不等式解題中易錯(cuò)題剖析

周克毅

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué);不等式;易錯(cuò);問題

【中圖分類號】 G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A

【文章編號】 1004—0463（2015）24—0121—01

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，是解決其他數(shù)學(xué)問題的有利工具，在生活、生產(chǎn)和科研中有著廣泛應(yīng)用。但在解決不等式問題時(shí)，學(xué)生往往“望文生義”，從表面出發(fā)，導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯(cuò)誤。筆者從學(xué)生的作業(yè)中發(fā)現(xiàn)了一些較為普遍的現(xiàn)象，現(xiàn)將這些題目及相關(guān)解答摘錄如下，供大家參考和討論.

錯(cuò)因分析：

上述解集是對的，粗看起來，其解題過程似乎也是對的.其實(shí)不然，由邏輯知識(shí)可知，兩數(shù)（或式）的積小于或等于零，并不一定要求這兩數(shù)（式）同時(shí)異號或?yàn)榱悖?dāng)其中一個(gè)因式為零，另一個(gè)因式不論是何值，原不等式均成立.這里不妨舉一個(gè)反例加以說明.若按上述求解過程，解不等式：（x2-4）（x-6）2≤0.仿前解：原不等式？x2-4≤0（x-6）2≥0？圳-2≤x≤2.這個(gè)解是錯(cuò)誤的.事實(shí)上原不等式（x2-4）（x-6）2<0或（x2-4）（x-6）2=0？≠6-2

故原不等式的解集為{x|-2≤x≤2或x=6}.

糾錯(cuò)：

對于含“≥”或“≤”的不等式，一種方法是將其化歸為一個(gè)嚴(yán)格不等式與一個(gè)方程求解，最后求它們的并集得原不等式的解集.當(dāng)然對于例1，若直接用一元二次不等式解更保險(xiǎn)、更嚴(yán)密、更簡潔（解題過程略）.

例2 ?解不等式|x|>-2.

學(xué)生解答：原不等式

？圳x>-2或x<2

？圳x∈R

故原不等式的解集為R.

錯(cuò)因分析：

上題看似簡單，有點(diǎn)腦筋急轉(zhuǎn)彎的味道.上述學(xué)生解答是對的，但求解過程是錯(cuò)誤的，屬機(jī)械照搬|x|>a的解集模式所致，這種“機(jī)械照搬”一旦形成思維定勢和習(xí)慣，對以后解題大大不利.

糾錯(cuò)：

緊扣絕對值的意義，該不等式可化歸為不等式組求解，

|x|>-2？圳x≥0x≥-2或x≤0-≥x-2？圯x≥0或x<0？圯x∈R

由此可知，|x|>a？圯x>a，或x<a中條件a≥0是必須的，而當(dāng)a<0時(shí)，|x|>a的解集一目了然.

例 3 已知a>0，b>0且a+b>2，

學(xué)生解答：（用反證法）

錯(cuò)因分析：

從證明的形式看是用反證法，但實(shí)際上只證明了當(dāng)a=2，b=2時(shí)結(jié)論成立，而并沒有證明對于一切滿足a>0，b>0且a+b>2的a、b使得結(jié)論成立.從條件的充要性角度分析，已知條件命題中“若a>0，b>0且a+b>2”是中至少有一個(gè)小于2的充分條件，根據(jù)命題等價(jià)性，故用反證法證明時(shí)可有如下證明模式：

綜上所述，學(xué)生在不等式解題過程中，從表面出發(fā)的現(xiàn)象不少，這些都是沒有理解不等式的實(shí)質(zhì)，沒有嚴(yán)格遵循概念、定義和邏輯推理.因此，教師在平時(shí)教學(xué)中，應(yīng)重視這些問題的分析和總結(jié)，讓學(xué)生明辨是非，這對于消除“成見”、打消思維定勢和不良習(xí)慣大有裨益.

編輯：謝穎麗