排列組合中的幾何問(wèn)題和圖形問(wèn)題

朱海東

一、幾何問(wèn)題

在幾何圖形中涉及到排列組合的問(wèn)題主要有三

大類：有關(guān)空間四面體；平面三角形；兩直線的交點(diǎn).

解決這些問(wèn)題，主要的思路是：充分利用幾何圖形的特點(diǎn)，排除不符合題意的情況，對(duì)所求問(wèn)題進(jìn)行分

類.

問(wèn)題1 （1）求以一個(gè)正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)？

（2）求以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體有多少個(gè)？

（3）四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10點(diǎn).求以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體有多少個(gè)？

分析 這一組題目都要求確定四面體的個(gè)數(shù)，一般都可以采用排除法，把四點(diǎn)共面的情況排除.在排除時(shí)要充分考慮圖形的特點(diǎn)，不能遺漏.在問(wèn)題（1）中，四點(diǎn)共面的情況比較清楚，只有三個(gè)側(cè)面，所以共有四面體：C46-3=12個(gè).在問(wèn)題（2）中，正方體中的四點(diǎn)共面可分為兩類：一類是側(cè)面；另一類是對(duì)角面.側(cè)面有6個(gè)，對(duì)角面也有6個(gè)，所以共有四面體；C48-6-6=58個(gè).在問(wèn)題（3）中，四點(diǎn)共面的情況很容易遺漏，最容易發(fā)現(xiàn)的是在四側(cè)面上的四點(diǎn)共面，有4C46種；其次是由各邊中點(diǎn)所組成的四點(diǎn)共面，有3種；最隱蔽的是一條棱上的三點(diǎn)和它對(duì)棱中點(diǎn)所確定的四點(diǎn)共面，有6種.共有：C410-4C46-3-6=141個(gè)四面體.