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    一道函數(shù)問題的多視角探究

    2016-01-06 10:08:42毛良忠
    中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2015年10期
    關(guān)鍵詞:切入點實數(shù)解題

    一道函數(shù)問題的多視角探究

    ●毛良忠(平湖中學(xué)浙江嘉興314200)

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題,研究經(jīng)典問題,通過分析典型例題的解題過程是學(xué)會解題的有效途徑之一.在高三復(fù)習(xí)中我們碰到過許多熟悉的“難題”,但經(jīng)過適當(dāng)?shù)亍皢栴}包裝”后,“身經(jīng)百戰(zhàn)”的學(xué)生仍會迷失解題的方向.如何讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有效,讓更多的學(xué)生享受數(shù)學(xué)研究的樂趣?在問題教學(xué)中我們應(yīng)努力踐行羅增儒先生倡導(dǎo)的:數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅關(guān)注如何獲得解,而且寄希望于對“解”的進一步分析而增強數(shù)學(xué)能力、優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)、提高思維素質(zhì)、學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”.下面提供的一道高三經(jīng)典模擬題的探究正是基于這樣的學(xué)習(xí)理念下的解題思維呈現(xiàn).

    題目設(shè)a>0,b>0,函數(shù)f(x)=ax2-bx-{a+}b.

    1)①求不等式f(x)

    2)當(dāng)x∈[0,m]時,對任意的正實數(shù)a,b,不等式f(x)≤(x+1)|2b-a|恒成立,求實數(shù)m的最大值.

    這是2015年浙江省杭州市第2次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測卷的壓軸題.在解決第①小題時,有些學(xué)生在計算f(1)=0后,不會充分利用f(1)=0這個信息將代數(shù)式ax2-bx-a+b進行因式分解,依然利用方程求根公式計算后討論得到解集.同樣在處理第②小題時,若能發(fā)現(xiàn)最大值b-a就是{f(0)},考慮到函數(shù)f(x)=ax2-bx-a+b的圖像開口向上,則由已知條件f(x)在[0,1]上的最大值為f(0)可直接利用單調(diào)性求解,但在實際求解中很多學(xué)生按對稱軸位置進行討論求解.這里暴露出學(xué)生思維的缺失,沒有真正理解函數(shù)零點的意義及最值條件所隱含的關(guān)系,缺少逆向思維的方式.

    分析1)由

    f(x)=ax2-bx-a+b=(x-1)(ax+a-b),

    結(jié)合f(1)=0,知不等式f(x)

    (x-1)(ax+a-b)<0.

    在第2)小題中,由于不等式中涉及的變量較多,大多數(shù)學(xué)生沒有真正挖掘題目信息而盲目做題,最后不了了之.事實上,此題的解題入口還是很寬廣的,對問題不同形式的表征以及解題切入點和視角的不同,該問題的求解途徑是多樣的.下面幾種思維視角應(yīng)該是自然的,也是我們平時教學(xué)中倡導(dǎo)的“通性通法”.

    思維角度1求解集法

    解題切入點在解不等式恒成立問題時,直接求出不等式的解集,再利用不等式恒成立的特征探求相應(yīng)字母的范圍是此類問題的“通法”.

    分析由f(x)≤(x+1)|2b-a|,得

    ax2-(b+|2b-a|)x-a+b-|2b-a|≤0,

    x2-(t+|2t-1|)x+t-1-|2t-1|≤0,

    當(dāng)Δ=(t+|2t-1|)2-4(t-1-|2t-1|)>0時,不等式的解為

    由于

    綜上所述,m的最大值為1.

    思維角度2變元法

    解題切入點我們可以通過討論先去絕對值,如何解含有3個字母的不等式恒成立問題呢?轉(zhuǎn)換視角,如果將a或b看成變量,x視為待求字母,那么呈現(xiàn)在我們面前的只是解決一個一次不等式的問題,相對來說問題變得簡潔了.

    分析1)當(dāng)a<2b時,由不等式

    f(x)≤(x+1)|2b-a|,

    ax2-bx-a+b≤(x+1)(2b-a),

    整理得

    (x2+x)a≤(3x+1)b.

    因為

    0

    所以當(dāng)x≥0時,

    (x2+x)a≤(x2+x)·2b.

    由于不等式對任意的正實數(shù)a,b,f(x)≤(x+{1)|2b-}a|恒成立,故等價于(x2+x)·2b≤(3x+1)b恒成立.于是

    2x2-x-1≤0,

    且x>0,解得0≤x≤1.

    2)當(dāng)a>2b時,由不等式

    f(x)≤(x+1)|2b-a|,

    ax2-bx-a+b≤(x+1)(a-2b),

    整理得

    (3+x)b≤(-x2+x+2)a.

    2x2-x-1≤1,

    且x>0,解得0≤x≤1.

    綜合上述,對任意的正實數(shù)a,b,不等式

    f(x)≤(x+1)|2b-a|

    恒成立,則0≤x≤1,因此0≤m≤1.

    思維角度3減元法

    圖1

    解題切入點在解決含有多個字母的問題時,適當(dāng)?shù)刈冃卧O(shè)元,從整體角度考慮可以達到減元的目的.觀察已知式不難發(fā)現(xiàn),不等式左、右2邊是關(guān)于a,b的齊次式,這樣的結(jié)構(gòu)可直接變形設(shè)元求解,運用數(shù)形結(jié)合的方法能更快速求解.

    分析ax2-bx-a+b≤(x+1)|2b-a|,

    不等式2邊同除以b整理得

    (x2-1)t-(x-1)≤(x+1)|t-2|

    恒成立問題.在同一坐標系中作出關(guān)于t的圖像

    y1=(x2-1)t-(x-1),

    y2=(x+1)|t-2|,

    由題知當(dāng)t>0時,y1≤y2恒成立,故

    解得0≤x≤1.

    由此,對任意的正實數(shù)a,b,不等式f(x)≤{(x+}{1)|2b-}a|恒成立,則

    0≤x≤1,

    因此

    0≤m≤1.

    思維角度4特值驗證法

    解題切入點仔細審題發(fā)現(xiàn),對于不等式

    ax2-bx-a+b≤(x+1)|2b-a|,

    圖2

    由于正實數(shù)a,b的任意性,當(dāng)x≥0時,(x+1)|2b-a|的最小值為0,不妨先求得不等式成立的必要條件,再驗證是否成立.根據(jù)題目特征適當(dāng)?shù)乜s小所要求字母的范圍,再討論驗證的解題策略,對于較為復(fù)雜的問題往往能回避一些不必要的討論,直接指向問題本源.

    分析考慮到正實數(shù)a,b的任意性,要使

    f(x)≤(x+1)|2b-a|

    恒成立,令a=2b,則

    f(x)=2bx2-bx-b≤0,

    2x2-x-1≤0,

    解得

    下面驗證當(dāng)0≤m≤1時,

    am2-bm-a+b≤(m+1)|2b-a|

    恒成立即可.不妨設(shè)a=bt,則

    btm2-bm-bt+b≤(m+1)|2b-bt|,

    消去正數(shù)b得

    tm2-m-t+1≤(m+1)|2-t|

    | t-2|.

    顯然成立.故m的最大值為1.

    思維角度5函數(shù)整體思想

    解題切入點能不能直接作出函數(shù)圖像,借助圖像尋找到m的值呢?考慮到不等式2邊的式子都是熟悉的二次式和一次式,可以分別構(gòu)造新函數(shù),尋找函數(shù)的特征點或者特殊關(guān)系是問題解決的關(guān)鍵.

    圖3

    分析構(gòu)造函數(shù){g(x)=}|2b-a|(x+1),易知函數(shù){g(x)=}|2b-a|(x+1)的圖像是一條斜率k=|2b-a|≥0且恒過定點(-1,0)的直線,它在y軸上的截距為{|2b-}{a|}.由二次函數(shù)f(x)={ax2-}bx-a+b易知圖像恒過點(1,0),且在y軸上的截距為b-a.由于a>0,b>0,則

    |2b-a|=|(b-a)+b|>b-a,

    其意義即為直線與y軸的交點恒位于拋物線與y軸交點的上方.

    如圖3,當(dāng)k=|2b-a|→0時,直線與拋物線的右側(cè)交點xm→1,即對于確定的數(shù)值x0>1必存在一條直線:當(dāng)k=|2b-a|→0時有f(x0)>{g(x0)},因此若對任意的正實數(shù)a,b,不等式f(x)≤(x+1)|2b-a|恒成立,則0≤x≤1.故m的最大值為1.

    高中的學(xué)習(xí),特別是在高三復(fù)習(xí)中學(xué)生做了大量的數(shù)學(xué)題,但教師會有這樣的感覺:題還是那個題,錯誤還是那些錯誤.講了n遍的題,解題時學(xué)生還是犯老毛病,原因何在?在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上教師是否太急功近利,總是怕學(xué)生吃不飽,剛解決完一個問題,趕緊拋出第2個問題.在錯題評析中教師是否真正了解學(xué)生的錯誤糾結(jié)之處,真正聆聽過學(xué)生解題的想法,真正對癥下藥呢?學(xué)生思維的培養(yǎng)是一切數(shù)學(xué)教學(xué)方法的根,是數(shù)學(xué)教學(xué)的立足之本.教學(xué)中教師應(yīng)多關(guān)注概念的形成過程,重視問題的發(fā)現(xiàn)過程及規(guī)律的揭示過程,暴露“好念頭、巧方法”是怎樣形成的,真正教會一種好的思維品質(zhì),學(xué)會思考,學(xué)會學(xué)習(xí).愿解題活動真正成為學(xué)生參與的思維碰撞的活動,在對問題的交流碰撞中學(xué)會學(xué)習(xí),學(xué)會思維,并發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)所在.

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