不確定性平差模型的平差準(zhǔn)則與解算方法

宋迎春，謝雪梅，陳曉林

中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083

Adjustment Criterion and Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty

SONG Yingchun,XIE Xuemei,CHEN Xiaolin

School of Geosciences and Info-Physics，Central South University，Changsha 410083, China

Foundation support： Open Research Fund of State Key Laboratory of Geography Information Engineering(No.SKLGIE 2013-M-2-5)；China Postdoctoral Science Foundation(No.2013M540641)

不確定性平差模型的平差準(zhǔn)則與解算方法

宋迎春，謝雪梅，陳曉林

中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083

Adjustment Criterion and Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty

SONG Yingchun,XIE Xuemei,CHEN Xiaolin

School of Geosciences and Info-Physics，Central South University，Changsha 410083, China

Foundation support： Open Research Fund of State Key Laboratory of Geography Information Engineering(No.SKLGIE 2013-M-2-5)；China Postdoctoral Science Foundation(No.2013M540641)

摘要：在測量數(shù)據(jù)的獲取過程中，經(jīng)常存在著不確定性，它們影響著參數(shù)估計(jì)的可靠性。本文通過把不確定度作為參數(shù)融入函數(shù)模型，建立了不確定性平差模型。依據(jù)殘差中不確定性傳播規(guī)律，確定了殘差最大不確定度達(dá)到最小的平差準(zhǔn)則，利用迭代算法得到了不確定性平差模型的解算方法。通過實(shí)例分析了最小二乘平差、整體最小二乘平差和不確定性平差準(zhǔn)則下最優(yōu)解的不同特點(diǎn)，從另一個(gè)角度探討了不確定性觀測數(shù)據(jù)處理方法，推廣了現(xiàn)有的誤差理論。

關(guān)鍵詞：不確定度；平差準(zhǔn)則；殘差；整體最小二乘平差；平差模型

1引言

不確定性是一種廣義的誤差，是不精確性、模糊性、不明確性等概念的總稱，它包含數(shù)值和概念的誤差，也包含可度量和不可度量誤差，它比一般的誤差范圍要廣，如屬性不確定性、模糊不確定性等[1-3]。它有時(shí)具有隨機(jī)性，且統(tǒng)計(jì)性質(zhì)明顯；有時(shí)沒有隨機(jī)性，僅是一個(gè)模糊數(shù)。不確定度是不確定性的度量，是用于表達(dá)測量結(jié)果質(zhì)量優(yōu)劣的一個(gè)指標(biāo)，它可以用方差、均方差、誤差區(qū)間、誤差橢圓、誤差橢球表示[4-5]。測量數(shù)據(jù)的不確定性不再是一個(gè)具體數(shù)值，有時(shí)僅知道它們各自在一定的實(shí)數(shù)區(qū)間內(nèi)變動(dòng)，有時(shí)僅是一個(gè)模糊數(shù)，這給測量平差數(shù)據(jù)處理帶來了困難，現(xiàn)有算法理論還無法抑制這些不確定性因素的影響，要提高參數(shù)估計(jì)的可靠性需要針對(duì)不確定性建立新的平差準(zhǔn)則，研究不確定度傳播規(guī)律以及觀測數(shù)據(jù)中去除不確定性因素的平差方法。在測繪數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，應(yīng)用不確定度理論，研究不確定度評(píng)定方法，尋找減小不確定度的算法等已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)[6-11]。文獻(xiàn)[12—14]對(duì)測量不確定度理論進(jìn)行了研究，拓展了測量平差數(shù)據(jù)處理的理論與方法。整體平差算法也可以看成是對(duì)于不確定性平差算法的一種探索，它在一定程度上減弱了不確定性因素的影響[15-18]，然而，由于不確定性的統(tǒng)計(jì)信息(如均值和方差等)和概率分布函數(shù)無法確定，人為地確定它們的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)本身就在增加新的不確定性，從而影響狀態(tài)參數(shù)估計(jì)的可靠性[19-20]。利用先驗(yàn)信息來抑制不確定性是不確定性觀測數(shù)據(jù)平差的有效方法，但是，測繪工程中先驗(yàn)信息的獲取一般是比較困難的，計(jì)算也比較復(fù)雜，更重要的是，許多先驗(yàn)信息本身也只是一種不確定性的描述，如參數(shù)的可行區(qū)間、有界噪聲、噪聲方差的范圍等。本文從另一個(gè)角度來研究不確定性測量數(shù)據(jù)的平差問題，直接將不確定度作為一個(gè)參數(shù)融入函數(shù)模型中，建立了一種新的針對(duì)不確定性的平差準(zhǔn)則，在算法中對(duì)不確定度進(jìn)行抑制。

2不確定性平差模型

平差模型為

L=AX+e

(1)

更一般的，可以用2-范數(shù)的形式來描述觀測向量和系數(shù)矩陣的不確定性

(2)

為進(jìn)一步說明A、L的不確定性，在圖1中，分別以A、L為圓心，α和β為半徑的圓來描述描述A和L的不確定性，α和β可以看成是A、L的不確定性的一種度量，稱之為A、L的不確定度。

圖1　A、L不確定性的圖示Fig.1　Diagram about uncertain of A、L

在平差模型中融入不確定度參數(shù)α和β，可得不確定性平差模型

(3)

不確定性平差模型不同于普通的平差模型，也不同于整體平差模型。在不確定性平差模型中，設(shè)計(jì)矩陣A和觀測向量L分別受到范數(shù)有界的ΔA和ΔL的干擾，而它們的界α和β是已知的，即設(shè)計(jì)矩陣A和觀測向量L的不確定度是已知的。在整體平差模型中，A和L的不確定性ΔA和ΔL是無界的，即A和L的不確定度是未知的。普通的平差模型中，A沒有不確定性(ΔA=0)，ΔL的不確定性未知。整體最小二乘平差的準(zhǔn)則是

(4)

式中，vec(ΔA)為矩陣ΔA的拉直向量。由于在這個(gè)平差準(zhǔn)則中既要顧及觀測誤差又要顧及系數(shù)矩陣的誤差，總體上雖然考慮了A和L的不確定性問題，但是，容易出現(xiàn)對(duì)A的過度校正，例如A的不確定度非常小，而L的不確定度較大時(shí)就會(huì)因?yàn)閷?duì)A進(jìn)行過度校正，從而使得A變成有較大的不確定性(本文后面的實(shí)例就是這一情形)。特別是在已知ΔA和ΔL的界的時(shí)候，在采用總體最小二乘平差時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)越界的情形與先驗(yàn)信息不符。

利用ΔA和ΔL的先驗(yàn)信息(不確定度)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，或者說是在有界的不確定性誤差情況下，進(jìn)行平差解算是測量平差數(shù)據(jù)處理的一種新的探索，在給定的有界區(qū)間內(nèi)，尋找參數(shù)解更符合實(shí)際。為了尋找一種新的針對(duì)有界不確定性觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行平差，筆者建立下面的min-max平差準(zhǔn)則，即讓殘差中的最大不確定性達(dá)到最小，從而使得參數(shù)解中的不確定性達(dá)到最小化，即

(5)

式(5)可以稱之為不確定性min-max平差準(zhǔn)則。

3殘差中最大不確定度的幾何意義

本文使用和文獻(xiàn)[20]類似的方法來說明殘差中最大不確定度的幾何意義。設(shè)簡單不確定性平差模型為

(6)

從B向OM作垂線BE，交OC于D點(diǎn)，以D為圓心，DE為半徑作圓D，同樣圓D也對(duì)應(yīng)模型(6)的一個(gè)參數(shù)解，這時(shí)最大的不確定度為BE的長度r1，從圖形可以看出r1

圖2　殘差最大不確定度幾何意義　Fig.2　Geometric meaning of the maximum possible uncertainty in residual

圖3　最小的殘差最大不確定度Fig.3　The minimized maximum possible uncertainty in residual

圖4　非0參數(shù)解的幾何意義Fig.4　Geometric meaning of non-zero-parameter solution

上面的分析中假設(shè)觀測向量l中不存在不確定性，當(dāng)觀測向量l存在不確定性時(shí)也可以得到相應(yīng)的幾何解釋。

4不確定性平差模型的解算

利用范數(shù)的性質(zhì)，有

(7)

對(duì)于給定的A的不確定度α和給定的L的不確定度β，若令

(8)

(9)

由式(7)和式(9)可知

(10)

根據(jù)式(5)和式(10)，不確定性min-max平差準(zhǔn)則可以轉(zhuǎn)換成另一形式的平差準(zhǔn)則

(11)

(12)

(13)

式中，μ為一正實(shí)數(shù)，它的值由下式確定

(14)

(15)

(16)

式中，U是m階正交矩陣；V是n階正交矩陣；Σ表示為

(17)

式中，λi(i=1,2,…,n)為A的奇異值。對(duì)UTL進(jìn)行分塊，令

(18)

此處，L1為n維向量；L2為m-n維向量。由式(15)可知

(19)

因此

(20)

而

所以

(21)

由式(14)、式(20)和式(21)可得

(22)

利用式(22)求μ通常比較復(fù)雜，由于式(22)的右邊也含有μ，可以使用迭代法進(jìn)行求解，下面分析使用式(22)迭代求解μ的迭代收斂性問題。對(duì)φ(μ)求導(dǎo)，并顧及式(17)和式(22),有

因?yàn)樯鲜降姆嚼ㄌ?hào)中是一個(gè)正數(shù)，所以有

(23)

(24)

由式(23)和式(24)可得

(25)

5不確定性平差模型解算和分析

表1　仿真數(shù)據(jù)

由上面產(chǎn)生的數(shù)據(jù)序列來生成觀測向量L=[l1l2l3l4l5l6]T和設(shè)計(jì)矩陣A=[a1a2a3a4a5a6]T，其中，ai=xi-Δxi，li=yi-Δyi(見表2)，并建立不確定性平差模型

式中，X為參數(shù)向量；ΔA=[Δa1Δa2Δa3Δa4Δa5Δa6]T、ΔL=[Δl1Δl2Δl3Δl4Δl5Δl6]T是未知的不確定性誤差(雖然從仿真數(shù)據(jù)中已得知ΔA=ΔX、ΔL=ΔY，但算法認(rèn)為它們是未知的)。

表2　觀測數(shù)據(jù)序列

-0.00490.2292]T

-0.02961.3753]T

0.3208

最小二乘平差解

使用文獻(xiàn)[15]的總體最小二乘(TLS)算法，可以得到總體最小二乘平差解

由上面的計(jì)算結(jié)果可得如下結(jié)論：

圖5　最小二乘平差方法Fig.5　Least squares adjustment method

圖6　整體平差方法Fig.6　Total least squares adjustment method

圖7　不確定性平差方法Fig.7　Adjustment method with uncertainty

6結(jié)論

在測量數(shù)據(jù)的獲取過程中，經(jīng)常存在著不確定性，它們影響著參數(shù)估計(jì)的可靠性。目前的測量平差方法是基于“觀測值的不確定性就是隨機(jī)性”這一基本假設(shè)的，實(shí)際測量工程中有許多不同于隨機(jī)誤差的不確定性因素，它們影響著參數(shù)估計(jì)的可靠性。擴(kuò)展誤差理論與測量平差方法處理測量數(shù)據(jù)中的不確定度，必須對(duì)觀測中不確定性因素進(jìn)行數(shù)值化、參數(shù)化，把它們?nèi)谌肫讲钅Ｐ椭?，這需要有理論和方法上的突破。本文通過建立不確定性平差模型，把不確定度作為參數(shù)融入函數(shù)模型中，利用殘差中不確定性傳播規(guī)律，建立了一種基于殘差最大不確定度達(dá)到最小的平差準(zhǔn)則，并用迭代算法得到了不確定性平差模型的解算方法。通過實(shí)例分析了最小二乘平差、整體最小二乘平差和不確定性平差準(zhǔn)則下的最優(yōu)解的不同特點(diǎn)。

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

修回日期： 2014-10-27

First author： SONG Yingchun(1963—)，male，professor,PhD,majors in surveying adjustment and data processing.

E-mail： csusyc@csu.edu.cn

中圖分類號(hào)：P207

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-1595(2015)02-0135-07

基金項(xiàng)目：地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(SKLGIE2013-M-2-5)；中國博士后科學(xué)基金(2013M540641)

收稿日期：2014-03-21

第一作者簡介：宋迎春(1963—)，男，教授，博士，研究方向?yàn)闇y量平差與數(shù)據(jù)處理。

Abstract：Uncertainty often exists in the process of obtaining measurement data, which affects the reliability of parameter estimation. This paper establishes a new adjustment model in which uncertainty is incorporated into the function model as a parameter. A new adjustment criterion and its iterative algorithm are given based on uncertainty propagation law in the residual error, in which the maximum possible uncertainty is minimized. This paper also analyzes, with examples, the different adjustment criteria and features of optimal solutions about the least-squares adjustment, the uncertainty adjustment and total least-squares adjustment. Existing error theory is extended with new observational data processing method about uncertainty.

Key words：uncertainty；adjustment criterion；residual error；total least-squares adjustment；adjustment model

引文格式：SONG Yingchun, XIE Xuemei, CHEN Xiaolin.Adjustment Criterion and Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2015,44(2):135-141.(宋迎春，謝雪梅，陳曉林. 不確定性平差模型的平差準(zhǔn)則與解算方法[J].測繪學(xué)報(bào)，2015,44(2)：135-141.) DOI:10.11947/j.AGCS.2015.20130213