多維VG過(guò)程下的一籃子期權(quán)定價(jià)

杜子平　邱虹

【摘 要】 一籃子期權(quán)屬于多標(biāo)的資產(chǎn)的一個(gè)投資組合期權(quán)。由于不能明確地知道股票間的相依結(jié)構(gòu)，因此一籃子期權(quán)的定價(jià)結(jié)果需要采用逼近或者通過(guò)Monte Carlo數(shù)值仿真的方法獲得。經(jīng)典的Black & Scholes模型不能描述對(duì)數(shù)收益率“尖峰厚尾”等特征，而Variance Gamma（VG）過(guò)程卻能很好地?cái)M合觀測(cè)到的對(duì)數(shù)收益率。文章提出了一種在多維VG過(guò)程下的一籃子期權(quán)的定價(jià)方法。一籃子中的股票價(jià)格是由帶有共同Gamma從屬因子的變時(shí)幾何布朗運(yùn)動(dòng)構(gòu)造的。選取德國(guó)DAX指數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明多維VG過(guò)程可以很好地匹配德國(guó)DAX指數(shù)的市場(chǎng)觀測(cè)值。

【關(guān)鍵詞】 一籃子期權(quán)； Lvy過(guò)程； 多維VG過(guò)程

中圖分類號(hào)：F831.59 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1004-5937（2015）23-0064-05

一、引言

如今，多資產(chǎn)衍生品的交易量日益增多，一籃子期權(quán)就是金融市場(chǎng)上一類新型的多資產(chǎn)期權(quán)，是多標(biāo)的資產(chǎn)的一種投資組合，經(jīng)常用來(lái)對(duì)一籃子資產(chǎn)進(jìn)行套期保值，其收益是由一籃子標(biāo)的資產(chǎn)的加權(quán)算術(shù)平均價(jià)格來(lái)決定，并且比單一資產(chǎn)進(jìn)行投資組合所花的費(fèi)用更少。由于投資者追求風(fēng)險(xiǎn)最小化，故對(duì)這種投資組合分散化的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)研究有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

1973年Black & Scholes提出了經(jīng)典的期權(quán)定價(jià)理論，同年Merton利用偏微分方程求解期權(quán)定價(jià)公式的解。其假定標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，此種方法給出了封閉形式下的vanilla期權(quán)定價(jià)公式。但現(xiàn)實(shí)中的金融市場(chǎng)可能由于突發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)、國(guó)家發(fā)生政治經(jīng)濟(jì)等政策變化、人為投機(jī)事件以及投資者心理變化導(dǎo)致金融市場(chǎng)發(fā)生跳躍現(xiàn)象，使得金融時(shí)間序列呈現(xiàn)“尖峰厚尾”非高斯、非對(duì)稱的特征。故Black & Scholes模型（下文簡(jiǎn)稱B-S模型）出現(xiàn)“波動(dòng)率微笑”定價(jià)偏差。因此本文引進(jìn)一個(gè)更加靈活的Lvy過(guò)程來(lái)描述金融市場(chǎng)的信息。

國(guó)內(nèi)方面，奚煒（2003）在期權(quán)定價(jià)解析解的基礎(chǔ)上，用恒生指數(shù)期權(quán)進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)果顯示VG期權(quán)定價(jià)模型比傳統(tǒng)的B-S模型更能準(zhǔn)確地描述金融市場(chǎng)，是一種理想的改進(jìn)模型。劉國(guó)光等（2006）通過(guò)Lvy過(guò)程中的NIG模型和VG模型對(duì)中國(guó)市場(chǎng)中的滬深股指收益分布特征與國(guó)外主要的股市股指收益分布特征進(jìn)行擬合對(duì)比分析。劉志東等（2010）利用標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)、上證綜指、恒生指數(shù)，在不同Lvy過(guò)程下進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并給出符合現(xiàn)實(shí)環(huán)境的解釋。

基于當(dāng)前的研究現(xiàn)狀，本文利用多維VG過(guò)程對(duì)一籃子期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并通過(guò)德國(guó)DAX指數(shù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

二、模型

（一）B-S模型

1973年，金融學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重大突破是由學(xué)者Fischer Black和Myron Scholes利用連續(xù)時(shí)間數(shù)學(xué)發(fā)展出看漲期權(quán)定價(jià)模型。他們發(fā)表了《期權(quán)定價(jià)與公司債務(wù)》（The pricing of option and corporate liabilities）。該模型對(duì)交易員定價(jià)和對(duì)沖期權(quán)的方式產(chǎn)生了極大影響，也對(duì)過(guò)去20年金融工程的發(fā)展和成功起了關(guān)鍵性作用。1997年，Myron Scholes和Robert Merton被授予諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。令人惋惜的是，F(xiàn)ischer Black在1995年去世，否則他無(wú)疑也是該獎(jiǎng)項(xiàng)的獲得者之一。

B-S期權(quán)定價(jià)公式，即無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為：

C=P×Nr（YA）-Se-Rft×Nr（YB）

其中：YA=[In（P/S）+Rft+σ2 t/2]σt1/2

YB=[In（P/S）+Rft-σ2 t/2]σt1/2

式中，Rf為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（投資者可通過(guò)購(gòu)買無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)的政府債券獲得），與期權(quán)價(jià)格正相關(guān)；P是標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)行市場(chǎng)價(jià)值（價(jià)格），與期權(quán)價(jià)格正相關(guān)；σ表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值的波動(dòng)程度，由收益率的方差（σ2）或標(biāo)準(zhǔn)差（σ）來(lái)測(cè)度，與期權(quán)價(jià)格正相關(guān)；S是期權(quán)合約的行權(quán)價(jià)格，與期權(quán)價(jià)格負(fù)相關(guān)；t為期權(quán)到期日距離現(xiàn)在的時(shí)間長(zhǎng)度，與期權(quán)價(jià)格正相關(guān)。In代表以e為底的對(duì)數(shù)運(yùn)算，而Nr代表正態(tài)累積概率密度函數(shù)，測(cè)度正態(tài)分布隨機(jī)變量等于或小于Y的概率。

B-S模型是在有效市場(chǎng)的假說(shuō)下，假定一個(gè)連續(xù)變化的資產(chǎn)價(jià)格在未來(lái)任何時(shí)刻都服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。也就是，其假定資產(chǎn)的價(jià)格服從布朗運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)過(guò)程。由于對(duì)數(shù)正態(tài)分布本身有完美的數(shù)學(xué)特征：均值和方差可唯一確定分布函數(shù)，同時(shí)還具有可加性，因此標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布在資產(chǎn)定價(jià)中廣泛使用。然而，更多的實(shí)證分析可得，資產(chǎn)收益率的經(jīng)驗(yàn)分布是“尖峰厚尾”，這是由于金融市場(chǎng)中某些特殊事件引發(fā)不正常的突發(fā)事件。Lvy過(guò)程以法國(guó)數(shù)學(xué)家Paul Lvy命名，因其假設(shè)條件相對(duì)比較寬松，能同時(shí)描述連續(xù)和跳躍過(guò)程，故筆者引入其來(lái)描述標(biāo)的資產(chǎn)的“尖峰厚尾”和“非對(duì)稱”特征，更加符合現(xiàn)實(shí)結(jié)論。

（二）VG過(guò)程

Merton（1976）建立了跳—擴(kuò)散模型，Kou（2002）提出了一種可以替代Merton模型的雙指數(shù)跳躍模型（Kou Model），這兩個(gè)模型都是有限活動(dòng)Lvy過(guò)程。Kou模型相比Merton模型的優(yōu)勢(shì)在于，具有指數(shù)隨機(jī)變量的無(wú)記憶特性。以下為無(wú)限活動(dòng)純跳躍Lvy過(guò)程：Madan & Seneta（1990）研究了澳大利亞股票市場(chǎng)的數(shù)據(jù)，提出了VG過(guò)程；Barndoff-Nielsen（1997）建立了正態(tài)逆高斯模型（Normal Inverse Gaussian Processes，NIG過(guò)程）為主要代表的廣義雙曲線過(guò)程（Generlized Hyperbolic）；Schoutens & Teugels（1998）在文獻(xiàn)中介紹了Meixner過(guò)程。Carr（2002）等提出的CGMY模型是以Carr、Geman、Madan和Yor命名的，許多學(xué)者也將此分布族稱為KoBoL族。Rachev（2005）、Rosiski（2007）研究發(fā)現(xiàn)帶跳的金融市場(chǎng)，資產(chǎn)收益率尾部往往是在正態(tài)分布和穩(wěn)態(tài)分布之間，因此修正了穩(wěn)態(tài)分布，建立了高效的調(diào)和穩(wěn)態(tài)Lvy過(guò)程（tempered stable processes）。其中VG過(guò)程和CGMY模型都是調(diào)和穩(wěn)態(tài)Lvy過(guò)程的特例。

Madan & Seneta（1990）提出了VG過(guò)程，其作為股票收益率的一種來(lái)構(gòu)建對(duì)數(shù)定價(jià)模型。這種模型的選擇是在研究澳大利亞股票市場(chǎng)的數(shù)據(jù)時(shí)得出的。它是以Gamma過(guò)程為從屬過(guò)程進(jìn)行累加驅(qū)動(dòng)的，通過(guò)變時(shí)后作用于標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)而得到新的布朗運(yùn)動(dòng)，且Gamma過(guò)程是無(wú)限可分的。

VG過(guò)程是金融領(lǐng)域中使用最廣泛的一種Lvy過(guò)程，也稱為貝塞爾函數(shù)分布（Bessel function distribution），是典型的無(wú)限純跳過(guò)程。利用偏度（skewness）和峰度（kurtosis）來(lái)描述厭惡風(fēng)險(xiǎn)的程度和厚尾分布等特征。VG過(guò)程的特征三元組為（σ，？自，？茲），分別表示布朗運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)率、Gamma過(guò)程在任意時(shí)刻變化的方差率以及布朗運(yùn)動(dòng)的線性漂移率。

VG過(guò)程的定義如下：

假定正態(tài)分布下，股票j的隱波動(dòng)率記為σBLSj ，在VG模型下，VG隱波動(dòng)率記為σVGj ，j=1，2，…，n。圖2對(duì)B-S模型、VG模型和德國(guó)DAX指數(shù)交易的市場(chǎng)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，可以觀察到相比B-S模型，VG過(guò)程更能準(zhǔn)確地捕捉到德國(guó)DAX指數(shù)分量的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)。

四、結(jié)論

經(jīng)典的B-S模型是在完備市場(chǎng)下，假定一個(gè)連續(xù)變化的資產(chǎn)價(jià)格在未來(lái)任何時(shí)刻都服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即假定資產(chǎn)的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，但更多的實(shí)證分析表明，金融市場(chǎng)存在著跳躍，資產(chǎn)收益率具有“尖峰厚尾”“波動(dòng)聚集”“杠桿效應(yīng)”等特征，而B(niǎo)-S模型不能對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確描述。Lvy過(guò)程具有左極限右連續(xù)性質(zhì)，能夠描述數(shù)據(jù)分布的跳躍與偏峰特點(diǎn)，能夠用小跳躍代替連續(xù)擴(kuò)散。由于籃子資產(chǎn)間復(fù)雜的相依結(jié)構(gòu)，使得一籃子期權(quán)在定價(jià)效率和精度上仍存在很大困難，故本文利用Lvy過(guò)程中接受度較高的VG過(guò)程，給出了一籃子期權(quán)在多維VG過(guò)程下的定價(jià)方法，并通過(guò)德國(guó)DAX指數(shù)作為現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明相比B-S模型，多維VG過(guò)程更能準(zhǔn)確地?cái)M合德國(guó)DAX指數(shù)期權(quán)，在期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域具有優(yōu)越性。

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