三維熱傳導(dǎo)方程的修正局部C-N方法

周文格， 阿布都熱西提·阿布都外力

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

三維熱傳導(dǎo)方程的修正局部C-N方法

周文格， 阿布都熱西提·阿布都外力

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

摘要：對(duì)三維熱傳導(dǎo)方程的經(jīng)典Crank-Nicolson格式運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的Trotter Product公式進(jìn)行修正和改進(jìn)，推出一種求解三維熱傳導(dǎo)方程的修正局部Crank-Nicolson方法， 該方法具有計(jì)算量小和精度高的優(yōu)點(diǎn). 證明了修正局部Crank-Nicolson格式的無條件穩(wěn)定性和收斂性，最后用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性.

關(guān)鍵詞：三維熱傳導(dǎo)方程；Trotter Product公式；修正局部Crank-Nicolson方法；穩(wěn)定性和收斂性.

熱傳導(dǎo)方程或熱方程是一類重要的偏微分方程，它描述了一個(gè)區(qū)域內(nèi)的溫度如何隨時(shí)間變化，是傅里葉冷卻律的一個(gè)推論．熱傳導(dǎo)方程出現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)模型中，如在金融數(shù)學(xué)中作為期權(quán)的模型進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用[1]，在物理學(xué)中模擬粒子擴(kuò)散[2]，在生物學(xué)中模擬神經(jīng)細(xì)胞的動(dòng)作電位等等．熱傳導(dǎo)方程及其非線性的推廣形式經(jīng)常被應(yīng)用于影響分析，另外此類物理模型在工程技術(shù)等方面也有著廣泛的應(yīng)用，但是許多熱傳導(dǎo)方程模型的解析解難求解．因此，研究熱傳導(dǎo)物理方程的數(shù)值計(jì)算方法具有重要的科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值.

近年來，求解熱傳導(dǎo)方程的各種數(shù)值方法已得到相當(dāng)成熟的發(fā)展．其中Crank-Nicolson方法是一種較為有效的數(shù)值求解方法，此方法也可用于求解一些無解析解的模型，但是由于其精度不是很高，故實(shí)際中很少應(yīng)用．因此，一些從事偏微分方程數(shù)值解研究的專家和學(xué)者對(duì)Crank-Nicolson方法進(jìn)行了修正和改進(jìn)，如AbdirishitAbduwali在1992年和1997年分別提出了常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的局部Crank-Nicolson方法[3]和修正局部Crank-Nicolson方法[4].開依沙爾·熱合曼用此方法研究了一維對(duì)流擴(kuò)散方程[5]，黃鵬展將該方法推廣到一維變系數(shù)熱傳導(dǎo)方程[6]以及一維和二維的Burgers方程[7]，隨后郭瑞又用修正局部Crank-Nicolson方法對(duì)二維非定常對(duì)流擴(kuò)散方程進(jìn)行了應(yīng)用，均得到了計(jì)算量少、精度高的結(jié)果．本文采用此方法構(gòu)造三維熱傳導(dǎo)方程的有效差分格式，以期提高數(shù)值解的準(zhǔn)確度，并使修正Crank-Nicolson方法的應(yīng)用得到進(jìn)一步發(fā)展.

1三維熱傳導(dǎo)方程的Crank-Nicolson方法

求解初值問題

(1)

其中，(x,y,z,t)∈(0,L)×(0,L)×(0,L)×(0,T].

初邊值條件為

(2)

這里a>0，g(x,y,z) 是(0,L)×(0,L)×(0,L)上的連續(xù)函數(shù).

該初邊值問題的經(jīng)典Crank-Nicolson格式如下：

(3)

2三維熱傳導(dǎo)方程的修正局部Crank-Nicolson方法

對(duì)方程(1)的空間二階微分項(xiàng)用中心差商代替，就得到半離散差分方程式

對(duì)治療后患者的癥狀進(jìn)行評(píng)估，顯效為再無心肌梗死癥狀，有效為心肌梗死的心絞痛程度有所改善，無效為癥狀無變化甚至出現(xiàn)加重現(xiàn)象，顯效率與有效率之和為治療的總有效率。

(4)

其中： Ψ(t)=[(Ψ(x1,y1,z1,t),…，Ψ(x1,y1,zM-1,t)),…，(Ψ(x1,yM-1,z1,t),…，Ψ(x1,yM-1，zM-1,t)),…，(Ψ(xM-1,y1,z1,t),…，Ψ(xM-1,y1,zM-1,t))，…，(Ψ(xM-1,yM-1,z1,t),…，Ψ(xM-1,yM-1,zM-1,t))]T.xi=ih,yj=jh,zk=kh(i,j,k=1,2,…，M-1),h=L/M.這里A是一個(gè)(M-1)3×(M-1)3的分塊五對(duì)角矩陣，即

(5)

式中：I為(M-1)×(M-1)的單位矩陣;O為(M-1)×(M-1)的零矩陣;B為(M-1)×(M-1)的三對(duì)角矩陣.

方程(4)關(guān)于初始值 Ψ(0)=[(Ψ(x1,y1,z1,0),…，Ψ(x1,y1,zM-1,0)),…，(Ψ(x1,yM-1,z1,0),…，Ψ(x1,yM-1,zM-1,0)),…，(Ψ(xM-1,y1,z1,0)，…，Ψ(xM-1,y1,zM-1,0)),…，(Ψ(xM-1,yM-1,z1,0),…，Ψ(xM-1,yM-1,zM-1,0))]T的解可以表示為

(6)

對(duì)時(shí)間變量t進(jìn)行離散，tn=nτ(n=1,2,…,N)，τ=T/N．方程(6)可化為

(7)

利用Trotter Product公式，我們得到如下迭代格式：

(8)

其中λ=aτ/h2.

(9)

然后，取格式(8)和(9)的平均值，即

(10)

格式(10)就是求得的方程(1)的修正局部Crank-Nicolson格式．

3修正局部Crank-Nicolson方法的穩(wěn)定性和收斂性

證明Crank-Nicolson格式(3)可化為

(11)

式(11)又可以寫成如下形式：

(12)

顯然方程(12)與格式(3)有相同的截?cái)嗾`差

(13)

考慮(8)的截?cái)嗾`差，由于它是由(M-1)3個(gè)Crank-Nicolson格式相乘得到的，所以其截?cái)嗾`差為

(14)

顯然知道格式(10)的截?cái)嗾`差階與(8)是相同的，即O(τ2+h2+h2+h2)．因此差分格式(10)是相容的.

證明由定理2、定理3和Lax等價(jià)定理，可以得到差分格式(10)是收斂的.

4數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮下面已知解析解φ(x,y,z,t)=100e-3π2tsinπxsinπysinπz的定解問題

其中(x,y,z,t)∈(0,1)×(0,1)×(0,1)×(0,T] .初邊值條件為

不同條件下的數(shù)值解和解析解見表1、表2.

表1　當(dāng) τ=0,h=0.1時(shí)，Crank-Nicolson方法和修正局部Crank-Nicolson方法的

表2　當(dāng)τ=0.1,h=1/15 時(shí)，Crank-Nicolson方法和修正局部Crank-Nicolson方法的

5結(jié)束語

修正局部Crank-Nicolson格式利用指數(shù)函數(shù)TrotterProduct公式把大型稀疏矩陣分裂為一些簡單的小型矩陣，盡管格式中出現(xiàn)了矩陣的逆運(yùn)算，但可以準(zhǔn)確地求出其表達(dá)式，沒有誤差，從而既避免了直接求解以大型矩陣為系數(shù)的線性方程組的繁瑣，又提高了經(jīng)典Crank-Nicolson格式的精度．

參考文獻(xiàn):

[1]喬嗣佳.利用熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型[J].改革與開放，2012(8)：133-134．

[2]袁利國，邱華，聶篤憲.熱傳導(dǎo)(對(duì)流-擴(kuò)散)方程源項(xiàng)識(shí)別的粒子群優(yōu)化算法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009(14)：94-101.

[3]AbdirishitAbduwali，MichioSakaihara，HiroshiNiki.AlocalCrank-Nicolsonmethodfortwo-dimensionalheatequation[J].TheJapanSocietyforIndustrialandAppliedMathematics，1992，2(4)：267-283.

[4]AbdirishitAbduwali.AcorrectorlocalCrank-Nicolsonmethodforthetwo-dimensionalheatequation[J].MathematicsNumericaSinica，1997，19(3)：267-276．

[5]開依沙爾·熱合曼，阿布都熱西提·阿布都外力.對(duì)流擴(kuò)散方程新的數(shù)值解法及其應(yīng)用[J]. 新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005,24(3)：47-51．

[6]黃鵬展，阿布都熱西提·阿布都外力.修正局部Crank-Nicolson法對(duì)變系數(shù)擴(kuò)散方程的應(yīng)用[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2008,46(6)：1 068-1 072．

[7]PengzhanHuang，AbdirishitAbduwali.ThemodifiedlocalCrank-Nicolsonmethodforoneandtwo-dimensionalBurgers'equations[J]．ComputersandMathematicswithApplications，2010,59：2 452-2 463．

(編輯：郝秀清)

收稿日期：2014-06-25

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10971024)

作者簡介：周文格，女，wengezhou@sina.cn； 通信作者： 阿布都熱西提·阿布都外力,男,rashit@xju.edu.cn

文章編號(hào)：1672-6197(2015)01-0010-05

中圖分類號(hào)：O193

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

ModifiedlocalCrank-Nicolsonmethodfor
solvingthreedimensionalheatconductionequations

ZHOUWen-ge,AbdirishitAbduwali

(CollegeofMathematicsandSystemScience,XinjiangUniversity,Urumqi830046,China)

Abstract:The classical Crank-Nicolson scheme of three-dimensional heat conduction equations is modified and improved, using Trotter Product formula of the exponential function. The modified local Crank-Nicolson method is developed for solving three-dimensional heat conduction equation, and it has the characteristics of a small amount of calculation and high precision. We also proved unconditional stability and convergence of the modified local Crank-Nicolson method. Finally the numerical experiment is conducted to verify the accuracy and availability of the method.

Key words:three-dimensional heat conduction equations; Trotter Product formula; the modified local Crank-Nicolson method; stability and convergence