從函數(shù)視角研究數(shù)列

鄧平

【摘 要】滬教版高二年級第一學(xué)期課本中第6頁寫道：“從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成是以正整數(shù)集（或其子集）為定義域的函數(shù)?！睌?shù)列是一個定義在正整數(shù)集（或其子集）上的特殊函數(shù)。從這個意義上看，它豐富了學(xué)生所接觸的函數(shù)概念的范圍，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)去研究數(shù)列問題，能使解數(shù)列的問題更有新意和綜合性，更能有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識。因此我們在解決數(shù)列問題時，應(yīng)充分利用函數(shù)的有關(guān)知識，以函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；數(shù)列；解決問題

一、數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)關(guān)系

通過對數(shù)列中的通項公式以及前n項和公式等這些特殊的函數(shù)關(guān)系的概念理解與分析，引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識an，sn和n的對應(yīng)關(guān)系，從而利用概念，鼓勵學(xué)生主動探究，挖掘出數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生知識系統(tǒng)化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)整體意識，用聯(lián)系發(fā)展的眼光學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在教學(xué)實踐過程中，通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，發(fā)揮他們的主體作用，歸納出數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下：

數(shù)列 通項公式 對應(yīng)函數(shù)

等差數(shù)列 an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d） y=dx+b（d≠0時為一次函數(shù)）

等比數(shù)列 y=aqx（指數(shù)型函數(shù)）

數(shù)列 前n項和公式 對應(yīng)函數(shù)

等差數(shù)列 y=ax2+bx（a≠0時為二次函數(shù)）

等比數(shù)列 y=aqx+b（指數(shù)型函數(shù)）

我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項公式以及前n項和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。

例1：等差數(shù)列{an}中，an=m，am=n，（m≠n）則am+n=？

分析：因為{an}是等差數(shù)列，所以an是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n，m），（m，n），（m+n，am+n）三點(diǎn)共線，所以利用每兩點(diǎn)形成直線斜率相等，即，得am+n=0（圖像如下），這里利用等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡潔。

例2：等差數(shù)列{an}中，a1=25，前n項和為sn，若s9=s17，n為何值時sn最大？分析：等差數(shù)列前n項和sn可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)Sn=，（n，sn）是拋物線f（x）=上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意，f（9）=f（17），則因為欲求Sn最大值，故其對應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對稱軸為，即當(dāng)n=13時，Sn最大。

例3：等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}首項均為1，且公差不等于1，公比q>0且q≠0，則集合{（n，an）|an=bn}一定含有元素

分析：等差數(shù)列{an}，由于首項為1，即a1=1，所以它的圖像是必過（1，1）的一條直線，而等比數(shù)列{bn}首項為1，公比為q，q>0且q≠1，故bn=qn-1，它表示指數(shù)函數(shù)f（n）=qn圖像向右平移一個單位得到，必過（1，1），所以此集合中必定含有元素（1，1）。

二、數(shù)列應(yīng)用題中構(gòu)造函數(shù)，成功“解決”

數(shù)列知識本身就是來源于實際問題，又被廣泛應(yīng)用于實際問題，帶有情境的數(shù)列問題，不僅可以考察學(xué)生的綜合能力，而且可以考察學(xué)生解決實際問題的能力。

例6：在一次人才招聘會上，A、B兩家公司分別開出它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年月工資為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上一年的基礎(chǔ)上遞增5%。設(shè)某人年初被A，B兩家公司同時錄用，試問：該人在A公司工作比在B公司工作的月工資最多時可高出多少元（精確到1元）？

分析：由題意可知，此人在A、B兩公司工作的第n年月工資數(shù)分別為：

an=1500+230（n-1）=230n+1270

bn=2000×1.05n-1

其中n∈N*

問題是該人在A公司比在B公司工資每月高出部分的最大值

故需要比較an和bn，

可設(shè)f（n）=an-bn=230n-2000×1.05n-1+1270

所以問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f（n）最大值。

因為當(dāng)n≥2時：

即

所以當(dāng)1≤n≤19時，f（n）單調(diào)遞增，而當(dāng)n≥20時，f（n）單調(diào)遞減，因而當(dāng)n=19時，f（n）有最大值f（19）=a19-b19=827（計算器算出）。

故此人在A公司工作比在B公司工作的月工資最多時可高出827元。

通過對以上實例的研究和分析，筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，不僅在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置，而且，在現(xiàn)實生活中有著非常廣泛的作用。因此，在教學(xué)實踐過程中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?，讓學(xué)生在這個情境中自覺領(lǐng)會和發(fā)現(xiàn)知識的形成過程，在感悟的過程中深刻體會其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，理解用函數(shù)思想解決數(shù)列問題的本質(zhì)。當(dāng)學(xué)生理解并掌握之后，往往能誘發(fā)知識的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會貫通的解決多種數(shù)列問題。同時，我們的學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)能夠得以不斷優(yōu)化與完善，思維豐富并發(fā)散，對知識的掌握與運(yùn)用能夠駕輕就熟。

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