桿中導(dǎo)波聲彈敏感模態(tài)與激勵頻率的確定方法

桿中導(dǎo)波聲彈敏感模態(tài)與激勵頻率的確定方法

劉飛1，吳斌2，何存富2，趙滿全1，郁志宏1

(1.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，呼和浩特010018； 2.北京工業(yè)大學(xué)機械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100124)

摘要：基于超聲導(dǎo)波聲彈性效應(yīng)檢測波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平具有潛在的優(yōu)勢。為實現(xiàn)超聲導(dǎo)波聲彈應(yīng)力檢測的關(guān)鍵技術(shù)——檢測模態(tài)與激勵頻率的選取，提出一種基于Murnaghan超彈模型的有限元特征頻率法。使用該方法計算預(yù)應(yīng)力桿中的頻散特性，得到反映不同激勵頻率應(yīng)力敏感性的聲彈頻散曲線，與文獻中的L(0,1)模態(tài)試驗結(jié)果進行對比，趨勢一致，說明該方法的適用性。為進一步驗證該方法的可靠性，選取L(0,1)模態(tài)聲彈敏感的幾組頻率，在自制拉伸試驗平臺上，對碳素鋼桿進行超聲導(dǎo)波聲彈試驗。試驗結(jié)果表明：低應(yīng)力區(qū)域誤差較大，在高應(yīng)力區(qū)域誤差均低于10%，且聲彈常數(shù)與理論結(jié)果趨勢一致。研究表明該理論方法可指導(dǎo)超聲導(dǎo)波聲彈應(yīng)力檢測時頻率與模態(tài)的選取。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)波；聲彈性效應(yīng)；特征頻率法；頻散特性；預(yù)應(yīng)力

中圖分類號:TU378；TB132文獻標(biāo)志碼：A

基金項目：國家863計劃項目(2011AA11A265); 國家自然科學(xué)基金(51205290); 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金項目(1700219118)

收稿日期：2013-11-08修改稿收到日期：2014-01-02

基金項目：國家自然

收稿日期：2013-09-10修改稿收到日期：2013-12-12

Determination of surveying mode and excitation frequency for waveguard structure stress measurement by use of acoustoelastic effect of guided waves in bar

LIUFei1,WUBin2,HECun-fu2,ZHAOMan-quan1,YUZhi-hong1(1.College of Mechanical and Electrical Engineering, Inner Mongolia Agricultural University, Huhhot 010018, China；2. College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

Abstract:The method of measuring the stress level of waveguide structures by use of the acoustoelastic effect of ultrasonic guided wave is of potential advantages. In order to select the optimal surveying mode and excitation frequency in acoutoelastic stress testing, a finite element eigenfrequency method based on the Murnaghan hyperelastic model was presented. The dispersion characteristic of a prestressed bar was calculated using this approach, and the acoustoelastic dispersion curve was obtained for describing the stress sensitivity under different excitation frequencies. The results are consistent with those in other literatures. On this basis, selecting the surveying mode and excitation frequency, the acoustoelastic effect of L(0,1) mode was inspected for Q235 carbon steel bar on a homemade tensile test platform. The results show that: the errors are great in low stress region whereas, in high stress region it can be controlled within 10%, and the tendency of acoutoelastic constants is in agreement with the theoretical results. The study proposes a method that can provide a determination method of surveying mode and excitation frequency for stress measurement by using the acoustoelastic effect of ultrasonic guided wave.

Key words:guided waves; acoustoelastic effect; eigenfrequency method; dispersion; prestress

基于超聲導(dǎo)波的聲彈性效應(yīng)對結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀況進行檢測是近年來新發(fā)展起來的一項技術(shù)。它主要是利用超聲導(dǎo)波傳播的速度與應(yīng)力之間的關(guān)系，通過測量傳播速度的變化值實現(xiàn)應(yīng)力的估計[1]。由于該方法可以量測結(jié)構(gòu)中的絕對應(yīng)力水平，且配合空氣耦合、電磁聲等換能器還可實現(xiàn)非接觸式測量，同時兼具測量范圍廣、檢測精度高，能對結(jié)構(gòu)的缺陷進行無損檢測等優(yōu)點[2]，因而，開展超聲導(dǎo)波聲彈應(yīng)力檢測技術(shù)的研究具有廣泛的工程應(yīng)用前景。

國內(nèi)外許多學(xué)者已在多個領(lǐng)域?qū)υ摷夹g(shù)的應(yīng)用進行了深入研究。Chen[3]首次利用超聲導(dǎo)波聲彈性技術(shù)檢測預(yù)應(yīng)力桿中的工作應(yīng)力，并得到了L(0,1)模態(tài)隨應(yīng)力的增大而群速度降低的結(jié)論。Di Scalea等[4-5]在前人的基礎(chǔ)上，進一步研究了縱向模態(tài)在不同預(yù)應(yīng)力水平下鋼絞線中的傳播特性，用Gabor小波變換方法對數(shù)據(jù)進行分析處理，取得了較好的結(jié)果。Philip等[6-7]學(xué)者利用半解析有限元在激勵頻率為100 kHz時，對受軸向載荷無縫鋼軌(CWR)中的超聲導(dǎo)波傳播特性進行了研究，在理論上證實了這一方法的可行性，并分析了溫度對彈性模量影響的敏感性。何文等[8-9]對錨桿的工作載荷和螺柱軸向應(yīng)力的導(dǎo)波聲彈性效應(yīng)，利用體波等效彈性常數(shù)法進行了研究，并提出利用縱向模態(tài)和彎曲模態(tài)相結(jié)合的方法檢測在役螺柱的軸向應(yīng)力。劉增華等[10]利用自制的磁致伸縮傳感器，對7芯預(yù)應(yīng)力鋼絞線中超聲導(dǎo)波聲彈性效應(yīng)進行了試驗研究，得到激勵頻率為160 kHz時，L(0,1)模態(tài)的群速度和應(yīng)力之間的關(guān)系曲線。

由于超聲導(dǎo)波的多模態(tài)與頻散特性，導(dǎo)波模態(tài)與激勵頻率的選擇對超聲導(dǎo)波應(yīng)力敏感性影響顯著。如何確定聲彈性效應(yīng)最敏感的模態(tài)與所對應(yīng)的激勵頻段就顯得尤為重要。

本文在借鑒前人研究的基礎(chǔ)上，提出一種基于Murnaghan超彈模型的特征頻率法。對預(yù)應(yīng)力桿中超聲導(dǎo)波的頻散特性進行了計算，得到反映聲彈敏感性隨導(dǎo)波模態(tài)與激勵頻率變化的聲彈頻散曲線，并與文獻試驗結(jié)果進行了對比驗證。通過選取L(0,1)模態(tài)頻散較小頻段的多組激勵頻率，在自制拉伸試驗平臺上對聲彈特性進行測量，評估應(yīng)力檢測精度，同時與理論方法得到的結(jié)果進行對比，驗證此方法的正確性。

1預(yù)應(yīng)力頻散計算方法

由于桿類結(jié)構(gòu)受力狀況多是沿軸向或長度方向的單軸應(yīng)力，假設(shè)預(yù)變形是均勻的且是單軸的，考慮材料為Murnaghan超彈性體[11]，可計算得到受單軸應(yīng)力后的等效二階彈性常數(shù)為:

(1)

其中：

C1111=C2222=C3333=λ+2μ，

C1122=C1133=C2233=λ，C2323=C1313=C1212=μ，

C111111=2l+4m，

C112233=2l-2m+n，C112323=m-n/2，

C111122=2l，C111313=m，C231321=n/4

m，l，n是Murnaghan三階彈性常數(shù)。

基于以上參數(shù)，利用有限元法建立的單元體應(yīng)變位移關(guān)系矩陣與彈性矩陣分別為[12]：

(3)

式中：D是對稱矩陣，在這里

關(guān)于此模型利用特征頻率法的求解方法及相速度和群速度的計算方法可參見文獻[13]，本文不再進行詳細論述。

2桿中超聲導(dǎo)波聲彈特性

超聲導(dǎo)波與體波聲彈特性的最大差異是受模態(tài)與激勵頻率的影響顯著。分析預(yù)應(yīng)力狀態(tài)下超聲導(dǎo)波的頻散特性，通過與無應(yīng)力時的頻散特性進行對比，即可實現(xiàn)聲彈頻散特性的分析。本節(jié)利用上述方法，對桿中常見縱向模態(tài)與彎曲模態(tài)的聲彈特性進行計算。

2.1預(yù)應(yīng)力桿中超聲導(dǎo)波頻散特性

由于縱向模態(tài)具有軸對稱性，可利用二維軸對稱模型計算縱向模態(tài)的頻散特性。預(yù)應(yīng)力以預(yù)定位移的方式施加在端面或者以初始應(yīng)力與應(yīng)變的方式施加在模型中。彎曲模態(tài)編號一般表示為F(n,m)，其中n表示周向階次，從截面對稱性來看，表示的是反對稱面的個數(shù)，亦即彎曲方向的個數(shù)；m表示軸向階數(shù)，與縱向模態(tài)的模態(tài)分類方法是一致的。在所有彎曲模態(tài)中，由n=1定義的那一族是最重要的，即模態(tài)只沿一個方向彎曲[14]。本文只考慮這一族彎曲模態(tài)的聲彈特性。因此，彎曲模態(tài)的計算可由四分之一桿模型實現(xiàn)，其中兩徑向切面分別設(shè)置為對稱平面與反對稱平面，端面的設(shè)置方式與縱向模態(tài)相同。

本文計算模型長度L和半徑r分別是800 mm和9 mm，加載應(yīng)力為200 MPa，縱向模態(tài)網(wǎng)格單元采用邊長為0.5 mm的四邊形單元，彎曲模態(tài)采用最大網(wǎng)格尺寸為0.5 mm的六面體單元。材料選用與文獻試驗材料一致的1018號鋼，密度ρ=7 843 kg/m3，其彈性常數(shù)為：λ=105.4 GPa,μ=83.4 GPa,l=-69 GPa,m=-574GPa,n=-670 GPa[15]。

選擇計算的頻率范圍在400 kHz以下，利用Pochhammer頻率方程求解可知，在該頻率范圍內(nèi)存在的縱向模態(tài)主要有L(0,1)，L(0,2)和L(0,3)模態(tài)，存在的彎曲模態(tài)主要有F(1,1)，F(xiàn)(1,2)和F(1,3)模態(tài)。得到的具有初始應(yīng)力與無應(yīng)力對應(yīng)的頻散曲線如圖1所示。

圖1　不同應(yīng)力水平鋼桿頻散曲線 Fig.1 Dispersion curves of steel bar at different stress levels

2.2超聲導(dǎo)波聲彈敏感性分析

從圖1的結(jié)果可看到，在具有初始應(yīng)力時，各個模態(tài)的速度變化較微弱，并不能直接觀察到頻率與聲彈性效應(yīng)的關(guān)系。因而通過選取計算頻率點，對相鄰特征頻率進行線性插值計算對應(yīng)的相速度與群速度，采用式(4)分別計算各個頻率點相速度和群速度相對變化率決定的聲彈性常數(shù)，并繪制聲彈性常數(shù)頻散曲線來反映頻率與聲彈性效應(yīng)的關(guān)系，結(jié)果如圖2所示。

(4)

式中：cσ為應(yīng)力σ時的速度值，c0為無應(yīng)力時的速度值。

圖2　鋼桿中縱向模態(tài)與彎曲模態(tài)的聲彈頻散特性 Fig.2 Acoustoelastic dispersion for longitudinal and flexural mode

圖3　鋼桿中L(0,1)模態(tài)不同激勵頻率聲彈效應(yīng) Fig.3 Variation of the acoustoelastic effect with the excitation frequency for L(0,1) mode

為驗證該方法求解的預(yù)應(yīng)力頻散關(guān)系是否正確，本文通過與文獻[16]試驗得到的結(jié)果進行對比分析。根據(jù)頻厚積的關(guān)系，分別選取L(0,1)模態(tài)激勵頻率點為88 kHz(100 kHz), 132 kHz (150 kHz), 150 kHz (170 kHz), 167.5 kHz (190 kHz), 190 kHz(215 kHz)和264.5 kHz (300 kHz)，由圖2群速度聲彈常數(shù)結(jié)果計算各個頻率點群速度的相對變化率，結(jié)果如圖3所示。

圖示結(jié)果與文獻試驗得到的結(jié)果對比表明：頻率對聲彈性效應(yīng)的敏感性趨勢完全一致，只是在群速度相對變化率數(shù)值上有一些差別，這可能是由于材料的不一致性且在理論計算時沒有考慮材料的織構(gòu)效應(yīng)造成的，而材料織構(gòu)效應(yīng)與聲彈性效應(yīng)對速度變化的影響是在同一個量級[17]。說明利用超彈模型的特征頻率法求解預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的頻散關(guān)系進而選取聲彈效益敏感的模態(tài)與激勵頻率是可行的。

因而，可得到以下結(jié)論：縱向模態(tài)均存在聲彈性效應(yīng)敏感的幾個頻段。L(0,1)模態(tài)群速度聲彈性常數(shù)在頻厚積為3.06 MHz.mm時出現(xiàn)拐點，此時聲彈性常數(shù)為正，表現(xiàn)為在該頻厚積附近群速度隨拉應(yīng)力的增大而遞增，且存在無聲彈性效應(yīng)的頻率點，這與體波的聲彈性效應(yīng)相比具有較大的差異。結(jié)合圖1得到的頻散曲線，選取頻散較弱，聲彈性效應(yīng)較強的模態(tài)與所對應(yīng)的頻厚積作為桿中超聲導(dǎo)波聲彈應(yīng)力檢測的最優(yōu)選擇，可知L(0,1)模態(tài)在頻厚積低于1.44 MHz.mm時，L(0,2)模態(tài)在4.23~5.4 MHz.mm時，L(0,3)模態(tài)在5~6.48 MHz.mm時，均適合于聲彈應(yīng)力檢測。F(1,1)模態(tài)在頻散較小的區(qū)域聲彈性效應(yīng)較弱，而F(1,2)模態(tài)與F(1,3)模態(tài)由于很難實現(xiàn)單一模態(tài)的激勵，在實際檢測中并不常用，因而說明彎曲模態(tài)相比縱向模態(tài)并不適合用于聲彈應(yīng)力檢測。

3鋼桿中超聲導(dǎo)波聲彈效應(yīng)試驗研究

3.1試驗系統(tǒng)與測量方法

超聲導(dǎo)波聲彈測量系統(tǒng)如圖4所示。主要包括函數(shù)發(fā)生器、示波器、壓電陶瓷片、拉伸裝置與錨具等。由于頻率對聲彈效應(yīng)的影響只與材料的二階彈性常數(shù)有關(guān)，而鋼材的二階彈性常數(shù)較為接近，故在試驗時選取國內(nèi)最為常見的Q235碳素鋼，以評估不同激勵頻率的聲彈敏感性，試件直徑為12 mm。

圖4　超聲導(dǎo)波聲彈拉伸系統(tǒng)實物圖 Fig.4 Measurement system schematic and picture

試件通過錨具固定在拉伸裝置中，在拉伸裝置中固定有數(shù)顯壓力傳感器，可精確測量施加的應(yīng)力水平。拉力從0 t加載到2 t，對應(yīng)最大載荷為屈服極限的75%，每加載0.2 t采集一次數(shù)據(jù)。采用壓電陶瓷片是鑒于其換能效率高，對信號較為靈敏，且信噪比高，從而無需在測試系統(tǒng)中添加功率放大器，可提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于直接測量群速度存在一定的誤差，采用式(4)計算的聲彈常數(shù)并不準(zhǔn)確。為克服上述誤差，考慮到有應(yīng)力和無應(yīng)力時傳播的時間相對于時延值二者非常接近，即聲彈常數(shù)計算可由式(5)表示：

(5)

式中：Δtσ為時延值，L為兩傳感器間的有效拉伸長度，ΔL有效拉伸長度對應(yīng)的伸長量。

對式(5)進行變形，即可得到試驗聲彈常數(shù)的計算公式如式(6)所示，其中時延值通過互相關(guān)函數(shù)法計算有應(yīng)力和無應(yīng)力時直達波的信號數(shù)據(jù)得到。

(6)

式中： E為材料的楊氏模量。

3.2L(0,1)模態(tài)聲彈試驗結(jié)果及分析

選取中心頻率為120kHz的長度伸縮性壓電陶瓷片對L(0,1)模態(tài)聲彈敏感頻段進行聲彈試驗研究。利用壓電片的自身帶寬屬性，分別激勵96kHz，120kHz和140kHz三組頻率，進行加卸載試驗。計算各個應(yīng)力點的時延值與群速度相對變化率，圖5為頻率在120kHz時無載荷與2t拉力加載的信號對比及互相關(guān)分析結(jié)果。

信號對比結(jié)果表明：接收到的原始信號模態(tài)單一，無摻雜端面回波成分，適合聲彈時延計算；在聲彈試驗時，隨拉力增加信號幅值會升高。為評估L(0,1)模態(tài)在各頻率點的聲彈常數(shù)與應(yīng)力靈敏度，對所有加載點進行互相關(guān)運算，計算時間延遲與拉力之間的關(guān)系式，結(jié)果如圖6所示。

圖5　互相關(guān)分析結(jié)果 Fig.5 Cross-correlation analysis results

由圖6結(jié)果可知，加載和卸載的線性度較好，且二者也具有較高的一致性。根據(jù)加卸載線性擬合斜率的平均值計算聲彈常數(shù)，并使用該聲彈常數(shù)評估各個應(yīng)力點的誤差。結(jié)果可知：96kHz的聲彈常數(shù)為-0.012 5GPa-1,用此聲彈常數(shù)評估的應(yīng)力值在低應(yīng)力區(qū)域最大誤差高于40%，而在拉力大于1t時，試驗

結(jié)果的誤差均低于10%；120kHz的聲彈常數(shù)為-0.009 8GPa-1, 加載誤差較小，當(dāng)拉力大于0.8t時的誤差均小于5%，而卸載誤差較大，結(jié)果與96kHz的趨勢一致；140kHz的聲彈常數(shù)為-0.006 3GPa-1， 加卸載的誤差在低應(yīng)力區(qū)域最高達53.7%，而在拉力為1t以上時，誤差均小于10%。以上結(jié)果表明超聲導(dǎo)波聲彈效應(yīng)適宜評估結(jié)構(gòu)應(yīng)力是否超載，而不適合檢測結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力是否缺失。同時發(fā)現(xiàn)隨頻率的增大，時間延遲降低，表明L(0,1)模態(tài)在此頻段內(nèi)聲彈性效應(yīng)是逐漸降低的，這與理論得到的結(jié)論是吻合的，且聲彈常數(shù)量值也與國外文獻報道的結(jié)果[15-17]較為一致。進一步說明了有限元特征頻率法求解預(yù)應(yīng)力頻散關(guān)系的可靠性，表明理論計算的聲彈常數(shù)可以作為模態(tài)與激勵頻率選取的依據(jù)。但鑒于理論模型與實際材料特性的差異，理論聲彈常數(shù)不可作為標(biāo)定值去指導(dǎo)工程實測。

圖6　群速度相對變化率與加載應(yīng)力的關(guān)系 Fig.6 Relative group velocity change as a function of load stress

4結(jié)論

本文基于Murnaghan超彈模型的特征頻率法，提出一種計算預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)頻散關(guān)系的方法，并用該方法計算了縱向模態(tài)與彎曲模態(tài)的聲彈頻散特性，得到如下結(jié)論：

(1)計算L(0,1)模態(tài)在不同激勵頻率點的聲彈常數(shù)，與文獻試驗得到的結(jié)果進行了對比，趨勢一致，驗證了該方法的可行性。

(2)通過計算預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的頻散關(guān)系，得到反映應(yīng)力敏感性的聲彈頻散曲線。

(3)利用自制的拉伸試驗平臺，對L(0,1)模態(tài)聲彈敏感頻段的幾組頻率進行了聲彈常數(shù)測量，試驗結(jié)果線性度較好，與理論方法得到的聲彈常數(shù)趨勢一致，進一步說明理論方法是可靠的。

(4)利用測得的聲彈常數(shù)評估各個應(yīng)力點誤差可知，在低應(yīng)力區(qū)域誤差較大，而在高應(yīng)力區(qū)域誤差均可控制在10%以內(nèi)，表明超聲導(dǎo)波聲彈效應(yīng)適宜評估結(jié)構(gòu)應(yīng)力是否超載，而不適合檢測結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力是否缺失。

綜上所述，該方法可有效地指導(dǎo)超聲導(dǎo)波聲彈應(yīng)力檢測時模態(tài)與激勵頻率的優(yōu)化選取。但鑒于理論模型與實際材料特性的差異性，理論計算的聲彈常數(shù)不可作為標(biāo)定聲彈常數(shù)去指導(dǎo)工程實測。

參考文獻

[1]ChakiS,BourseG.Guidedultrasonicwavesfornon-destructivemonitoringofthestresslevelsinprestressedsteelstrands[J].Ultrasonics, 2009, 49(2): 162-171.

[2]何存富，吳斌，范晉偉. 超聲柱面導(dǎo)波技術(shù)及其應(yīng)用研究進展[J]. 力學(xué)進展, 2001, 3(2)：203-214.

HECun-fu,WUBin,FANJin-wei.Advancesinultrasoniccylindricalguidedwavestechniquesandtheirapplications[J].AdvancesinMechanics, 2001, 3(2)：203-214.

[3]ChenHLR,HeY,RaoG.Measurementofprestressforceintherodsofstressedtimberbridgesusingstresswaves[J].Mater.Eval, 1998,56 (8) :977-981.

[4]DiScaleaFL,RizzoP,FriederS.Stressmeasurementanddefectdetectioninsteelstrandsbyguidedstresswaves[J].JournalofMaterialsinCivilEngineering, 2003, 15(3)：219-227.

[5]RizzoP,DiScaleaFL.Ultrasonicinspectionofmulti-wiresteelstrandswiththeaidofthewavelettransform[J].SmartMaterialsandStructures, 2005, 14(4)：685-695.

[6]LovedayPW.Semi-analyticalfiniteelementanalysisofelasticwaveguidessubjectedtoaxialloads[J].Ultrasonics, 2009,49: 298-300.

[7]LovedayPW,WilcoxPD.Guidedwavepropagationasameasureofaxialloadsinrails[C].ProceedingsofSPIE-TheInternationalSocietyforOpticalEngineering, 2010, 7650(23):1-8.

[8]何文,王成,寧建國,等. 端錨錨桿工作載荷的導(dǎo)波確定法[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報, 2009, 28(9):1767-1772.

HEWen,WANGCheng,NINGJian-guo,etal.Guidedwavedeterminationmethodofserviceloadinpartiallygroutedbolt[J].ChineseJournalofRockMechanicsandEngineering, 2009, 28(9):1767-1772.

[9]何文,王成. 基于導(dǎo)波技術(shù)的螺柱軸力無損檢測[J]. 計算力學(xué)學(xué)報, 2009, 26(4):604-607.

HEWen,WANGCheng.Guidedwavenondestructivetestingofaxialstressinthestud[J].ChineseJournalofComputationalMechanics, 2009, 26(4):604-607.

[10]劉增華,劉溯,吳斌,等. 預(yù)應(yīng)力鋼絞線中超聲導(dǎo)波聲彈性效應(yīng)的試驗研究[J]. 機械工程學(xué)報, 2010,46(2):22-26.

LIUZeng-hua,LIUSu,WUBin,etal.Experimentalresearchonacoustoelasticeffectofultrasonicguidedwavesinprestressingsteelstrand[J].JournalofMechanicalEngineering, 2010,46(2):22-26.

[11]PaoYH,SachseW,FukuokaH,Acoustoelasticityandultrasonicmeasurementofresidualstress[J].PhysicalAcoustics,NewYork,AcademicPress, ⅩⅦ, 1984: 62-140.

[12]MaceBR,DuhamelD,BrennanMJ,etal.Finiteelementpredictionofwavemotioninstructuralwaveguides[J].JournaloftheAcousticalSocietyofAmerica, 2005, 117(5): 2835-2843.

[13]吳斌，劉飛，何存富. 波導(dǎo)結(jié)構(gòu)頻散分析的特征頻率法及在板條結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用[J]. 計算力學(xué)學(xué)報, 2013, 30(4):514-519.

WUBin,LIUFei,HECun-fu.Analysisofdispersioncharacteristiceigenfrequencymethodforwaveguidesandapplicationinplatestrip[J].ChineseJournalofComputationalMechanics, 2013, 30(4):514-519.

[14]ROSEJL.固體中的超聲波[M]. 何存富，吳斌，王秀彥譯. 北京：科學(xué)出版社，2004.

[15]TakahashiS,MotegiR.Stressdependencyonultrasonicwavepropagationvelocity:Part2Thirdorderelasticconstantsofsteels[J].Journalofmaterialsscience. 22(1987):1857-1863.

[16]RizzoP,Di-ScaleaFL.Effectoffrequencyontheacoustoelasticresponseofsteelbars[J].Exp.Tech, 2003: 40-43.

[17]WasherGA,Theacoustoelasticeffectinprestressingtendons[D].PhDthesis,JohnsHopkinsUniversity, 2001.

[18]ChenHL,WissawapaisalK.Measurementoftensileforcesinaseven-wireprestressingstrandusingstresswaves[J].JournalofEngineeringMechanics, 2001, 127(6):599-606.

第一作者于蓬男，博士生，1986年生

通信作者章桐男，教授，博士生導(dǎo)師，1960年生

郵箱：tzhang@fcv-sh.com

第一作者楊超男，博士生，1988年2月生

通信作者肖守訥男，研究員，1964年6月生