坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Partial-EIV總體最小二乘方法

王樂洋，鄭玄威，申興林，許光煜，于冬冬

(1.東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西南昌330013;2.流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西南昌330013；3.江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西南昌330013)

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坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Partial-EIV總體最小二乘方法

王樂洋1,2,3，鄭玄威1，申興林1，許光煜1，于冬冬1

(1.東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院，江西南昌330013;2.流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西南昌330013；3.江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西南昌330013)

摘要：在測量數(shù)據(jù)處理過程中，針對系數(shù)矩陣中同時存在隨機元素和固定元素的情況，Xu等通過將隨機元素分離使EIV模型推廣到Partial-EIV模型，并給出基于Partial-EIV模型的總體最小二乘(TLS)算法。文中介紹該算法，并將其應(yīng)用在平面及空間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，通過與最小二乘(LS)、總體最小二乘(TLS)及加權(quán)總體最小二乘(WTLS)方法的比較和分析，驗證該算法有效性。

關(guān)鍵詞：總體最小二乘；Partial-EIV模型；函數(shù)模型；系數(shù)矩陣；坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

在大地測量數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)典最小二乘方法用的最為普遍。該方法僅考慮了觀測向量的噪聲，而認(rèn)為觀測方程的系數(shù)矩陣中元素為非隨機量，然而系數(shù)矩陣含有隨機誤差的情況在測量數(shù)據(jù)處理實踐中是存在的。在某些測量數(shù)據(jù)的處理中，系數(shù)矩陣中元素并不總是由固定元素組成，往往包含一些觀測量。如大地測量反演[1,2]、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[3]等數(shù)學(xué)模型中，觀測向量和系數(shù)矩陣均由觀測數(shù)據(jù)組成，兩者都包含隨機誤差，這類平差模型被稱之為EIV模型。此時，利用經(jīng)典最小二乘對其進行處理顯然不恰當(dāng)。針對此類模型的求解,Adcock于1877年首次提出了所有觀測數(shù)據(jù)的殘差的平方和最小化的總體最小二乘平差準(zhǔn)則[4]。1980年Golub和Van Loan針對EIV模型提出了SVD(singular value decomposition)算法，即奇異值分解算法，并首次采用Total Least Squares(TLS)命名總體最小二乘[5]。針對系數(shù)矩陣中元素的多樣性，專家學(xué)者紛紛提出各種對應(yīng)的解決方案，如針對EIV模型中系數(shù)矩陣含有特殊結(jié)構(gòu)的混合總體最小二乘法(LS-TLS)[6,7];系數(shù)矩陣出現(xiàn)重復(fù)元素的多元整體最小二乘法[8];采用特定的定權(quán)方法固定不需要修正的常數(shù)元素的加權(quán)整體最小二乘法[9]。對于系數(shù)矩陣中隨機和固定元素同時存在的一般情況，Xu等通過將系數(shù)矩陣中的隨機元素與常數(shù)元素相分離的方法，將EIV模型擴展為更為一般的表現(xiàn)形式的Partial-EIV模型，并推導(dǎo)基于Partial-EIV模型的總體最小二乘解，且給出在有限樣本下的總體最小二乘解的精度評定計算式[10]?；赑artial-EIV模型的總體最小二乘算法，并將其應(yīng)用在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，通過平面坐標(biāo)和空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換兩個算例，證明該算法在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的適用性和有效性。

1總體最小二乘法

總體最小二乘方法相比于傳統(tǒng)最小二乘方法不僅考慮觀測向量中的誤差，也考慮系數(shù)矩陣中存在的誤差，其函數(shù)模型為[11-13]

(1)

式中:A是n×m的系數(shù)矩陣且Rank(A)=m

假設(shè)系數(shù)矩陣及觀測向量之間相互獨立且為不等精度觀測，則其隨機模型為

(2)

2基于Partial-EIV模型的總體最小二乘算法

當(dāng)系數(shù)矩陣A中出現(xiàn)非隨機性的固定元素，將導(dǎo)致其協(xié)因數(shù)陣奇異，因此必須對其進行特殊的處理才能得到唯一的加權(quán)TLS解。而針對這種情況，Xu等將EIV模型改寫并稱之為Partial-EIV模型[10]

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式(8)中

(9)

式(6)可寫成

(10)

于是由式(10)可得[10]

(11)

3算例及分析

3.1　平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的四參數(shù)模型為[14]

當(dāng)控制點個數(shù)為i(i≥2)時，四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型為

分別用最小二乘(LS)、總體最小二乘(TLS)、加權(quán)總體最小二乘(WTLS)和基于Partial-EIV模型的TLS方法(以下簡述為P-TLS)求取坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)β的估值及參數(shù)估值與真值差值的二范數(shù)‖Δβ‖，其結(jié)果如表2所示。

表1　模擬數(shù)據(jù)及相應(yīng)權(quán)值

表2　不同方法結(jié)果列表

通過表2結(jié)果看出，P-TLS方法和WTLS方法得到結(jié)果一致且最好，離真值最為接近；LS方法得到的結(jié)果最差；TLS方法得到的結(jié)果要稍好于LS方法而差于其他兩種方法。上述結(jié)果從以下幾個方面解釋：①LS法只考慮了觀測向量的誤差，而忽略系數(shù)矩陣中存在的誤差，得到的結(jié)果與參數(shù)真值偏差較大；②TLS法考慮觀測向量和系數(shù)矩陣中的誤差，結(jié)果優(yōu)于LS法，但與參數(shù)真值相比，偏差還是較大；③在P-TLS和WTLS方法中，著重考慮了觀測向量和系數(shù)矩陣中元素不等精度的情況，所以結(jié)果優(yōu)于TLS法，得到更加接近真值的結(jié)果。

3.2　空間三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

在空間三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是小角度或初始已知，且控制點數(shù)不小于3個時，布爾沙轉(zhuǎn)換模型可寫成：

利用算例1中4種方法分別求解參數(shù)的估值，得到的結(jié)果如表4所示。

表3　模擬數(shù)據(jù)及相應(yīng)權(quán)值

表4　不同方法求解結(jié)果

詳細(xì)介紹幾種方法之間的差異，在表3中隨機選取5個點，將其坐標(biāo)設(shè)為起始坐標(biāo)，分別利用表4中4種方法求解得到的7個參數(shù)值求得這5個點的目標(biāo)坐標(biāo)的估值。每種方法得到的5個點坐標(biāo)的估值與真值的差值范數(shù)圖如圖1所示。

圖1　預(yù)測點坐標(biāo)真值與估值的差值范數(shù)

從表4中結(jié)果可以得出，基于Partial-EIV模型的TLS法所求參數(shù)結(jié)果和加權(quán)總體最小二乘(WTLS)方法得到的結(jié)果一致，且優(yōu)于其他兩種方法，得到的參數(shù)估值與真值的差值范數(shù)最小，這與算例1中得到的結(jié)論相一致。從圖1也可以看出，在4種方法當(dāng)中，利用P-TLS和WTLS方法得到的轉(zhuǎn)換參數(shù)求得的5個點的估值相比TLS和LS方法要更為接近真值。綜合算例1和算例2的結(jié)果可以得出，在系數(shù)矩陣和觀測向量同時含有誤差的情況下，基于Partial-EIV模型的總體最小二乘方法在解決坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題中能夠得到更加理想的結(jié)果，驗證了該方法在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題中的適用性和有效性。

4結(jié)束語

本文詳細(xì)地介紹當(dāng)觀測方程的系數(shù)矩陣和觀測向量同時存在誤差時基于Partial-EIV模型下的總體最小二乘算法，通過平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換兩個算例，表明該算法在解決坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題中的可靠性和有效性。對于該算法在其他方面的適用性和有效性還需進一步研究。

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[責(zé)任編輯：李銘娜]

Partial-EIV total least squares method for coordinate transformation

WANG Le-yang1,2,3,ZHENG Xuan-wei1,SHEN Xing-lin1,XU Guang-yu1,YU Dong-dong1

(1.School of Geomatics,East China Institute of Technology,Nanchang 330013,China；2.Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring,NASG，Nanchang 330013,China；3.Jiangxi Key Lab for Digital Land,Nanchang 330013,China)

Abstract：In geodetic data processing,the situation that the random and fixed elements exist simultaneously in coefficient matrix will be common.To solve this problem,Xu (Xu et al,2012) expands the EIV model to Partial-EIV model and proposes a total least squares method to the new adjustment model.In this paper,the algorithm proposed by Xu is introduced and applied to the plane and space coordinate transformation.The examples compare four methods (LS,TLS,WTLS and the introduced algorithm) and the effectiveness is tested through the result.

Key words：total least squares；Partial-EIV model；function model；coefficient matrix；coordinate transformation

作者簡介：王樂洋(1983-)，男，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(41204003,41161069,41304020)；測繪地理信息公益性行業(yè)科研專項項目(201512026)；江西省自然科學(xué)基金資助項目(20132BAB216004)；江西省教育廳科技項目(GJJ13456,KJLD12077,KJLD14049)；地理空間信息工程國家測繪地理信息局重點實驗室項目(201308)；東華理工大學(xué)博士科研啟動金(DHBK201113)

收稿日期：2014-12-08；修回日期：2015-05-08

中圖分類號：P207

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1006-7949(2015)12-0012-05