旋轉(zhuǎn)矢量法在振動與波中的應(yīng)用

旋轉(zhuǎn)矢量法在振動與波中的應(yīng)用

柯 堯*

(江西省九江第一中學(xué)江西 九江332000)

摘 要：旋轉(zhuǎn)矢量法是求解振動與波動問題的一種重要而又有效的方法，本文通過3個高考題介紹了旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用，從而拓展了解決振動與波相關(guān)問題的解題思路.

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)矢量法振動波動

收稿日期：(2014-10-24)

作者簡介：*柯堯(1983-)，男，中教一級，主要從事高中物理教學(xué)及研究.一直擔(dān)任物理競賽教學(xué)、物理競賽特級教練，曾輔導(dǎo)多名學(xué)生進(jìn)入國家冬令營.

1何謂旋轉(zhuǎn)矢量法

如圖1，A為一長度保持不變的矢量，A的始點(diǎn)在x坐標(biāo)軸原點(diǎn)處，計(jì)時起點(diǎn)t=0時，矢量與坐標(biāo)軸夾角為α，矢量A以角速度ω0逆時針勻速轉(zhuǎn)動，因此，矢量A在任一瞬間與x軸夾角為ω0t+α，用x表示矢量A在坐標(biāo)軸上的投影，有x=Acos(ω0t+α).可見，勻速旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影可表示一特定的簡諧振動.不難發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)矢量的長度等于振幅；矢量A旋轉(zhuǎn)的角速度等于簡諧振動的角頻率；矢量A與x軸正方向的夾角等于簡諧振動的相位.通常將此方法稱為旋轉(zhuǎn)矢量法，又稱為簡諧振動的幾何表示法[1].

圖1　旋轉(zhuǎn)矢量法示意圖

旋轉(zhuǎn)矢量法將數(shù)學(xué)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成了動態(tài)的圖形，相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合.美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩曾說,“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法”.本文通過舉例說明旋轉(zhuǎn)矢量法在解高考題中的應(yīng)用.

2旋轉(zhuǎn)矢量法在簡諧振動中的應(yīng)用

振動是自然界中一種非常常見的運(yùn)動形式，幾乎所有的微振動都可視為簡諧振動.旋轉(zhuǎn)矢量法可以十分直觀地描述振動物體的位移、速度、加速度、相位等物理量的變化.特別是在處理同頻率振動的合振動上更是體現(xiàn)其簡便易行.

圖2

或

或

即

或

或

其中k=0,1,2,…

或

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即

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其中k=0,1,2,…

3旋轉(zhuǎn)矢量法在波動中的應(yīng)用

圖3　 Q落后 P的相位

分析：解決波動的題常規(guī)方法是利用質(zhì)點(diǎn)的振動情況畫出波形圖，再根據(jù)波形圖判斷質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況，但是本題質(zhì)點(diǎn)所處的位置既不是最大位移也不是最小位移，通過畫波形求出答案難度較大.不妨嘗試通過旋轉(zhuǎn)矢量法來分析.

圖4

A．上方且向上運(yùn)動

B．上方且向下運(yùn)動

C．下方且向上運(yùn)動

D．下方且向下運(yùn)動

圖5

通過上述3例不難發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)矢量法在解決振動或波動問題時，的確有獨(dú)到之處.在高中階段，振動一般不要求作復(fù)雜的定量計(jì)算.但在物理競賽和自主招生試題中可能就會出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算，這時旋轉(zhuǎn)矢量法更是能體現(xiàn)其簡便.旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，其實(shí)凡是按正余弦變化的量都可以進(jìn)行矢量化，都可以讓問題在直觀的圖形中解決.

參 考 文 獻(xiàn)

1漆安慎，杜嬋英．力學(xué)．北京：高等教育出版社，1997.265