擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪實(shí)際齒面接觸分析

擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪實(shí)際齒面接觸分析*

杜進(jìn)輔1方宗德1高洪彪2張永振1趙國(guó)銳2

(1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院， 陜西 西安 710072;

2.中國(guó)第一汽車(chē)股份有限公司技術(shù)中心， 吉林 長(zhǎng)春 130011)

摘要：為評(píng)估已加工的擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪的嚙合質(zhì)量，基于實(shí)測(cè)齒面坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)，用非均勻有理B樣條(NURBS)曲面擬合離散點(diǎn)得到高度逼近真實(shí)齒面的數(shù)字化齒面，并依據(jù)空間嚙合理論進(jìn)行了數(shù)字化齒面的輪齒接觸分析(TCA).與傳統(tǒng)的滾檢試驗(yàn)相比，該方法在獲得實(shí)際齒面接觸印痕的同時(shí)還可以獲得傳動(dòng)誤差曲線，比較全面地反映了實(shí)際齒面的嚙合信息.最后通過(guò)比較某高速車(chē)橋齒輪副數(shù)字化齒面TCA與滾檢試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了文中方法的可行性.

關(guān)鍵詞：擺線齒；準(zhǔn)雙曲面齒輪；輪齒接觸分析；非均勻有理B樣條

中圖分類號(hào)：TH132.41

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2015.03.006

文章編號(hào)：1000-565X(2015)03-0041-08

收稿日期：2014-09-17

基金項(xiàng)目：* 國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305408, 51275180)；河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15A460029)

作者簡(jiǎn)介：賀占蜀(1985-),男, 博士,副教授,主要從事先進(jìn)制造與精密加工研究. E-mail: hezhanshu@qq.com

延伸外擺線等高齒(擺線齒)準(zhǔn)雙曲面齒輪廣泛應(yīng)用于轎車(chē)以及客車(chē)的后橋中，具有加工效率高、運(yùn)行平穩(wěn)、強(qiáng)度高等優(yōu)點(diǎn)[1-2].近年來(lái)，隨著我國(guó)汽車(chē)工業(yè)的高速發(fā)展以及與歐美汽車(chē)企業(yè)的合作日益密切，先進(jìn)的后橋擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪加工工藝以及成套的加工、測(cè)量、磨刀、調(diào)刀設(shè)備逐步被引進(jìn)到國(guó)內(nèi)大型汽車(chē)企業(yè)，如一汽、中國(guó)重汽等.擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，對(duì)其進(jìn)行接觸仿真、振動(dòng)和強(qiáng)度性能分析具有重要意義，而基于高精度齒面的輪齒接觸分析則是后續(xù)動(dòng)力學(xué)特性和應(yīng)力分析的基礎(chǔ).

輪齒接觸分析(TCA)技術(shù)近年來(lái)有了較大發(fā)展[3-5].在切齒之前根據(jù)理論齒面的TCA評(píng)估嚙合性能并據(jù)此修正加工參數(shù)，而后完成切齒再以實(shí)際齒面的滾檢試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證嚙合質(zhì)量.但是滾檢試驗(yàn)只能獲得實(shí)際齒面的嚙合印痕，而沒(méi)有反映傳動(dòng)誤差信息.大量研究已表明，傳動(dòng)誤差直接影響齒輪副的動(dòng)態(tài)性能，是導(dǎo)致振動(dòng)和噪聲的重要原因.因此如何全面地反映實(shí)際齒面的嚙合性能顯得尤為重要.

隨著高性能齒輪測(cè)量中心的出現(xiàn)，復(fù)雜齒面的設(shè)計(jì)和檢測(cè)走向數(shù)字化.王小椿等[6]用差曲面描述三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的實(shí)際齒面與理論齒面的偏差，并提出了一種利用差曲面特征參數(shù)修正機(jī)床調(diào)整參數(shù)的方法.Zhang等[7]將理論齒面和誤差曲面疊加獲得了圓弧漸縮齒準(zhǔn)雙曲面齒輪的真實(shí)齒面.蔣進(jìn)科等[8]用同樣方法進(jìn)行了修形斜齒輪實(shí)際齒面接觸分析，但通過(guò)理論齒面和擬合所得的誤差面疊加來(lái)表示實(shí)際齒面的計(jì)算過(guò)程繁瑣，且最終還是沒(méi)能脫離理論齒面.蘇智劍等[9]通過(guò)仿真程序計(jì)算得到準(zhǔn)雙曲面齒輪離散的齒面點(diǎn)，然后用非均勻有理B樣條(NURBS)擬合得到齒面.汪中厚等[10]提出了基于掃描式齒面測(cè)量的數(shù)字化真實(shí)齒面構(gòu)建方法.張軍輝等[11]研究了航空弧齒錐齒輪真實(shí)齒面的數(shù)字化仿真.但針對(duì)擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪實(shí)測(cè)齒面點(diǎn)的擬合以及實(shí)際齒面TCA的研究卻鮮有報(bào)道.

為此，文中基于齒輪測(cè)量中心測(cè)得的擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，用二階連續(xù)的雙三次NURBS曲面擬合得到高度逼近真實(shí)齒面的數(shù)字化齒面，并依據(jù)空間嚙合理論對(duì)其進(jìn)行輪齒接觸分析，獲得了實(shí)際齒面的接觸印痕以及傳動(dòng)誤差，全面地反映了實(shí)際齒面的嚙合信息.

1齒面測(cè)點(diǎn)的分布

運(yùn)用齒輪測(cè)量中心進(jìn)行齒面測(cè)量時(shí)，測(cè)點(diǎn)的分布直接影響后續(xù)齒面擬合的精度：測(cè)點(diǎn)越密，擬合精度越高，但用時(shí)過(guò)長(zhǎng)卻又影響效率.格里森公司的經(jīng)驗(yàn)是一般取45個(gè)測(cè)點(diǎn)，即齒高方向5個(gè)，齒長(zhǎng)方向9個(gè).文中采用克林貝格公司的P65齒輪測(cè)量中心，選取225個(gè)測(cè)點(diǎn)，即齒長(zhǎng)和齒高方向各15個(gè)，如圖1所示，e表示齒高方向，f表示齒長(zhǎng)方向.

圖1　測(cè)點(diǎn)分布圖 Fig.1　Distribution diagram of measuring points

2實(shí)際齒面的NURBS表示

二階連續(xù)的雙三次NURBS曲面表達(dá)式s(e,f)可寫(xiě)成如下形式[12]：

(1)

式中：m、n分別為e、f向的控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)；Pi,j為曲面的控制頂點(diǎn)；Wi,j為Pi,j的權(quán)因子，文中各點(diǎn)取相同值；Ni,3、Nj,3分別為e、f向的三次B樣條基函數(shù).

根據(jù)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)先由e(f)向計(jì)算得到各條NURBS曲線的控制頂點(diǎn)，再以求得的控制頂點(diǎn)作為新的型值點(diǎn)沿f(e)向計(jì)算，得到所有NURBS曲面的控制定點(diǎn)，帶入式(1)即可獲得雙三次NURBS曲面.從齒輪測(cè)量中心獲得的齒面數(shù)據(jù)通常不在邊界上，通過(guò)對(duì)外插值，可以將數(shù)據(jù)延伸到齒面有效邊界，這對(duì)反算的控制矩陣影響很小，因此可以保證齒面接觸分析的精度.

根據(jù)上面方法，以某高速車(chē)橋齒輪副為例(基本參數(shù)見(jiàn)表1)，獲得工作面(小輪凹面，大輪凸面)的雙三次NURBS曲面及其控制頂點(diǎn)網(wǎng)格如圖2和圖3所示，非工作面(小輪凸面、大輪凹面)用同樣方法獲得.

表1齒輪副基本參數(shù)Table1Basicparametersofgearpair

參數(shù)右旋大輪(凸面)左旋小輪(凹面)軸交角/()9090偏置距/mm2222參考點(diǎn)法向模數(shù)/mm3.2513.251齒數(shù)399齒寬/mm2831.53分錐角/()72.02617.325參考點(diǎn)螺旋角/()49.99734.046參考點(diǎn)分度圓半徑/mm76.50022.756

( a) NURBS曲面　　　　　　　( b)控制網(wǎng)格

( a) NURBS曲面　　　　　　　( b)控制網(wǎng)格

最后經(jīng)過(guò)插值反算得到逼近實(shí)際齒面的數(shù)字化齒面：

Ri=Ri(ui,vi),i=1,2

(2)

式中：1表示小輪；2表示大輪；u、v為曲面參數(shù).

獲得如式(2)所示數(shù)字化齒面之后，即可計(jì)算得到各點(diǎn)的位矢、法矢、切矢、主曲率和主方向，為實(shí)際齒面的TCA做好準(zhǔn)備.

由于NURBS曲面為構(gòu)造齒面，構(gòu)造齒面上各點(diǎn)除控制頂點(diǎn)外，其他位置均由擬合算法計(jì)算所得，因此必須對(duì)NURBS擬合精度進(jìn)行驗(yàn)證，步驟如下：

(1)按上述同樣規(guī)律在相同范圍內(nèi)取其理論齒面上15×15個(gè)點(diǎn)，擬合得到理論齒面的數(shù)字化齒面；

(2)求出理論齒面上所取15×15個(gè)點(diǎn)中所有相鄰4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的最小曲面片的中點(diǎn)(14×14個(gè)點(diǎn))；

(3)計(jì)算理論齒面上這些中點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)的數(shù)字化齒面上的點(diǎn)的法向距離，其中最大法向距離即為最大擬合誤差；

(4)取每列法向距離中的最大值繪制曲線，結(jié)果如圖4所示.

圖4　擬合誤差曲線 Fig.4　Curves of fitting error

可見(jiàn)小輪擬合誤差較大，但大小輪最大擬合誤差均不超過(guò)0.1μm，因此可以用擬合得到的數(shù)值化齒面代替實(shí)際齒面進(jìn)行TCA.

3實(shí)際齒面接觸分析

如圖5所示，兩配對(duì)實(shí)際齒面的位矢、法矢以及切矢分別位于固定于小輪和大輪的坐標(biāo)系S1、S2中，H1、H2分別為小輪和大輪的軸向裝配距離，Σ為軸交角，V為小輪偏置距.通過(guò)坐標(biāo)變換，將其表示在機(jī)床坐標(biāo)系Ss中：

(3)

(4)

圖5　擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合坐標(biāo)系 Fig.5　Mesh coordinates of cycloid tooth hypoid gear

式中，r、n、t分別為位矢、法矢和切矢，φ1、φ2分別為小輪和大輪轉(zhuǎn)角，Ms1、Ms2為坐標(biāo)系Si(i=1,2)到機(jī)床坐標(biāo)系Ss的轉(zhuǎn)換矩陣,Ls1、Ls2分別為Ms1、Ms2的左上角3×3子矩陣.Sp、Sq、Sr為輔助坐標(biāo)系.

實(shí)際齒面的TCA是求解兩配對(duì)齒面在接觸點(diǎn)處位矢和法矢所滿足的如下方程組[13]：

(5)

(6)

或

(7)

ns(i)×ts(i)和ts(i)(i=1,2)是大小輪切平面內(nèi)兩相互垂直的向量.方程組(6)或(7)包含5個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程，6個(gè)未知量，以小輪旋轉(zhuǎn)角度φ1為輸入，則方程組得解；不同的φ1對(duì)應(yīng)不同的嚙合位置,在數(shù)字化齒面有效邊界內(nèi)所求得的所有瞬時(shí)接觸點(diǎn)即構(gòu)成齒面接觸軌跡.其傳動(dòng)誤差ΔE可由下式計(jì)算得出：

(8)

式中，φ10、φ20分別為小輪和大輪在參考點(diǎn)嚙合時(shí)的初始轉(zhuǎn)角，Z1、Z2分別為小、大輪齒數(shù).

4算例與試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證文中方法，仍以上面某高速車(chē)橋齒輪副為例，基本參數(shù)如表1所示，用奧利康C28數(shù)控(CNC)銑齒機(jī)進(jìn)行加工，如圖6所示，經(jīng)過(guò)熱后研齒，用克林貝格P65齒輪測(cè)量中心進(jìn)行齒面測(cè)量(如圖7所示)，得到的大輪和小輪的測(cè)量齒面相對(duì)于理論齒面的誤差如圖8和圖9所示.

圖6　C28數(shù)控銑齒機(jī) Fig.6　C28 CNC milling machine

圖7　大輪齒面測(cè)量 Fig.7　Measurement of tooth surface

圖8　大輪測(cè)量齒面相對(duì)于理論齒面的誤差 Fig 8　Deviations between measurement and theoretical gear tooth surface

圖9　小輪測(cè)量齒面相對(duì)于理論齒面的誤差 Fig.9　Deviations between measurement and theoretical pinion-tooth surface

按照前文方法，將測(cè)量獲得的實(shí)際齒面離散點(diǎn)擬合成雙三次NURBS曲面，進(jìn)行數(shù)字化齒面TCA，(研磨齒面取彈性變形量δ為0.00381mm[14])，得到齒面的接觸印痕和傳動(dòng)誤差如圖10所示.可見(jiàn)大輪凸面接觸區(qū)分布在齒寬方向32.4%～74.9%，凹面接觸區(qū)分布在齒寬方向27.4%～66.3%，齒高方向分布在齒頂與齒根過(guò)渡線之間，凸面印痕較凹面稍寬且接觸跡線傾斜較大.將實(shí)際齒輪副在滾檢機(jī)上進(jìn)行滾檢試驗(yàn)(如圖11所示)，得到滾檢印痕如圖12

( a)大輪凸面接觸印痕

( b)大輪凹面接觸印痕

( c)工作面?zhèn)鲃?dòng)誤差

( d)非工作面?zhèn)鲃?dòng)誤差

所示，可見(jiàn)兩面接觸區(qū)位置均分布在齒寬中部1/3區(qū)域，凸面接觸區(qū)較傾斜且較凹面寬，兩面滾檢印痕的形狀與仿真分析結(jié)果也基本一致.故認(rèn)為本方法是可行的.

圖11　滾檢試驗(yàn) Fig.11　Rolling test experiment

( a)凸面

( b)凹面

5結(jié)論

基于擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪實(shí)測(cè)齒面坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)，擬合得到了高度逼近實(shí)際齒面的擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪數(shù)字化齒面.編制了擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪實(shí)測(cè)齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合以及TCA通用計(jì)算機(jī)程序，將其集成到齒輪測(cè)量中心的數(shù)據(jù)處理程序中，以實(shí)際齒面的TCA代替?zhèn)鹘y(tǒng)的滾檢，較全面地反映了實(shí)際齒面的嚙合信息，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)滾檢試驗(yàn)只能獲得接觸印痕而無(wú)法獲得傳動(dòng)誤差的不足，為后續(xù)高精度的動(dòng)力學(xué)特性分析以及應(yīng)力計(jì)算打下了基礎(chǔ).以某高速車(chē)橋齒輪副為例進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明文中方法獲得的數(shù)字化齒面的接觸印痕與滾檢試驗(yàn)印痕基本一致，證明了文中方法的可行性.這種方法既節(jié)省了檢驗(yàn)設(shè)備又縮短了生產(chǎn)周期，并且由于上述計(jì)算過(guò)程的通用性，經(jīng)推廣后同樣適用于其他類型齒輪傳動(dòng).

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ContactAnalysisofRealToothSurfaceofHypoidGearwith

CycloidTooth

Du Jin-fu1FangZong-de1GaoHong-biao2ZhangYong-zhen1ZhaoGuo-rui2

(1.SchoolofMechanicalEngineering,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,Shaanxi,China;

2.R&DCenter,ChinaFAWCo.,Ltd.,Changchun130011,Jilin,China)

Abstract:In order to evaluate the meshing quality of real hypoid gear with cycloid tooth, firstly, the digital gear surfaces that exactly approximate real tooth surfaces are obtained by fitting the measured discrete points with non-uniform rational B-spline (NURBS) curve. Then, on the basis of space meshing theory, a tooth contact analysis (TCA) of digital gear surfaces is carried out, which provides contact patterns the same as the traditional rolling test and transmission error curves that can not be obtained from the traditional test. As a result, actual meshing information can be relatively fully reflected. Finally, the feasibility of the proposed method is verified through a comparison between digital gear surface TCA and rolling test of a high-speed axle gear pair.

Keywords：cycloidtooth;hypoidgear;toothcontactanalysis;non-uniformrationalB-spline

Foundationitems:SupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(NSFC)(51305408, 51275180)