線性矩陣方程的迭代求解方法

藺小林, 霍佩佩

(陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安　710021)

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線性矩陣方程的迭代求解方法

藺小林, 霍佩佩

(陜西科技大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安710021)

摘要：在很多問題中會(huì)遇到線性矩陣方程的求解問題，如果線性矩陣方程用矩陣直積和矩陣按行或按列進(jìn)行拉直，用向量表示未知數(shù)不僅不方便，而且占用空間較大，因此有必要討論線性矩陣方程的數(shù)值求解方法.本文給出了線性矩陣方程的迭代求解方法，討論了迭代方法收斂的條件，給出了線性矩陣方程的雅可比迭代方法和方陣乘冪求和方法，用數(shù)值例子基于Matlab程序驗(yàn)證了算法的可行性.

關(guān)鍵詞：線性矩陣方程; 雅可比迭代法; 收斂性; 方陣乘冪求和法

0引言

在科學(xué)計(jì)算和工程技術(shù)中常常會(huì)遇到線性矩陣方程的求解問題.在矩陣論中，線性矩陣方程的求解往往應(yīng)用矩陣直積(Kronecker積)和矩陣按行或按列進(jìn)行拉直[1]，把線性矩陣方程的求解轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組求解問題[2]，這種方法可以求解多種類型的線性矩陣方程，從理論推導(dǎo)上比較完整，但在實(shí)際求解過程中，要求矩陣的逆，從計(jì)算的角度來看是不現(xiàn)實(shí)的[3,4].同時(shí)，在線性矩陣方程中，把未知量矩陣按行或按列進(jìn)行拉直后，大規(guī)模的向量表示不便于觀測與管理，且在計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)中占用較大空間，因此有必要研究線性矩陣方程的數(shù)值迭代方法.

對線性矩陣方程求解，當(dāng)然也可以求出其精確解，但是在實(shí)際問題中，要求得其精確解可能有較大困難，要耗費(fèi)較長的時(shí)間.因此，類似于線性代數(shù)方程組可以使用迭代法求出其滿足一定精度要求的數(shù)值解就可以[5-8].本文對線性矩陣方程的數(shù)值求解方法進(jìn)行初步研究，給出了線性矩陣方程數(shù)值求解的迭代格式和迭代格式收斂的條件，引入了線性矩陣方程的雅可比迭代法以及方陣乘冪求和方法.最后，應(yīng)用數(shù)值例子進(jìn)行了驗(yàn)證.

1線性矩陣方程數(shù)值求解的基本迭代格式

考慮如下形式的線性矩陣方程：

(1)

采用矩陣記號，式(1)可寫成

AX=B

(2)

其中A∈Rn×n為非奇異矩陣，且假設(shè)aii≠0(i=1,2,…,n),X∈Rn×s,B∈Rn×s，其中,系數(shù)矩陣

A=M-N，其中M,N為待定矩陣，并且矩陣M可逆，則式(2)變化為

X=M-1NX+M-1B,

選取初始值X(0)，由迭代格式

X(k)=M-1NX(k-1)+M-1B (k=1,2,…)

(3)

1.1線性矩陣方程數(shù)值求解的基本收斂定理

類似于線性代數(shù)方程組的數(shù)值求解方法，我們給出由迭代格式產(chǎn)生的矩陣序列{X(k)}收斂的充分必要條件.

定理1對線性矩陣方程

X=GX+F

(4)

其數(shù)值求解的迭代格式為

X(k)=GX(k-1)+F

(5)

對任意初始值X(0)∈Rn×s，有下列收斂結(jié)果：

(1)迭代格式(5)產(chǎn)生的矩陣序列收斂的充要條件是矩陣G的譜半徑滿足ρ(G)<1;

(2)迭代格式(5)產(chǎn)生的矩陣序列收斂的充分條件是矩陣G的某種范數(shù)滿足‖G‖<1.

證明:(1)必要性設(shè)(5)收斂，不妨設(shè)X(k)收斂到X*∈Rn×s，則X*滿足(4)，即X*=GX*+F，結(jié)合迭代格式(5)，有

X(k)-X*=G(X(k-1)-X*)=…=Gk(X(0)-X*),

由引理1可知

又由引理2可知ρ(G)<1.

因?yàn)棣?G)<1，所以由引理2可知

(2)由于‖G‖<1，所以(4)有唯一解，記為X*，則X*=GX*+F，結(jié)合迭代格式(5)有

X(k)-X*=G(X(k-1)-X*)=…=Gk(X(0)-X*)

故

‖X(k)-X*‖≤‖G‖‖X(k-1)-X*‖≤……≤

‖G‖k‖X(0)-X*‖

定理2對線性矩陣方程(4)及數(shù)值求解迭代格式(5)，如果矩陣G的某種矩陣范數(shù)滿足‖G‖=q<1，則矩陣迭代序列{X(k)}收斂，且對任何X(0)有

(1)‖X(k)-X*‖≤qk‖X(0)-X*‖；

證明：由定理1的結(jié)論可知矩陣迭代序列{X(k)}收斂.

(1)顯然有關(guān)系式

X(k)-X*=G(X(k-1)-X*)

及

X(k+1)-X(k)=G(X(k)-X(k-1))，

于是有

‖X(k)-X*‖≤q‖X(k-1)-X*‖

(6)

‖X(k+1)-X(k)‖≤q‖X(k)-X(k-1)‖

(7)

反復(fù)利用(6)即得(1).

(2)由于

‖X(k+1)-X(k)‖=‖X*-X(k)-(X*-X(k+1))‖≥

‖X*-X(k)‖-‖X*-X(k+1)‖≥

(1-q)‖X*-X(k)‖,

即

(3)反復(fù)利用(7),結(jié)合(2)即可得到(3),證畢.

1.2線性矩陣方程數(shù)值求解的雅可比迭代格式

類似與線性代數(shù)方程組的數(shù)值求解方法，對線性矩陣方程的數(shù)值求解，也可以得到雅可比等迭代格式，為此引用下列記號

A=-L+D-U

(8)

其中

從式(1)的第ij個(gè)方程中解出xij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,s)得到

(9)

選定初值X(0)∈Rn×s，把迭代前的值代入上式右邊，由迭代格式計(jì)算得到的值作為下一次迭代的新值，再把這個(gè)新值代入右邊依次進(jìn)行計(jì)算.如此反復(fù)，也就是對k=1,2,…,計(jì)算

(k=1,2,…)

(10)

對該式采用矩陣A分裂記號，由式(10)得，

DX(k)=(L+U)X(k-1)+B

從而得到雅可比迭代格式的矩陣表示的緊湊形式

X(k)=D-1(L+U)X(k-1)+D-1B(k=1,2,…)

(11)

1.3線性矩陣方程數(shù)值求解的方陣乘冪求和方法

由線性矩陣方程數(shù)值求解的基本迭代格式(5)可知，給定初始值X(0)，則

當(dāng)矩陣G滿足迭代序列收斂的充分必要條件ρ(G)<1時(shí)，有Gk→O(k→∞)，其中O表示n階零方陣.通過遞推可得出矩陣方程的解的形式為

(12)

由此將矩陣方程的求解問題轉(zhuǎn)化為求和問題[9].在求方陣乘冪序列(12)的求和過程中可使用如下迭代方法：

(13)

其中T(i)為n階方陣，I為n階單位陣.

實(shí)際計(jì)算中，求解T后就需要進(jìn)行一次乘以F的運(yùn)算，這樣根據(jù)公式(13)可以推算出如下遞推算法：

(14)

其中TX(k)∈Rm×n，G、F分別為公式(12)中的n階方陣和m×n階矩陣.由上述推導(dǎo)可以得到，當(dāng)ρ(G)<1時(shí)，X(k)≈TX(k).如果取X(0)=0，則X(k)=TX(k).

2數(shù)值例子

例1對于矩陣方程AX=B，已知

試用雅可比迭代法求解，要求‖X(k)-X(k-1)‖∞≤10-5.

解:

雅可比迭代法迭代時(shí)的迭代格式為

故只要迭代三次就可以得到精確解.

事實(shí)上，可以證明，若ρ(G)=0，對迭代格式X(k)=GX(k-1)+F產(chǎn)生的矩陣迭代序列，最多迭代n次就可得到X=GX+F的不動(dòng)點(diǎn).

例2對于矩陣方程AX=B，已知，

解:可以驗(yàn)證，雅可比迭代法的迭代矩陣的譜半徑小于1，我們省略詳細(xì)Matlab求解程序和過程，只給出每次迭代的數(shù)值結(jié)果.

用雅可比迭代法求解的結(jié)果：

顯然‖X(10)-X(9)‖∞≤10-3.

用方陣乘冪求和法求解，取G=D-1(L+U)，F(xiàn)=D-1B，計(jì)算結(jié)果為：

顯然,‖TX(10)-TX(9)‖∞≤10-3.

3結(jié)論

本文對線性矩陣方程的數(shù)值求解方法進(jìn)行了討論，得到了線性矩陣方程數(shù)值求解方法的收斂性定理和誤差估計(jì)，給出了雅可比迭代方法以及方陣乘冪求和方法.線性矩陣方程的數(shù)值求解方法是線性代數(shù)方程組數(shù)值求解方法的推廣，當(dāng)線性矩陣方程的未知量矩陣是列向量時(shí)，本文方法就是線性代數(shù)方程組數(shù)值求解方法.因此，可以考慮把一些線性代數(shù)方程組數(shù)值求解方法推廣到線性矩陣方程數(shù)值求解方法上來，比如線性代數(shù)方程組數(shù)值求解方法的多分裂方法、松弛因子方法等等， 這些問題將是我們需要進(jìn)一步研究的問題.

參考文獻(xiàn)

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On the iterative method of linear matrix equation

LIN Xiao-lin, HUO Pei-pei

(College of Science， Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

Abstract:We often encounter the problem of solving linear matrix equations in a number of situations such as Kronecker product and transform a matrix by line or by column into a vector.It is inconvenient to represent unknown variables with a vector and it will occupy a large space inevitable.Therefore,it is very necessary to search the solution of linear matrix equations.In this paper,we formulate an iterative procedure to solve linear matrix equations,discuss the convergence condition of our iterative procedure and present the Jacobi method and the summation of square matrix′s power of linear matrix equations.Numerical experiments based on Matlab show the effectiveness of the proposed algorithm.

Key words:linear matrix equations; Jacobi iterative method; convergence; summation of square matrix′s power (SSMP)

中圖分類號：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1000-5811(2015)01-0175-04

作者簡介:藺小林(1961-)，男，陜西洛川人，教授，博士，研究方向：數(shù)值計(jì)算理論及其應(yīng)用

基金項(xiàng)目：陜西省科技廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室科研計(jì)劃項(xiàng)目(2011HBSZS014)； 陜西科技大學(xué)學(xué)術(shù)團(tuán)隊(duì)計(jì)劃項(xiàng)目(2013XSD39)

收稿日期:*2014-12-01 *2014-11-23