人－橋動(dòng)力相互作用下側(cè)向振動(dòng)的動(dòng)力放大系數(shù)分析

人-橋動(dòng)力相互作用下側(cè)向振動(dòng)的動(dòng)力放大系數(shù)分析

宋志剛，張堯

(昆明理工大學(xué)土木工程學(xué)院，昆明650500)

摘要：從社會(huì)力模型和人橋相互作用的機(jī)理出發(fā)研究了柔性人行橋在人橋相互作用下側(cè)向振動(dòng)的動(dòng)力放大系數(shù)。首先將人行激勵(lì)分解為固有側(cè)向力和附加側(cè)向力，分別采用傅里葉級(jí)數(shù)模型和社會(huì)力模型表示上述側(cè)向力，從而建立考慮負(fù)阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)模型。結(jié)合該模型推導(dǎo)出動(dòng)力放大系數(shù)的表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上給出了基于動(dòng)力放大系數(shù)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。最后，結(jié)合某人行橋結(jié)構(gòu)，對(duì)比分析了采用建議的估算方法與時(shí)程模擬結(jié)果的差異，證實(shí)了簡(jiǎn)化計(jì)算方法的有效性。

關(guān)鍵詞：人行橋；側(cè)向振動(dòng)；人橋相互作用；動(dòng)力放大系數(shù)；動(dòng)力響應(yīng)估算

中圖分類號(hào):TU311.2; TU112.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11132002，10972014);優(yōu)秀博士培育基金( YB20091000502);內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)計(jì)劃項(xiàng)目(NDTD2013-6)

收稿日期：2013-08-20修改稿收到日期：2013-12-19

Analysis of the dynamic amplification factor of latetral structural vibration induced by crowd-bridge interaction

SONGZhi-gang,ZHANGYao(Department of Civil Engineering, Kunming University of Science & Technology, Kunming 650500, China)

Abstract:Depending on the social force model and the mechanism of crowd-bridge interaction, the lateral dynamic amplification factor of flexible footbridges was studied. The lateral step force induced by pedestrian was divided into two parts, namely the intrinsic lateral force and additional lateral force. Representing the two parts of forces by Fourier series and social force respectively, the motion equation of footbridge was set up with the consideration of negative damping. The expression of dynamic amplification factor was derived from the structural motion equation. Then a simplified method for estimating structural responses was proposed according to the relationship between structural responses and the dynamic amplification factor. The peak displacement and acceleration of a concrete footbridge were calculated by using the simplified method and the conventional time history analysis respectively. The results of the two methods were compared with each other, and the effectiveness of the simplified method was validated.

Key words:footbridges; lateral vibration; crowd-bridge interaction; dynamic amplify factor; dynamic response estimation

大跨人行橋人致側(cè)向動(dòng)力失穩(wěn)問題引起了廣泛關(guān)注。在英國(guó)倫敦千禧橋[1-2]和日本T橋[3-4]等一些大跨人行橋上均觀測(cè)到了人橋相互作用引起的過大側(cè)向振動(dòng)。Dallard等[1-2]和Nakamura等[3-4]分別在對(duì)千禧橋和T橋的觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上提出了帶有經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的負(fù)阻尼模型，解釋了人行橋結(jié)構(gòu)側(cè)向動(dòng)力失穩(wěn)的原因，并推導(dǎo)出失穩(wěn)時(shí)的臨界人數(shù)表達(dá)式。Roberts[5]由行人的人體側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)出人橋相互作用力，提出了理論模型。Newland[6]將人橋相互作用力分為兩部分，分別由行人和橋面運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生。

根據(jù)以上負(fù)阻尼理論的基本思想，本文針對(duì)低密度人群過橋情況，提出了考慮人橋相互作用的負(fù)阻尼模型。低密度穩(wěn)態(tài)人流過橋時(shí)，人群中每個(gè)行人都有足夠的行走空間，其步頻和步幅不受周圍其他行人影響，可以忽略人-人相互作用。行人側(cè)向步行力使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)，引起了行人行走路線的改變，與之對(duì)應(yīng)的人體重心移動(dòng)反過來又導(dǎo)致了行人側(cè)向步行力的改變。因此，本文將行人側(cè)向步行力劃分為兩部分。一部分稱作固有側(cè)向力，由行人在固定橋面上行走產(chǎn)生，另一部分稱為附加側(cè)向力，即上述人體重心移動(dòng)所引起的側(cè)向力改變量。固有側(cè)向力可運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)近似表示，附加側(cè)向力可通過社會(huì)力模型表示為負(fù)阻尼力，從而可以建立用于振動(dòng)分析的負(fù)阻尼模型。繼而由該模型推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)側(cè)向振動(dòng)的動(dòng)力放大系數(shù)表達(dá)式。

1側(cè)向力模型

1.1側(cè)向步行力劃分

本文以簡(jiǎn)支梁作為大跨人行橋的計(jì)算模型。設(shè)一人行橋質(zhì)量沿橋長(zhǎng)均勻分布，單位長(zhǎng)度內(nèi)為mb，且阻尼和側(cè)向抗彎剛度沿橋長(zhǎng)為定值，分別為c和EI。人行激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中，w表示側(cè)向撓度，xi0、vi和pi(x,t)分別為行人i的初始位置、行走速度和步行力函數(shù)，δ(·)為單位脈沖函數(shù)，形式為：

(2)

行人在振動(dòng)橋面上行走時(shí)，身體重心的移動(dòng)可分為兩部分，一部分由左右腳交替引起，另一部分由橋面運(yùn)動(dòng)引起，如圖1實(shí)線所示。與之對(duì)應(yīng)將(1)式中行人i的側(cè)向步行力分為兩部分

pi(x,t)=pii(t)+pia(x,t)

(3)

pii(t)和pia(x,t)分別稱為固有側(cè)向力和附加側(cè)向力。

圖1　運(yùn)動(dòng)橋面上行人重心的移動(dòng) Fig.1 Body gravity centre movement on vibrating deck

1.2固有側(cè)向力

圖2　運(yùn)動(dòng)表面上 期望速度方向的偏轉(zhuǎn) Fig.2 Desired velocity deflection on vibrating deck

在固定橋面上行人行走路線為直線。固有側(cè)向力即由重心在左右腳之間交替移動(dòng)所產(chǎn)生。本文以傅里葉級(jí)數(shù)作為固有側(cè)向力模型[7]，其表達(dá)式為

pii(t)=

(4)

式中，Wi為行人i的體重，fi為側(cè)向步頻，亦即0.5倍步頻，這里假設(shè)行人的質(zhì)量為70 kg，側(cè)向步頻服從均值為0.925Hz，標(biāo)準(zhǔn)差為0.075的正態(tài)分布，k表示步行力諧波階數(shù)，DLFk為第k階諧波動(dòng)荷因子，θik為行人i的k階諧波相位。取前五階諧波，各階諧波動(dòng)荷因子按文獻(xiàn)[7]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果取值，見表1。并且認(rèn)為θik服從[0,2π]的均勻分布。

表1　固有側(cè)向力前五階諧波動(dòng)荷因子

1.3附加側(cè)向力

在振動(dòng)橋面上，行人重心隨橋面運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)(如圖1虛線所示)。附加側(cè)向力由該部分重心移動(dòng)所產(chǎn)生，其表達(dá)式通過社會(huì)力模型推導(dǎo)獲得。

Helbing等[8]提出的社會(huì)力模型，在模擬人群運(yùn)動(dòng)行為中有廣泛應(yīng)用。根據(jù)社會(huì)力模型，可將人群看作若干個(gè)體組成的多體動(dòng)力系統(tǒng)，其中每個(gè)行人受到三種作用力，分別為行人朝目標(biāo)區(qū)域行進(jìn)的驅(qū)動(dòng)力、周圍其他行人對(duì)其產(chǎn)生的社會(huì)力、以及周圍邊界(或障礙物)對(duì)其產(chǎn)生的邊界力。以上三種力服從牛頓第二定律，于是行人i的受力平衡方程為

(5)

式中，mi、vi(t)為行人i的質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)速度矢量，F(xiàn)ij為行人j施加給i的社會(huì)力矢量，F(xiàn)iw為邊界(或障礙物)w施加給i的邊界力矢量，F(xiàn)i為行人i的驅(qū)動(dòng)力矢量。假設(shè)在低密度人群中,每個(gè)行人都有足夠的自由行走空間，其行走速度和步態(tài)不受周圍行人或邊界(障礙)影響，故忽略式(5)等號(hào)右邊的后兩項(xiàng)得

(6)

驅(qū)動(dòng)力矢量的表達(dá)式為

(7)

式中，voi為行人i的期望速率，e(t)為期望矢量方向，τ為張弛時(shí)間，表示行人對(duì)橋面運(yùn)動(dòng)做出反應(yīng)的時(shí)間，其值可取0.42 s[8]。現(xiàn)假設(shè)行人i位置x處的橋面以速度vb(x,t)發(fā)生側(cè)向振動(dòng)，此時(shí)行人為調(diào)整重心以保證原有的運(yùn)動(dòng)方向，其期望矢量方向會(huì)隨橋面運(yùn)動(dòng)而發(fā)生偏轉(zhuǎn)，如圖2所示。根據(jù)矢量合成法則，式(7)可寫為，

(8)

根據(jù)作用力與反作用力原理，橋面所受該力的反作用力即為附加側(cè)向力?？紤]結(jié)構(gòu)側(cè)向振動(dòng)位移與速度的微分關(guān)系，可將附加側(cè)向力表達(dá)為

(9)

式(9)中結(jié)構(gòu)振動(dòng)速度方向與位移方向相同，于是改為標(biāo)量表示。

2動(dòng)力放大系數(shù)推導(dǎo)

將式(4)和式(9)代入運(yùn)動(dòng)方程(1)，并引入廣義坐標(biāo)，

(10)

式中,φj表示第j階振型，Zj為廣義位移。將式(1)解耦得到

(11)

式中，ξj為廣義阻尼比，Mj、Fj和ωj為廣義質(zhì)量、人行激勵(lì)函數(shù)和結(jié)構(gòu)自振頻率，表達(dá)式分別為式(12)~式(14)。

(12)

(13)

(14)

以上各式中，φj(4)表示振型對(duì)x的四階導(dǎo)函數(shù)，L為橋長(zhǎng)，g為重力加速度，其他符號(hào)意義同上。穩(wěn)態(tài)人流(人流密度穩(wěn)定)通過人行橋時(shí)，行人均勻地分布于橋面，且以穩(wěn)定的速度前進(jìn)，此時(shí)前方行人的位置將馬上被他身后的行人占據(jù)。若忽略行人間年齡、性別等差異，則該情況下行人作用于結(jié)構(gòu)的總側(cè)向步行力與他們?cè)靥げ綍r(shí)的側(cè)向步行力等價(jià)[9]。于是可假設(shè)行人的位置不變，略去Fj表達(dá)式中的vit項(xiàng)，同時(shí)假設(shè)行人質(zhì)量沿橋長(zhǎng)均勻分布。式(13)簡(jiǎn)化為

(15)

將式(15)代入式(11)，經(jīng)移項(xiàng)化為

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，梁式結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)主要由一階振型支配，且受支撐條件影響較小，故令φ1=sin(πx/L)，并分別代入式(16)，(12)，(14)，整理得

(17)

(18)

(19)

(20)

令rN=N/Ncr，即橋上實(shí)際行人數(shù)與臨界人數(shù)比，于是有

(21)

代入(17)式得

(22)

由式(22)可知，固有側(cè)向步行力k階波作用下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

(23)

根據(jù)單自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)[10]，步行力k階波作用下結(jié)構(gòu)的位移幅值為

(24)

(25)

(26)

式中,β為行人側(cè)向步頻與結(jié)構(gòu)自振頻率之比。

(27)

結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可表達(dá)為步行力各階諧波作用下的響應(yīng)疊加，

(28)

(29)

(30)

定義D為結(jié)構(gòu)的等效動(dòng)力放大系數(shù)，其值為結(jié)構(gòu)總位移幅值除以大小為步行力一階諧波幅值的靜荷載作用于結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的靜位移。

表2　各階諧波峰值響應(yīng)的相關(guān)系數(shù)

3考慮人-橋相互作用的動(dòng)力響應(yīng)估算方法

由式(26),(27)和(30)可知，動(dòng)力放大系數(shù)主要受結(jié)構(gòu)自振頻率ω1、阻尼比ξ1和橋上行人數(shù)量比rN三個(gè)參數(shù)影響。對(duì)于某一人行橋，其ω1和ξ1為定值，人橋相互作用對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)的影響由rN決定。于是可將動(dòng)力放大系數(shù)看作是以rN為自變量的函數(shù)，表示為D(rN)，根據(jù)上述負(fù)阻尼理論，D(0)表示不考慮人橋相互作用的動(dòng)力放大系數(shù)。

由式(29)可知結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值與動(dòng)力放大系數(shù)成正比，動(dòng)力放大系數(shù)比D(rN)/D(0)即為考慮和不考慮人橋相互作用時(shí)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)峰值之比。據(jù)此，考慮人橋相互作用時(shí)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)峰值即可在不考慮人橋相互作用時(shí)的響應(yīng)峰值基礎(chǔ)上，結(jié)合動(dòng)力放大系數(shù)進(jìn)行估算。

4算例與估算方法正確性驗(yàn)證

4.1算例

為了說明上述方法的計(jì)算步驟并驗(yàn)證其正確性，現(xiàn)以某座混凝土人行橋?yàn)樗憷?，分別通過估算方法和時(shí)程模擬方法計(jì)算了該人行橋在人橋相互作用下的峰值位移響應(yīng)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

混凝土人行橋的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及根據(jù)(20)式計(jì)算得到的臨界人數(shù)如表3所示。

表3　算例的結(jié)構(gòu)參數(shù)

4.2本文方法的計(jì)算步驟

根據(jù)本文提出的估算方法，結(jié)合以上算例，可將計(jì)算步驟總結(jié)如下(這里行人側(cè)向步頻取定值0.925 Hz)：

(1)按式(27)計(jì)算出頻率比β=1.008，并按式(26)和式(30)計(jì)算當(dāng)rN=0, 0.05, 0.1, 0.15,…, 0.7時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)值，再計(jì)算動(dòng)力放大系數(shù)比值D(rN)/D(0)；

(2)運(yùn)用Monte Carlo模擬，以式(22)為計(jì)算模型，略去負(fù)阻尼項(xiàng)，計(jì)算不考慮人橋相互作用時(shí)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。模擬中隨機(jī)生成行人側(cè)向步行力，可以認(rèn)為其各階諧波相位服從[0,2π]間的均勻分布。動(dòng)力響應(yīng)采用時(shí)程分析法計(jì)算，取10~15 min間的計(jì)算結(jié)果作為結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；

(3)按第(2)步重復(fù)進(jìn)行1 500次模擬，取各次模擬響應(yīng)峰值的均值，作為不考慮人橋相互作用的動(dòng)力響應(yīng)峰值；

(4)在上步結(jié)果的基礎(chǔ)上乘以動(dòng)力放大系數(shù)比D(rN)/D(0)，得到考慮人橋相互作用時(shí)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)峰值。

4.3與時(shí)程分析的結(jié)果對(duì)比

將上述過程中(2)、(3)步的模擬結(jié)果進(jìn)行擬合，可知不考慮人橋相互作用的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)峰值與(rN)0.5成正比關(guān)系(見圖3，圖4)，與Matsumoto[11]研究得到的人行橋豎向振動(dòng)規(guī)律一致。

圖3　結(jié)構(gòu)峰值位移響應(yīng) Fig.3 Structural peak displacement

圖4　結(jié)構(gòu)峰值加速度響應(yīng) Fig.4 Structural peak acceleration

用同樣的時(shí)程模擬方法，保留負(fù)阻尼項(xiàng)，并依次令rN=0.05, 0.1, 0.15,…, 0.7，可以得出考慮人橋相互作用的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)峰值。將該時(shí)程分析結(jié)果與上節(jié)計(jì)算過程得到的估算結(jié)果同時(shí)繪于圖3，圖4中。

由圖3，4可知，當(dāng)人數(shù)比在0.6以內(nèi)，簡(jiǎn)化方法估算結(jié)果與時(shí)程分析結(jié)果的相對(duì)誤差均在10%以內(nèi)，當(dāng)人數(shù)比為0.7時(shí)，結(jié)構(gòu)峰值加速度響應(yīng)的相對(duì)誤差為12%?？傮w上估算結(jié)果略高于時(shí)程分析結(jié)果，兩方法結(jié)果隨rN變化趨勢(shì)基本一致，說明上述估算方法正確反映了人橋相互作用對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響規(guī)律。本文建議的估算方法計(jì)算步驟較為簡(jiǎn)單，相比于時(shí)程分析，所需的計(jì)算時(shí)間大大減少。

5結(jié)論

本文研究了人橋相互作用下結(jié)構(gòu)的側(cè)向振動(dòng)，從行人在運(yùn)動(dòng)橋面上的行走步態(tài)規(guī)律出發(fā)，結(jié)合社會(huì)力模型提出了考慮人橋相互作用的側(cè)向步行力表達(dá)式，并建立了負(fù)阻尼模型。由該模型推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)側(cè)向振動(dòng)的動(dòng)力放大系數(shù)。在此基礎(chǔ)上給出了運(yùn)用動(dòng)力放大系數(shù)估算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的方法。該方法適用于低密度穩(wěn)態(tài)人流行走激勵(lì)下梁式結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算。最后，通過算例說明該方法估算值與時(shí)程分析結(jié)果基本一致，從而驗(yàn)證了該方法的有效性。

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第一作者劉飛男，博士，講師，1984年生

通信作者吳斌男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1962年生