新型3-PRRS農(nóng)業(yè)并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)及工作空間分析

新型3-PRRS農(nóng)業(yè)并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)及工作空間分析

杜晴晴,郭宗和,牛桂平

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

摘要：將新型六自由度3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于農(nóng)業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域，使其完成農(nóng)業(yè)耕地、除草及分揀等工作.首先，利用閉環(huán)矢量法研究該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解，給出了解析形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解.然后采用三維極坐標(biāo)搜索法編程對(duì)該機(jī)構(gòu)定姿態(tài)下工作空間的邊界以及三維立體圖進(jìn)行研究,得到體積大、無(wú)空洞、比較規(guī)則的工作空間，并且采用單一變量法研究各個(gè)參數(shù)對(duì)工作空間的影響，該研究為用于農(nóng)業(yè)除草及分揀任務(wù)的農(nóng)業(yè)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的優(yōu)化研究奠定了基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：并聯(lián)機(jī)構(gòu);運(yùn)動(dòng)學(xué);工作空間;六自由度

中圖分類號(hào)：TH112文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2014-11-18

基金項(xiàng)目：南方電網(wǎng)公司中介項(xiàng)目(ZJF130088)

作者簡(jiǎn)介：王澤民，男，wangzemin618@163.com； 通信作者： 張新慧，女，zhxh626@163.com

文章編號(hào)：1672-6197(2015)05-0043-06

Kinematics analysis and workspace of

a new 3-PRRS agriculture parallel mechanism

DU Qing-qing, GUO Zong-he, NIU Gui-ping

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology， Zibo 255049， China)

Abstract:The new six-DOF 3-PRRS parallel mechanism was used in the fields of agriculture robot, and it can be widely used in agricultural land,weeding and sorting.First, the kinematics inverse solution was studied by using the closed-loop vector method, and the analytic form of inverse kinematics was gained.Then three-dimensional polar search method was used to study a given gesture boundaries and three-dimensional map.Then workspace which was big, non-empty and inerratic was gained.And the single variable method was used to study variables influence of various parameters on workspace, which helped us to find their workspace variation,and select the appropriate structural parameters. This study would to lay the foundation for the further optimization of agriculture parallel mechanism.

Key words: parallel mechanism; kinematics analysis; workspace; 6-DOF

20世紀(jì) 90 年代，農(nóng)業(yè)機(jī)器人研究才得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視[1-4].但用于耕地、除草和分揀等作業(yè)的多功能農(nóng)業(yè)并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的研究較少.目前，機(jī)械農(nóng)業(yè)作業(yè)實(shí)現(xiàn)的功能比較單一，很大程度上依賴于機(jī)構(gòu)本身的特性.將六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于農(nóng)業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)多功能農(nóng)業(yè)生產(chǎn)有著廣闊的應(yīng)用前景.而少支鏈六自由度并聯(lián)機(jī)器人以其結(jié)構(gòu)緊湊、造價(jià)低及工作空間大等優(yōu)點(diǎn)成為當(dāng)前六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究熱點(diǎn)[5-6].到目前為止，擁有3 個(gè)運(yùn)動(dòng)支鏈的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如3-PPSP、3-PRPS 和3-URS 等機(jī)構(gòu)的研究已取得了一定的進(jìn)展[7-9].

文獻(xiàn)[10]提出了一種基于PR驅(qū)動(dòng)的六自由度3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)的輸入合理性，該機(jī)構(gòu)具有運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定、提供純轉(zhuǎn)動(dòng)、可直觀預(yù)測(cè)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)等特點(diǎn)，在農(nóng)業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景.本文利用封閉矢量法系統(tǒng)地分析其運(yùn)動(dòng)學(xué)反解問(wèn)題.采用三維極坐標(biāo)搜索法利用MATLAB軟件編程對(duì)該機(jī)構(gòu)定姿態(tài)下工作空間的邊界以及三維立體圖進(jìn)行研究,并且采用單一變量法研究各個(gè)參數(shù)對(duì)工作空間的影響，從而發(fā)現(xiàn)其工作空間變化規(guī)律，以期為3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供理論依據(jù).

1機(jī)構(gòu)位置

1.1　機(jī)構(gòu)描述與坐標(biāo)系建立

圖1所示為3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖.該機(jī)構(gòu)由靜平臺(tái)M1M2M3、動(dòng)平臺(tái)a1a2a3以及連接兩個(gè)平臺(tái)的3條均勻分布且結(jié)構(gòu)相同的支鏈組成，每條支鏈均由一個(gè)移動(dòng)副P、轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、轉(zhuǎn)動(dòng)副R2和一個(gè)球副S組成.其中，與移動(dòng)副相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的軸線始終與靜平臺(tái)平行，與連桿li相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1軸線相互垂直.P副和轉(zhuǎn)動(dòng)副R1為驅(qū)動(dòng)副.點(diǎn)A1、A2、A3為移動(dòng)桿與靜平臺(tái)的交點(diǎn)，點(diǎn)a1、a2、a3為連桿li(i=1、2、3)與動(dòng)平臺(tái)連接的球副S的中心，動(dòng)平臺(tái)的直徑為d，靜平臺(tái)(虛線部分，即轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的中心點(diǎn)Gi在靜平臺(tái)上的投影，投影點(diǎn)為Mi)直徑為D.分別在動(dòng)、靜平臺(tái)的中心P、O點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系P-xyz、O-XYZ，z、Z軸垂直于動(dòng)、靜平臺(tái)，x、X軸分別指向a1、A1點(diǎn)，y、Y軸符合右手定則，u1,u2,u3分別為相對(duì)應(yīng)的支鏈上與轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線共線的向量.

圖2所示為機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副輸入轉(zhuǎn)角為θi(i=1、2、3)時(shí)在Gi點(diǎn)建立的Gi-uvw局部坐標(biāo)系示意圖.其中，u與轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線共線并指向外，v軸與轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線共線并與ui方向一致.w軸符合右手定則，φi為連桿li與局部坐標(biāo)系Gi-uvw中的w軸的夾角.

圖1　3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2　機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副輸入轉(zhuǎn)角θ i在點(diǎn)G i 建立的G i-uvw局部坐標(biāo)系示意圖

1.2　機(jī)構(gòu)位置反解

六自由度3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置反解可歸結(jié)為已知機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)和動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P的位姿

(XP,YP,ZP,α,β,γ)，求解機(jī)構(gòu)各支鏈上驅(qū)動(dòng)P副的輸入位移Li(i=1,2,3)和驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的輸入轉(zhuǎn)角θi(i=1,2,3)的問(wèn)題.

根據(jù)如上所定義的坐標(biāo)系，按照Z(yǔ)-Y-X的變換順序可得動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz相對(duì)于靜坐標(biāo)系O-XYZ的旋轉(zhuǎn)矩陣[T]

在坐標(biāo)系O-XYZ下建立機(jī)構(gòu)每根支鏈的閉環(huán)矢量表達(dá)式

r=ai+bi+li·fi-di(i=1,2,3)

(1)

式中:r為動(dòng)平臺(tái)P的位置矢量；ai為靜平臺(tái)上Mi點(diǎn)的位置矢量；bi為靜平臺(tái)上Mi點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的中心點(diǎn)Gi的位置矢量；li為各連桿的長(zhǎng)度；fi為連桿li的單位矢量；di為動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)原點(diǎn)P到各球鉸中心a1、a2、a3的位置矢量；φi為各支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的軸線與X軸正方向的夾角.

設(shè)向量u1、u2、u3均為單位向量，u1、u2、u3在Z軸方向上的投影分量分別為sinθ1、sinθ、sinθ33，在XY平面上的投影分量分別為cosθ1、cosθ2、cosθ3，將cosθ1、cosθ2、cosθ3分解到X軸、Y軸，得到如下向量：

u1=[0,cosθ1,sinθ1]T

由機(jī)構(gòu)的幾何特點(diǎn)可知fi⊥ui，對(duì)公式(1)兩端同時(shí)點(diǎn)積ui可以得到如下約束方程：

uiT·li·fi=0(i=1,2,3)

(2)

ui為支鏈上轉(zhuǎn)動(dòng)副R2的旋轉(zhuǎn)軸線的方向向量.由公式(1)可得

li=‖r-ai-bi+di‖

(3)

由公式(2)可得

uiT·fi=uiT·(r-ai-bi+di)=0

(4)

將各已知量代入公式(3)展開(kāi)整理，得到桿長(zhǎng)Li(i=1,2,3)為

(5)

由公式(5)可知，Li(i=1,2,3)各有兩個(gè)根，但是機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征決定了驅(qū)動(dòng)滑塊的位置只能處于動(dòng)平臺(tái)的上方，即根號(hào)前只取‘+’.

將取正號(hào)的公式(5)和各已知量代入公式(4)展開(kāi)整理，可以得到輸入轉(zhuǎn)角θi(i=1,2,3)為

(6)

對(duì)于已知?jiǎng)悠脚_(tái)的位姿，則由以上公式可以求出各支鏈桿長(zhǎng)Li(i=1,2,3)和驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的輸入轉(zhuǎn)角θi(i=1,2,3)，即求得機(jī)構(gòu)的位置反解.

2工作空間分析

2.1 限制約束條件分析

針對(duì)3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間分析，主要考慮以下4種因素影響.

(1)驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)的限制.這里用Lmin和Lmax來(lái)表示第i驅(qū)動(dòng)桿的最短和最長(zhǎng)值，驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)的約束條件為

Lmin≤Li≤Lmax

根據(jù)該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的求解并結(jié)合機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)，以及實(shí)際應(yīng)用中的行程范圍，限定驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)的范圍為

Li∈[90,250]

(2)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副R2轉(zhuǎn)角范圍.根據(jù)該機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副的結(jié)構(gòu)特性及不存在與其他構(gòu)件干涉問(wèn)題的結(jié)論可知，驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)副可以整圈轉(zhuǎn)動(dòng)，故

θi∈(-180°，180°)

(3)球副轉(zhuǎn)角范圍.球副的轉(zhuǎn)角由與球副鏈基座固連的P-xyz坐標(biāo)系的z軸和與球副連接的連桿向量fi來(lái)確定，則球副的轉(zhuǎn)角為

結(jié)合球副的具體結(jié)構(gòu)，球副的角度范圍為

(4)機(jī)構(gòu)連桿間的干涉檢查.設(shè)連桿li和li+1之間的公法線長(zhǎng)度為hi，公法線與兩連桿之間的垂足位置矢量為di和di+1，則

若各連桿是截面直徑等于D′的圓柱體，則避免各連桿干涉的約束條件為

hi≥D′

2.2　定姿態(tài)工作空間

定姿態(tài)工作空間是指動(dòng)平臺(tái)表征姿態(tài)的 3個(gè)歐拉角(α,β,γ)固定不變情況下，參考點(diǎn)在空間的可達(dá)點(diǎn)集.在綜合考慮以上4種因素的影響下，利用三維搜索法，采用極坐標(biāo)的形式在-100mm≤XP≤100mm，-100mm≤YP≤100mm，0mm≤ZP≤250mm的搜索范圍內(nèi)應(yīng)用MATLAB軟件編程繪制該并聯(lián)機(jī)構(gòu)在給定姿態(tài)下的工作空間邊界圖和三維立體圖.

圖3為歐拉角α=0°，β=0°,γ=0°時(shí)的定姿態(tài)工作空間的邊界圖和三維立體圖，圖4為α=15°,β=0°,γ=0°時(shí)的定姿態(tài)工作空間的邊界圖和三維立體圖.由兩組圖對(duì)比可知：

(1)兩種姿態(tài)下工作空間總體呈現(xiàn)出下方近似三棱錐體，上方近似為三棱柱體.3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較大的工作空間，且內(nèi)部無(wú)空洞，工作邊界較光滑.

(2)當(dāng)α=0°，β=0°,γ=0°，即輸出只有三維平動(dòng)時(shí)，該機(jī)構(gòu)工作空間對(duì)稱性良好，且關(guān)于 Z軸對(duì)稱，在實(shí)際應(yīng)用中，可以很好利用這一特征.

(3)當(dāng)歐拉角有變化時(shí)，由于球副的角度限制使工作空間變小，3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間不再有對(duì)稱性，且其受姿態(tài)角度的影響較為明顯.

(a)垂直于Z軸的各剖面的工作空間邊界圖

(b)垂直于X軸的各剖面的工作空間邊界圖

(c)垂直于Y軸的各剖面的工作空間邊界圖

(d)工作空間三維立體圖 圖3 定姿態(tài)下的工作空間邊界圖和三維立體圖 (α=0°，β=0°,γ=0°)

(a)垂直于Z軸的各剖面的工作空間邊界圖

(b)垂直于X軸的各剖面的工作空間邊界圖

(c)垂直于Y軸的各剖面的工作空間邊界圖

(d)工作空間三維立體圖 圖4 定姿態(tài)下的工作空間邊界圖和三維立體圖 (α=15°，β=0°,γ=0°)

當(dāng)α=0°，β=0°,γ=0°時(shí)，根據(jù)搜索邊界，可得XP∈(-38mm,49mm)，YP∈(-42mm,42mm)，ZP∈(0mm,164mm).當(dāng)α=15°,β=0°,γ=0°時(shí)，XP∈(-38mm,49mm),YP∈(-25mm,51mm),ZP∈(3mm,166mm).

2.3　結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)工作空間的影響

通過(guò)分析3-PRRS并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)反解方程，得知其工作空間受到：(1)與動(dòng)平臺(tái)相連的連桿l的長(zhǎng)度限制;(2)動(dòng)平臺(tái)半徑d的限制;(3)靜平臺(tái)半徑D的限制.

這里以α=β=γ=0°姿態(tài)為例，采用多變量函數(shù)的方法，研究?jī)蓚€(gè)變量在同時(shí)變化時(shí)對(duì)工作空間的影響規(guī)律，繪制出工作空間受參數(shù)變化影響的三維圖(如圖5所示).

(a)連桿長(zhǎng)度和靜平臺(tái)直徑對(duì)工作空間影響圖

(b)動(dòng)平臺(tái)直徑和連桿長(zhǎng)度對(duì)工作空間影響圖

(c)靜動(dòng)平臺(tái)直徑對(duì)工作空間影響圖 圖5 單一結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)工作空間的影響

(1)從圖5(a)中可知，在其它結(jié)構(gòu)參數(shù)不變的情況下，通過(guò)改變連桿長(zhǎng)度l和靜平臺(tái)直徑D可知，工作空間具有單峰性的特點(diǎn)，當(dāng)連桿長(zhǎng)度增大到大約155mm，靜平臺(tái)直徑增大到大約195mm時(shí)，工作空間達(dá)到峰值.連桿長(zhǎng)度和靜平臺(tái)直徑并不是越大越好，連桿長(zhǎng)度過(guò)長(zhǎng)會(huì)使得機(jī)構(gòu)各個(gè)構(gòu)件之間容易產(chǎn)生干涉，導(dǎo)致工作空間下降;而靜平臺(tái)直徑過(guò)大會(huì)導(dǎo)致動(dòng)靜平臺(tái)半徑比過(guò)小，使球副的運(yùn)動(dòng)范圍縮小，進(jìn)而影響工作空間.

(2)從圖5(b)中可知，在其它參數(shù)不變的前提下，通過(guò)改變連桿長(zhǎng)度l和動(dòng)平臺(tái)直徑d可知，工作空間具有單峰性的特點(diǎn).當(dāng)動(dòng)平臺(tái)直徑d增大到95mm左右，連桿長(zhǎng)度增大到約130mm時(shí)，工作空間達(dá)到最大.動(dòng)平臺(tái)直徑d不能無(wú)限制增大，以避免動(dòng)平臺(tái)與3個(gè)支撐桿產(chǎn)生干涉.

(3)從圖5(c)中可知，在其它參數(shù)不變的前提下，工作空間仍然具有單峰性的特點(diǎn).當(dāng)動(dòng)平臺(tái)直徑d增大到100mm左右，靜平臺(tái)直徑增大到約200mm時(shí)，工作空間達(dá)到最大.說(shuō)明要想獲得大的工作空間，動(dòng)靜平臺(tái)直徑比就應(yīng)該在一個(gè)合理的范圍，不能過(guò)大或過(guò)小.動(dòng)靜平臺(tái)直徑比過(guò)大導(dǎo)致動(dòng)平臺(tái)與3個(gè)支撐桿產(chǎn)生干涉，過(guò)小導(dǎo)致連桿之間的干涉.

3結(jié)束語(yǔ)

利用封閉矢量法系統(tǒng)地分析了3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問(wèn)題，給出了解析形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解.采用三維搜索法運(yùn)用MATLAB軟件編程對(duì)該機(jī)構(gòu)定姿態(tài)下工作空間的邊界以及三維立體圖進(jìn)行了研究,得到了邊界光滑、體積大、無(wú)空洞比較規(guī)則的工作空間，有效克服了工作空間較小的缺點(diǎn)，使其在農(nóng)業(yè)領(lǐng)域有較大的應(yīng)用前景.通過(guò)研究3-PRRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)工作空間的影響，有利于發(fā)現(xiàn)其工作空間變化規(guī)律，有助于在給定驅(qū)動(dòng)的情況下，選取適合的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)3-PRRS并聯(lián)機(jī)器人工作空間的設(shè)計(jì)優(yōu)化具有指導(dǎo)意義.

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(編輯：郝秀清)