄰阻帶，波的相位相差π。阻帶的頻率位置和帶寬則取決于結(jié)構(gòu)的幾何和材料屬性。彎曲運(yùn)動(dòng)則由兩個(gè)波型控制，其中一種波型的傳播系數(shù)具有很高的衰減系數(shù)，在所研究的頻率范圍內(nèi)都為阻帶，稱(chēng)之為近場(chǎng)波[7]，與非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)中的近場(chǎng)彎曲波所不同的是，本文所研究對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)中近場(chǎng)波在636~892Hz頻段與彎曲波的衰減系數(shù)相同。另外一種彎曲波則由通帶和阻帶構(gòu)成。彎曲波在結(jié)構(gòu)中傳播與否取決于這兩種彎曲波型阻帶的疊加，即只有在164~194Hz，403~896Hz，936~1 075Hz，1 228-2 890Hz，3 057~3 710Hz和大于3 834Hz的頻段內(nèi)，結(jié)構(gòu)中的橫向運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)才是被完全禁止的。

——為彎曲波，—-為近場(chǎng)彎曲波，---為縱向波 圖3　對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)中三類(lèi)波型傳播系數(shù) Fig.3 Propagation constants in symmetry periodic structure

——為彎曲波，—-為近場(chǎng)彎曲波，---為縱向波 圖4　非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)中三類(lèi)波型傳播系數(shù) Fig. 4 Propagation constants in asymmetry periodic structure

如圖4所示為非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)的傳播系數(shù)的衰減系數(shù)和相位系數(shù)頻變曲線。由于縱向-彎曲波的耦合作用，三種波型對(duì)結(jié)構(gòu)的縱向、橫向和彎曲運(yùn)動(dòng)都有貢獻(xiàn)。非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中也存在一個(gè)衰減系數(shù)很大的近場(chǎng)彎曲波，且該系數(shù)遠(yuǎn)大于如圖3所示結(jié)果，因此非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中的近場(chǎng)彎曲波衰減速度更快。如圖3所示的縱向波和彎曲波的相位曲線都是以點(diǎn)的方式相交，并且相交后并不影響各自相位的變化趨勢(shì)。而在圖4中，相位曲線相交處，即在234~380Hz和1 093~1 164Hz頻段出現(xiàn)重疊?？v向波的相位經(jīng)過(guò)這些頻段后，變成原來(lái)彎曲波的相位，而彎曲波的相位變成縱向波的相位，這表明在該頻段出現(xiàn)了波型的強(qiáng)耦合或波型轉(zhuǎn)換。在強(qiáng)耦合頻段縱向波和彎曲波在結(jié)構(gòu)中不能傳播，屬于阻帶。另外660~949Hz，1 214~2 804Hz，3 070~3 555Hz和大于3 848Hz等頻段,無(wú)論縱向波和彎曲波都不能傳遞，也屬于阻帶,而103~155Hz，384~660Hz, 949~1 060Hz，2 804~3 070Hz和3 555~3 848Hz等頻段,縱向波和彎曲波中總有一種波型被禁止而另一種波型可以自由傳播,屬于通帶，這一點(diǎn)也可以由下一節(jié)中結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)得到驗(yàn)證。

3.2半無(wú)限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)

圖5　復(fù)雜力作用下，對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)上縱向(上圖)、 橫向(中圖)和轉(zhuǎn)角(下圖)加速度頻響 Fig.5 Longitudinal, transverse and angular acceleration responses on symmetry structure excited by a complex force

下面我們分析波型耦合對(duì)半無(wú)限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的影響。以在結(jié)構(gòu)端部施加復(fù)雜簡(jiǎn)諧激振力F0=(1 1 1)T為例，比較無(wú)限長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)/非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)的區(qū)別。如圖5所示為對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)上距離激勵(lì)端前十個(gè)周期單元處的加速度頻響，其中ax，ay和θz分別表示縱向，橫向和轉(zhuǎn)角加速度，加速度頻響以分貝的形式表示。圖5上圖為縱向加速度頻響，它在如圖3所示縱向波的阻帶頻段出現(xiàn)明顯的振動(dòng)衰減現(xiàn)象，衰減幅度的大小與振動(dòng)通過(guò)的周期數(shù)目成正比。圖5的中、下圖所示的橫向和轉(zhuǎn)角加速度頻響在彎曲波的阻帶頻段出現(xiàn)明顯的振動(dòng)衰減現(xiàn)象。由此可見(jiàn)，在結(jié)構(gòu)中縱向波和彎曲波共同存在的情形下，縱向振動(dòng)響應(yīng)不受彎曲波的影響，而彎曲振動(dòng)響應(yīng)也不受縱向波的影響，這也驗(yàn)證了對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中不存在縱向波和彎曲的耦合。另外，如圖5所示，在縱向波和彎曲的通帶，結(jié)構(gòu)上無(wú)論經(jīng)過(guò)多少個(gè)周期單元，其上振動(dòng)響應(yīng)毫無(wú)衰減。

圖6　復(fù)雜力作用下，非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)上 縱向、橫向和轉(zhuǎn)角加速度頻響 Fig.6 Longitudinal, transverse and angular acceleration responses on asymmetry structure excited by a complex force

如圖6所示為非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)上距離激振端前十個(gè)周期單元處的加速度頻響，它們是由結(jié)構(gòu)中縱向和彎曲波的耦合的作用結(jié)果。其中上圖為縱向加速度頻響，中圖和下圖所示分別為橫向和轉(zhuǎn)角加速度頻響。與對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)最明顯的區(qū)別就是非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)的縱向和彎曲振動(dòng)響應(yīng)的衰減區(qū)域相同，而這些區(qū)域剛好與如圖4所示阻帶，即縱向波和彎曲波都不能在結(jié)構(gòu)中傳播的頻率范圍一致，其衰減幅度的大小與振動(dòng)通過(guò)的周期數(shù)目成正比。而在通帶無(wú)論經(jīng)過(guò)多少個(gè)周期單元，結(jié)構(gòu)上的縱向和彎曲振動(dòng)響應(yīng)無(wú)衰減。

3.3有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)

無(wú)限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)僅考慮結(jié)構(gòu)上的入射波(即正向傳播波)，而工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)都是有限長(zhǎng)度的，不能忽略其邊界的反射波(即負(fù)向傳播波)。下面計(jì)算含10個(gè)周期單元的有限長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)/非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)在復(fù)雜激振力作用下的振動(dòng)響應(yīng)。對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)兩端自由，激振力作用于結(jié)構(gòu)端部，分析結(jié)構(gòu)上激勵(lì)點(diǎn)以及距離激勵(lì)點(diǎn)2個(gè)單元、4個(gè)單元和8個(gè)單元處的縱向加速度、橫向加速度和轉(zhuǎn)角加速度響應(yīng)，結(jié)果分別如圖7中上圖、中圖和下圖所示。與無(wú)限長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)相同點(diǎn)之處為，有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)上的縱向振動(dòng)在縱向波阻帶出現(xiàn)衰減，彎曲振動(dòng)也在彎曲波阻帶出現(xiàn)衰減，只是衰減幅度稍微變小。不同之處為，在波型通帶，無(wú)限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)中不同位置的振動(dòng)響應(yīng)相同，且曲線平滑無(wú)波峰；而有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)加速度頻響曲線出現(xiàn)很多峰值，發(fā)現(xiàn)在每個(gè)通帶，曲線上存在10個(gè)峰值，這一數(shù)值與結(jié)構(gòu)中的周期數(shù)目是相等的，峰值所在的頻率與兩端自由周期結(jié)構(gòu)固有頻率一一對(duì)應(yīng)。

——　激振點(diǎn)，— —距離2個(gè)單元， ---距離4個(gè)單元， — - —距離8個(gè)單元 圖7　復(fù)雜力作用下，對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)上縱向(上圖)、 橫向(中圖)和轉(zhuǎn)角(下圖)加速度頻響 Fig.7 Longitudinal, transverse and angular acceleration responses on symmetry structure excited by a complex force

如圖8所示為兩端自由非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)上的縱向加速度、橫向加速度和轉(zhuǎn)角加速度響應(yīng)。其中實(shí)線、虛線、點(diǎn)線和點(diǎn)劃線分別為激勵(lì)點(diǎn)以及距離激勵(lì)點(diǎn)分別2個(gè)單元、4個(gè)單元和8個(gè)單元處的加速度頻響曲線。與無(wú)限長(zhǎng)非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)相同點(diǎn)之處為，有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)上的縱向振動(dòng)和彎曲振動(dòng)也在縱向-彎曲耦合波阻帶出現(xiàn)衰減。不同之處為，有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)加速度頻響曲線出現(xiàn)很多峰值，在每個(gè)通帶，曲線上存在10個(gè)峰值，峰值所在的頻率與兩端自由周期結(jié)構(gòu)固有頻率一一對(duì)應(yīng)。

——激振點(diǎn)，— —距離2個(gè)單元， ---距離4個(gè)單元， — - —距離8個(gè)單元 圖8　復(fù)雜力作用下，非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)上縱向、橫向和轉(zhuǎn)角加速度頻響 Fig.8 Longitudinal, transverse and angular acceleration responses on asymmetry structure excited by a complex force

4結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了對(duì)稱(chēng)和非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)，求解了周期結(jié)構(gòu)中縱向和彎曲波的傳播系數(shù)，推導(dǎo)了半無(wú)限長(zhǎng)和有限長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)在復(fù)雜簡(jiǎn)諧力作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。數(shù)值研究結(jié)果表明：對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中縱向波和彎曲波的帶隙結(jié)構(gòu)相互獨(dú)立，縱向波的阻帶決定結(jié)構(gòu)縱向振動(dòng)響應(yīng)的衰減頻段，而彎曲波的阻帶決定彎曲振動(dòng)響應(yīng)的衰減頻段；非對(duì)稱(chēng)周期結(jié)構(gòu)中縱向波和彎曲波的耦合明顯改變了兩種波的帶隙結(jié)構(gòu)，只有在兩種波阻帶重疊的頻段結(jié)構(gòu)上的振動(dòng)響應(yīng)才有衰減，縱向和彎曲振動(dòng)響應(yīng)衰減的頻段相同。本文的研究工作為非對(duì)稱(chēng)梁類(lèi)結(jié)構(gòu)中求解耦合波傳播系數(shù)提供了一種有效方法，并為非對(duì)稱(chēng)梁類(lèi)結(jié)構(gòu)的減振提供參考依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1]MüllerHL.Biegewellen-D?mmungansymmetrischenundexzentrischensperrmassen[D].Berlin:TechnischenUniversit?tBerlin, 1957.

MüllerHL,Attenuationofbendingwavescausedbysymmetricalandeccentricblockingmasses[D].Berlin:TechnicalUniversityBerlin, 1957.

[2]MeadDJ.Wavepropagationandnaturalmodesinperiodicsystems:I.Mono-coupledsystems[J].JournalofSoundandVibration, 1975, 40(1):1-18.

[3]MeadDJ.Wavepropagationandnaturalmodesinperiodicsystems:II.Multi-coupledsystems,withandwithoutdamping[J].JournalofSoundandVibration, 1975, 40(1): 19-39.

[4]MeadDJ,MarkusS.Coupledflexural-longitudinalwavemotioninaperiodicbeam[J].JournalofSoundandVibration, 1983, 90(1): 1-24.

[5]HecklMA.CoupledwavesonaperiodicallysupportedTimoshenkobeam[J]JournalofSoundandVibration, 2002, 252(5): 849-882.

[6]RoyAK,PlunkettR.Waveattenuationinperiodicstructures[J].JournalofSoundandVibration, 1986, 104(3): 395-410.

[7]FriisL,OhlrichM.Couplingofflexuralandlongitudinalwavemotioninaperiodicstructurewithasymmetricallyarrangedtransversebeams[J].J.Acoust.Soc.Am., 2005, 118(5): 3010-3020.

[8]FriisL,OhlrichM.Coupledflexural-longitudinalwavemotioninafiniteperiodicstructurewithasymmetricallyarrangedtransversebeams[J].J.Acoust.Soc.Am., 2005, 118(6): 3607-3618.

[9]YiY,CheukMM,Astudyofcoupledflexural-longitudinalwavemotioninaperiodicdual-beamstructurewithtransverseconnection[J].J.Acoust.Soc.Am., 2009, 126(1): 114-121.

[10]黃修長(zhǎng)，徐時(shí)吟，蔣愛(ài)華,等. 曲梁周期結(jié)構(gòu)隔振器特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊，2012，31(5)：171-175.

HUANGXiu-chang,XUShi-yin,JIANGAi-hua,etal.Dynamicpropertiesofaperiodiccurved-beamstructureisolator[J].JournalofVibrationandShock, 2012, 31(5):171-175.

[11]王剛，溫激鴻，劉耀宗,等. 一維粘彈材料周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)帶隙研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，40(7)：47-50.

WANGGang,WENJi-hong,LIUYao-zong,etal.Researchonthevibrationbandgapsofonedimensionalviscoelasticperiodicstructure[J].ChineseJournalofMechanicalEngineering, 2012, 40(7):47-50.

[12]FrankF,JohnW.Advancedapplicationsinacoustics,noiseandvibration[M].Florida:CRCPress, 2004.

第一作者夏雪寶男，博士生，1989年1月生

通信作者向陽(yáng)女，教授,博士生導(dǎo)師，1962年10月生

郵箱：yxiang@whut.edu.cn

第一作者潘冬男，博士，1984年5月生

郵箱：pandonghit@163.com