基于連分式的廣義高斯模型UDCT貝葉斯圖像去噪

基于連分式的廣義高斯模型UDCT貝葉斯圖像去噪

楊興明,牛坡禮

(合肥工業(yè)大學 計算機與信息學院,安徽 合肥230009)

摘要:文章通過研究均勻離散曲波變換(uniform discrete curvelet transform,UDCT)系數(shù)統(tǒng)計特性,發(fā)現(xiàn)該變換域的系數(shù)具有良好的相關性,且能有效解決廣義高斯模型的參數(shù)擬合問題。在利用廣義高斯模型的參數(shù)估計進行圖像去噪過程中,從矩估計和最大似然估計出發(fā),采用比牛頓迭代法更穩(wěn)定的連分式迭代法來求解最大似然估計的超越方程;采用蒙特卡洛方法代替魯棒中值法來精確地估計每個子帶的噪聲方差;在Bayesian最大后驗概率估計的框架下完成圖像去噪。實驗結果表明,文中提到的算法與傳統(tǒng)的VisuShrink、BayesShrink和SureShrink相比,具有較好的去噪效果和峰值信噪比。

關鍵詞:廣義高斯模型;連分式迭代法;均勻離散曲波變換;蒙特卡洛方法

收稿日期：2013-11-25；修回日期：2014-03-26

基金項目：安徽省自然科學基金資助項目(090412041)

作者簡介：楊興明(1977-),男,云南安寧人,博士,合肥工業(yè)大學副教授,碩士生導師.

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2015.01.011

中圖分類號:TP751.1文獻標識碼：A

Bayesian image denoising by generalized Gaussian

model based on UDCT and continued fraction

YANG Xing-ming,NIU Po-li

(School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:Based on the researches on statistical properties of the coefficients of uniform discrete curvelet transform(UDCT), it is discovered that the coefficients of transform domain have good correlation, and can be used to solve the problem of parameter fitting in generalized Gaussian model effectively. Firstly, in view of the moment estimation and maximum likelihood estimation, the continued fraction iteration method is used, which is more stable than Newton iteration method, to make the maximum likelihood estimation of transcendental equation in the process of image denoising by using the generalized Gaussian model parameter estimation. Then the Monte Carlo method is used to estimate each subband noise variance accurately instead of robust median method. Finally, the image denoising is completed in the framework of Bayesian maximum posterior probability estimation. The experimental results show that the proposed algorithm has good denoising effect and peak signal-to-noise ratio(SNR) in comparison with traditional methods such as VisuShrink, BayesShrink and SureShrink.

Key words:generalized Gaussian model; continued fraction iteration method; uniform discrete curvelet transform(UDCT); Monte Carlo method

在多尺度的變換域中,子帶系數(shù)的建模是圖像處理領域的基礎,也是該領域的瓶頸。廣義高斯分布[1]的提出有效地解決了該問題,并伴隨著新型小波變換的出現(xiàn)逐步發(fā)展。在ridgelet變換的基礎上,文獻[2]提出了目前理論最完備的curvelet變換,但其應用性較差。文獻[3]提出與實際的工程應用比較接近的contourlet變換,該變換將圖像的多尺度和多方向表示靈活而有機地結合起來,其變換域中多重子帶的邊緣分布也能充分反映其特征,但缺乏理論基礎。文獻[4]結合curvelet變換的理論完備性和contourlet變換工程的應用性,提出了均勻離散曲波變換(uniform discrete curvelet transform,UDCT),為廣義高斯分布的建模構建了良好的平臺。經(jīng)研究表明,均勻離散曲波變換域系數(shù)呈尖峰、長拖尾的性質，非常適合廣義高斯分布來擬合,因此在UDCT變換域進行廣義高斯分布統(tǒng)計建模及應用有著重要的意義[5-6]。

1廣義高斯模型建模和參數(shù)估計

大量的研究表明,變換域內(nèi)圖像的小波系數(shù)在尺度間和尺度內(nèi)均存在一定的相關性,而正確地利用這些相關性可以顯著地改善有關算法的性能,本文依據(jù)尺度內(nèi)小波系數(shù)的相關性,提出了廣義高斯分布,它不僅涵蓋了拉普拉斯分布、高斯分布及均勻分布,而且其尖峰長拖尾的性質很適合廣義高斯模型來擬合。本文在小波系數(shù)分布基礎上,建立廣義高斯模型。

1.1　廣義高斯模型的建立

定義1廣義高斯模型的一般形式如下:

(1)

其中,α、β分別為該模型的尺度參數(shù)和形狀參數(shù);

σx為該模型的標準差。

各變換域內(nèi)小波系數(shù)的分布與廣義高斯模型的擬合程度如圖1所示。

圖1　小波系數(shù)統(tǒng)計直方圖

1.2　廣義高斯模型的參數(shù)估計方法

建立廣義高斯模型后,通過計算估計得到該模型中的參數(shù)α、β、σx是圖像去噪的關鍵環(huán)節(jié),傳統(tǒng)的廣義高斯分布包括矩估計、熵匹配估計[7]和最大似然估計。研究表明,矩估計更適合形狀參數(shù)較大時;當形狀參數(shù)較小、樣本較小時，適合采用熵匹配估計;當形狀參數(shù)較小、樣本較大時，適合采用最大似然估計。對于圖像而言,樣本集合比較大,較適合應用最大似然估計。

1.2.1　矩估計

對于廣義高斯分布,有α和β2個未知參數(shù),則需要計算樣本的1階和2階樣本矩來計算樣本的期望和方差。假設變換域的小波系數(shù)樣本集X={x1,…,xN},則可得1階矩和2階矩。

1階矩：

(2)

2階矩：

(3)

由廣義高斯模型的定義和矩估計算式可得:

(4)

令A1=a1,A2=a2,可得:

(5)

1.2.2　最大似然估計

假設集合X={x1,…,xN}是獨立分布的,則其似然函數(shù)為:

(6)

對(6)式求α和β偏導數(shù)可得:

(7)

(8)

由(7)式可得:

(9)

(10)

該方程沒有解析解,只能通過迭代的方法得到,傳統(tǒng)的迭代法包括牛頓迭代法、最速下降法等,但這幾種迭代運算太復雜,為克服計算量大的不足,本文引入一種連分式迭代法[8]。

1.2.3　連分式迭代法的實現(xiàn)

本文引入反差商概念?，F(xiàn)給定數(shù)據(jù)中DN={(βi,yi)|i=0，1，2,…,N,βi互異}，而yi=y(βi)。

定義2

(11)

定理1設

其中,φ(β0,β1,…,βn)≠0,k=0,…,n為y(β)在β0,…,βk處的k階反差商,則有Rn(βi)=y(βi),i=0,1,…,n。

證明假設R(β)=P(β)/Q(β),而

(12)

令β=βi,則有:

通過遞歸的方法可得:

(13)

將β0,…,βk帶入(13)式可得：Rn(βi)=y(βi),i=0,1,…,n。

定理得證。

(13)式是連分式的基本形式,特別地,當n=2時，構造的連分式如下:

其中,β0、β1、β2通過矩估計得到。

令R(β)=0,可得:

由此構造的迭代式如下:

(14)

令dk+1=φ(βk,βk+1),dk+2=φ(βk,βk+1,βk+2),dk=βk。本文通過連分式迭代法得到允許的誤差范圍ξ下的最終解β。連分式的實現(xiàn)步驟如下:

(1) 由矩估計得到β0、β1、β23個初始值,并計算得到y(tǒng)0、y1、y2。

(2) 利用(11)式可得φ(βk,βk+1)、φ(βk,βk+1,βk+2),得到dk、dk+1、dk+2，其中，k=0,1,2,…。

(3) 由(14)式得到βk+3,即新的dk。

(4) 選取ξ=0.000 001作為允許誤差范圍,若|βk+3-βk+2|<ξ,停止迭代,βk+3即為所求解;否則由(10)式計算yk+3,并依此更新βk=βk+1、βk+1=βk+2、βk+2=βk+3和yk=yk+1、yk+1=yk+2、yk+2=yk+3。

2蒙特卡洛法參數(shù)估計

傳統(tǒng)的閾值去噪中,均用魯棒中值法估計各個子帶的噪聲方差,本文采用蒙特卡洛方法,該方法能逼真地描述具有隨機性質事物的特點及物理實驗過程,結合噪聲中的高斯白噪聲,其特性非常吻合。由于均勻離散曲波變換域的各個尺度、各個子帶的方差近似相同,采用該方法可以得到各個尺度、各個子帶內(nèi)對應于每個圖像系數(shù)的噪聲系數(shù)方差,具體實現(xiàn)步驟如下:

(1) 對含噪的圖像進行正交變換,魯棒中值法估計出噪聲標準差σn,即

3基于廣義高斯模型的貝葉斯圖像去噪

在經(jīng)典的Bayesian的最大后驗估計理論的框架下,得到適合于UDCT的基于Bayesian準則的圖像去噪方法,現(xiàn)描述如下。

x=y+w

(15)

(16)

為了求出y,由最大后驗概率估計可得:

(17)

在模擬噪聲方差的計算中,本文采用蒙特卡洛方法可得:

(18)

對(18)式取對數(shù)可得:

(19)

為了得到使后驗概率密度函數(shù)最大時的y,對(19)式進行x求導可得:

(20)

特別地,當β=1時,

(21)

當β=2時,

(22)

在形狀參數(shù)β越大時,誤差越大；β越小，越適合最大似然估計,可得圖像去噪算法的步驟為:

(1) 對含噪圖像進行UDCT得到相應變換域的小波系數(shù)。

(3) 通過建?？傻煤雸D像的參數(shù)α和β，并得到含噪圖像的方差σ2,將結果帶入(21)式,得到去噪后的小波系數(shù)。

(4) 對處理后的小波進行UDCT逆變換得到相應的圖像。

4實驗結果與分析

本實驗采用512×512的Lena圖像,取噪聲方差σn為35,并與經(jīng)典的VisuShrink[8]、BayesShrink[9]、SureShrink[10]方法進行比較,結果如圖2所示。

圖2　各種去噪方法所得去噪后的圖像

本文采用均方誤差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)作為評價圖像去噪的標準，不同方法去噪的均方誤差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)的效果對比見表1所列。

表1　不同去噪方法的 PSNR和 MSE統(tǒng)計對比　 dB

實驗中取噪聲標準差σn分別為15、25、35。由表1可以看出，MSE和PSNR2項指標都有明顯改善，同時算法的改善也帶來算法的復雜度,因此實驗時間也有所增加。

5結束語

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(責任編輯閆杏麗)