參數(shù)不確定時滯隨機系統(tǒng)的滑模變結構控制＊

張偉偉，亓會平，常美華

（濰坊學院，山東 濰坊 261061）

變結構控制是20世紀50年代在前蘇聯(lián)產(chǎn)生的一種控制策略。它有許多優(yōu)點，特別是對系統(tǒng)的攝動和干擾有較強的魯棒性，是一種很有前途的綜合方法。

近年來，關于時滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定和魯棒穩(wěn)定的研究一直很活躍［1-10］。由于系統(tǒng)在運動過程中往往會受到外界隨機因素的干擾［4-8］。因此，研究時滯隨機系統(tǒng)的變結構滑模控制是有必要的和有意義的。本文利用Lyapunov方法，在幾乎必然穩(wěn)定的意義下，給出了存在滑動模態(tài)的充分條件，并且進一步設計了到達運動控制器。

1 系統(tǒng)模型描述

考慮線性參數(shù)不確定時滯隨機系統(tǒng)

的變結構問題。其中Aτ，ΔAτ，A，ΔA∈Rn×n，B∈Rn×m，D∈Rn×m；x（t）∈Rn，u（t）∈Rm。（Ω，F(xiàn)，｛Ft｝t≥0，P）是完備的濾子概率空間，Ω 是樣本空間，F(xiàn) 是Ω 上的σ 代數(shù)，｛Ft｝t≥0是Ω 上的單調遞增的子σ 代數(shù)族（濾子），P 是定義在其上的概率測度。w（t）∈Rm是完備濾子概率空間（Ω，F(xiàn)，｛Ft｝t≥0，P）上的標準m 維納過程，且同時滿足E（wT（t）w（t））=I，E（w（t））=0，E（x（0）wT（t））=0。φ（t）是任意已知的滿足給定條件的連續(xù)狀態(tài)向量。

假設矩陣對（A，B）是可控的，干擾ΔAx（t），ΔAτx（t-τ）滿足完全匹配條件：ΔA=BE，ΔAτ=BF。

2 滑動模態(tài)設計

取切換函數(shù)為

其中，S（t）=（S1（t），S2（t），…，Sm（t））T∈Rm×1。C，G 是常數(shù)矩陣，且C 滿足CB 非奇異，CD=0，G 是控制反饋增益矩陣。

對（2）式關于時間t微分得

令S′（t）=0，則得到等效控制

把ueq帶入系統(tǒng)（1）得，滑模動態(tài)方程

其中，I表示單位矩陣。由于在滑模塊上對干擾具有不變性，且由完全匹配條件成立知滑動模存在。從而，滑動模系統(tǒng)（3）對干擾ΔAx（t）+ΔAτx（t-τ）具有不變性，（3）簡化為

從而，怎么設計控制器u（t）以保證滑動模的存在和怎樣選擇控制反饋增益矩陣G 使得系統(tǒng)的解可以到達滑動模是本文的主要問題。

3 到達運動控制器的設計

對隨機系統(tǒng)（1）選取滑動流形S（t）=0，構造變結構控制律

其中，sgn（S（t））=（sgn（S1（t）），sgn（S2（t）），…，sgn（Sm（t）））T，k＞max｛‖ΔA‖，‖ΔAτ‖｝，α＞0。‖x（t）‖表示向量x（t）的2-范數(shù)，‖ΔA‖，‖C‖表示矩陣ΔA，C 的2-范數(shù)。

在變結構控制律（3）的作用下，系統(tǒng)（1）的閉環(huán)系統(tǒng)為

定義1 對于閉環(huán)系統(tǒng)（6），發(fā)生在滑動流形S（t）=0上的運動稱為滑動模運動。從任意位置φ（t）出發(fā)的運動如果能在有限時間內，幾乎必然滿足S（t，x（t））=0，則稱滑動模具有可達性。

引理1 對系統(tǒng)（1），如果選取Lyapunov函數(shù)V（S（t））如下

且E（wT（t）w（t））=I，CD=0成立，則有

證明 由Ito定理知

又CD=0，故

證畢。

注1 系統(tǒng)（4）的滑動模的動力學行為與矩陣C 無關，只要C 的選取滿足CD=0即可。

定理1 對系統(tǒng)（1），如果CD=0，令控制器為

則系統(tǒng)可由控制律（5）在有限時間內驅動，以概率1收斂到切換超面S（t）=0，且在其余的時間內在滑動面上達到穩(wěn)定。

證明 對（2）式關于時間t微分，然后乘以ST（t），得

把S′（t）的表達式代入（7），得

從而，

這意味著系統(tǒng)（1）以概率1收斂到S（t）=0，且在其余時間內達到穩(wěn)定。

4 結束語

本文利用滑?？刂圃?，基于Lyapunov 函數(shù)方法，給出了系統(tǒng)存在滑動模態(tài)的充分條件，又在此基礎上給出了到達運動控制律。該策略能保證閉環(huán)系統(tǒng)幾乎必然漸近穩(wěn)定。

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