擴(kuò)展KP方程的周期波解以及可積性質(zhì)＊

高 靜

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)，江蘇 徐州 221116）

1 引言

利用雙線性算子尋求非線性方程的雙線性表示，Lax對(duì)和B?cklund變換是孤立子理論的研究方向之一，日本數(shù)學(xué)家Hirota［1］開辟了這一先河，隨后中國(guó)科學(xué)院的胡星表［2-3］等國(guó)內(nèi)學(xué)者利用雙線性化方程導(dǎo)出了許多非線性方程的雙線性表示、Lax對(duì)、B?cklund變換、無(wú)窮守恒律等系列問(wèn)題。在1980年，Nakamura基于Hirota雙線性方法提出了求解非線性方程的多周期波解的綜合方法［4-5］，這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于它只依賴Hirota雙線性形式?？墒?，尋求一個(gè)非線性演化方程的雙線性變換并非易事，需要作出恰當(dāng)變換，尋求該變換具有很強(qiáng)的技巧性，為解決這一問(wèn)題，Lambert等人［6-7］引進(jìn)了Bell多項(xiàng)式方法，使得尋求非線性演化方程的雙線性表示有了一定的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，范恩貴［8-9］等學(xué)者將Bell多項(xiàng)式應(yīng)用于變系數(shù)的非線性演化方程中，得到了變系數(shù)KdV 方程、KP方程等的可積性質(zhì)。本文利用Riemann theta函數(shù)理論和Bell多項(xiàng)式有關(guān)理討論擴(kuò)展KP方程的可積性質(zhì)。

為此，我們首先回顧一下Riemann theta函數(shù)和Bell多項(xiàng)式的基本理論。

2 Riemann theta函數(shù)與Bell多項(xiàng)式

定義1 Hirota雙線性算子

其中X′=（x′1，x′2，…，x′N）。

性質(zhì)1 Hirota雙線性算子Dx1，Dx2，…DxN，Dt有如下性質(zhì)

其中ξi=kix1+lix2+…+σixN+ωit+εi，i=1，2，ki，li，…，σi，ωi，εi是常數(shù)。此外，我們有

其中F（Dx1Dx2，…，DxN，Dt）是關(guān)于雙線性算子Dx1，Dx2，…，DxN，Dt的多項(xiàng)式。這些性質(zhì)在導(dǎo)出Hirota雙線性形式以及構(gòu)造非線性方程的周期波解方面具有重要作用。下面我們介紹Riemann theta函數(shù)以及它的周期性。

定義2 Riemann theta函數(shù)

其中，m∈Z，參數(shù)s，ε∈C，變量ξ∈C，τ＞0是Riemann theta函數(shù)的周期矩陣。

定義3 設(shè)g（t）是復(fù)數(shù)域C 上周期函數(shù)，基本周期T1，T2，…，Tk∈C，如果T1，T2，…，Tk是線性依賴于整數(shù)Z 且存在Ck上的函數(shù)G（y1，y2，…，yk）滿足

那么g（t）是復(fù)數(shù)域C 上的擬周期函數(shù)。

特別地，當(dāng)k=2時(shí)，g（t）稱為是雙周期函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)Tj=mjT 時(shí)，g（t）是關(guān)于周期T 的周期函數(shù)。

性質(zhì)2 Riemann theta函數(shù)?（ξ，τ）具有周期性

特別地，我們把向量l和iτ 稱為是?（ξ，τ）關(guān)于乘數(shù)l和exp（-2πiξ+πτ）的周期。

性質(zhì)3 設(shè)f（ξ）是復(fù)數(shù)域C 上的亞純函數(shù)

則有

也就是說(shuō)f（ξ）是關(guān)于l和iτ 的周期函數(shù)。

其中，∑μ=0，1是關(guān)于μ=0，1的兩種不同的變換。x，y，t的雙線性公式由?x，?y，?t代替。

一般地，關(guān)于算子Dx，Dt，Dy的多項(xiàng)式算子F（Dx，Dt，Dy）則有下面重要的公式

其中

由（11）和（12）式我們可以知道如果

的周期波解。

公式（13）為我們提供了求解非線性方程周期波解的獨(dú)一無(wú)二的方法。只要求出方程的雙線性形式，那么我們可以從公式（13）中直接獲得它的周期波解。

定義4 設(shè)f=f（x1，x2，…，xn）是具有n個(gè)變量的C∞函數(shù)，則稱

為多維Bell多項(xiàng)式。特別地，當(dāng)f=f（x，t）時(shí)，由（15）可得

設(shè)

則這種只含有函數(shù)v和w 的Bell多項(xiàng)式稱為雙Bell多項(xiàng)式。由（17）式可得

二元Bell多項(xiàng)式與Hirota雙線性D 算子之間有如下的關(guān)系

其中，n1+n+…+nl≥1。特別的，當(dāng)f=g 時(shí)，由（19）式可得

由（20）式可得

根據(jù)雙線性算子和Hopf-Cole變換v=lnΨ 之間的關(guān)系。特別地

下面，我們利用以上理論，討論擴(kuò)展KP 方程的周期波解以及可積性質(zhì)，包括雙線性表示、Lax 對(duì)、B?cklund變換和無(wú)窮守恒律。

3 方程（1）的周期波解與可積性質(zhì)

在方程（1）中，令u=q2x，積分兩次可得

其中，c為積分常數(shù)，令

所以

令q=2lnf?u=q2x=2（lnf）2x，則方程（1）的雙線性導(dǎo)數(shù)形式為

在求解孤子解時(shí)常數(shù)c可以為零，但在求周期波解時(shí)非零常數(shù)c具有重要作用，在應(yīng)用時(shí)不可以省略。

當(dāng)c=0時(shí)，方程（1）的單孤子解

其中，η=kx+ry+ ［（k4+3y2+3k2）／k ］t+h，k，r，h 是常數(shù)。下面我們討論（23）的周期性。函數(shù)f 選作Riemann theta函數(shù)，也就是說(shuō)，

其中，變量ξ=αx+βy+ωt+σ。由性質(zhì)3可得

即孤子解u是關(guān)于基本周期l和iτ 的周期函數(shù)。

引進(jìn)如下的記號(hào)

把（28）帶入（26），利用公式（13）和（30），可以得到如下的線性關(guān)系：

其中

由（31）式我們可以得到ω，c的精確解

因此，我們得到方程（1）的周期波解

其中，?（ξ，τ）是由（4）式給出，且s=ε=0，參數(shù)ω，c由（33）式給出，其它的變量α，β，σ都是自由的。

下面我們討論周期波一些特征以及漸進(jìn)性質(zhì)。周期波解（34）具有如下一些簡(jiǎn)單性質(zhì)。

（1）關(guān)于變量ξ是一維的。

（2）關(guān)于變量ξ有兩個(gè)基本周期l和iτ。

（3）速度參數(shù)ξ是由

給出。

（4）在一個(gè)周期中，只有一個(gè)波模式，可以視為是一個(gè)平行疊加重疊的孤子波。

現(xiàn)在，我們更深一層的討論周期波解的漸進(jìn)性質(zhì)。即周期波解（34）和單孤子解（27）它們之間有如下的關(guān)系。

定理2 如果向量（ω，c）T是（31）式的一個(gè)解并且是（33）式的周期波解，令

其中k，γ，h是由（27）式給出，那么有如下的漸進(jìn)關(guān)系，當(dāng)ρ→0時(shí)，

這說(shuō)明在一個(gè)很小振幅限制下，周期波解（34）趨近于單孤子解（27），即當(dāng)ρ→0時(shí)

證明 我們把（31）式的系數(shù)展開則有

把（31）式的解寫成如下形式

把（39）式和（40）式代入（31）式，根據(jù)第二個(gè)方程ρ的系數(shù)，令ρ→0，則我們可以立即得到如下的關(guān)系

有下面的解

結(jié)合（36）和（41）當(dāng)ρ→0時(shí)

因此，我們可以得到如下結(jié)論，當(dāng)ρ→0時(shí)

接下來(lái)，我們討論當(dāng)ρ→0時(shí)，周期波解（34）式的漸進(jìn)性質(zhì)。把Riemann theta函數(shù)?（ξ，τ）展開，并利用（44）式的表達(dá)式，有如下結(jié)論，當(dāng)ρ→0時(shí)

所以，我們有當(dāng)ρ→0時(shí)，周期波解（34）趨近于孤子解（27）。

下面我們討論方程（1）的可積性質(zhì)：

其中

令

則有

故（47）式可以化為

（51）式兩邊對(duì)x 積分，并取積分常數(shù)為零可得

由（49）和（52）式可得方程（1）的B?cklund變換，

設(shè)υ=lnψ，ω=υ+q 由（22）式可知

因此，由方程（49）和（52），我們可以得到方程（1）的Lax對(duì)

把（56）式代入（49）式，得到Riccati-type方程

把（56）式代入（52）式，得到divergence-type方程

令

并代入（57）式，我們得到In的遞推關(guān)系式

把（59）代入（58）可得，

因此，我們得到方程（1）的無(wú)窮守恒律

其中

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