兩平行構(gòu)型雙框架磁懸浮變速控制力矩陀螺操縱律設(shè)計(jì)

孫宏麗，項(xiàng) 飛，李結(jié)凍，曹震宇，譚天樂

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 200233；2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200233）

0 引言

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，動量交換裝置因其輸出范圍大、響應(yīng)快且可連續(xù)變化、不消耗工質(zhì)等優(yōu)點(diǎn)日益頻繁地用于航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)［1］。DGMSCMG不僅能滿足高精度、長壽命要求，而且可降低姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)的體積和質(zhì)量，是航天器實(shí)現(xiàn)高精度和快速機(jī)動姿控的理想執(zhí)行機(jī)構(gòu)［2］。目前，將磁懸浮SGCMG作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)已有實(shí)際應(yīng)用，如1986年發(fā)射的和平號空間站，但對其動力學(xué)與控制系統(tǒng)的研究并未見深入報道［3］。

文獻(xiàn)［4］獲得了應(yīng)用于航天器的磁懸浮內(nèi)轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型，用仿真分析各部分的耦合影響。對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制，文獻(xiàn)［5］分析了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速與穩(wěn)定性的關(guān)系。但這些研究都是分析靜框架下的轉(zhuǎn)子特性，均未考慮載體運(yùn)動的影響。文獻(xiàn)［6］分析了DGMSCMG的動力學(xué)耦合機(jī)理，提出了一種基于復(fù)合控制的補(bǔ)償方法對磁懸浮轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性進(jìn)行控制，但僅限于靜基座下DGMSCMG的動框架效應(yīng)補(bǔ)償。文獻(xiàn)［7］研究了平行構(gòu)型變速控制力矩陀螺群的控制律及其在航天器姿態(tài)控制中的應(yīng)用。通?？刂屏赝勇菰谧藨B(tài)控制中，需解決框架構(gòu)型奇異的情況，設(shè)計(jì)的控制律可在一定程度上避免奇異。平行構(gòu)型CMG避免奇異的性能較好，能在多數(shù)情況下順利地避免奇異，但有些情況避免奇異時會有時間延遲，適于單軸航天器姿態(tài)機(jī)動情況。

為用VSDGCMG實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)控制，須設(shè)計(jì)良好的操縱律，將姿態(tài)控制所需的力矩指令分解為每個VSDGCMG的框架CMG和飛輪RW指令，在操縱律設(shè)計(jì)中考慮CMG，RW模式的切換［8］。本文研究了兩VSDGCMG的操縱律設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)。

1 坐標(biāo)系定義

為便于基于磁懸浮VSDGCMG的航天器動力學(xué)建模，定義以下各坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 各坐標(biāo)系示意Fig.1 Sketch of coordinates

慣性坐標(biāo)系Oi－xiyizi：用地心赤道坐標(biāo)系替代慣性坐標(biāo)系，原點(diǎn)Oi位于地心，Oixi、Oizi軸分別指向春分點(diǎn)和北極，并與Oiyi軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

質(zhì)心軌道坐標(biāo)系O－xoyozo：以航天器質(zhì)心O為原點(diǎn)，滾動軸Oxo沿軌道平面與當(dāng)?shù)厮矫娴慕痪€，指向前進(jìn)方向；偏航軸Ozo軸沿當(dāng)?shù)卮咕€指向地心；俯仰軸Oyo軸垂直于軌道平面。O－xoyozo系在空間以衛(wèi)星的軌道角速度ωo繞Oyo軸旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)方向與Oyo軸的方向相反。

星體主軸坐標(biāo)系（本體系）O－xbybzb：原點(diǎn)O為航天器質(zhì)心，Oxb、Oyb、Ozb軸固定在衛(wèi)星本體上，且分別為衛(wèi)星的三個慣量主軸。設(shè)［φθψ］T為航天器相對軌道坐標(biāo)系的3－1－2Euler角。

零位置坐標(biāo)系（零系）O－xsyszs：外框架坐標(biāo)系在零位置時與之重合。零系與本體系固連，Csb為零系至本體系的轉(zhuǎn)換矩陣，與各磁懸浮VSDGCMG在航天器上的安裝方位（即CMG的構(gòu)型）有關(guān)，為常值矩陣。

外框坐標(biāo)系O－xjyjzj：與外框固連，θj為外框架角度，轉(zhuǎn)子繞Oyj軸的轉(zhuǎn)動角度，以ωj為正時轉(zhuǎn)角為正值。

內(nèi)框坐標(biāo)系O－xgygzg：與內(nèi)框固連，θg為內(nèi)框架相對轉(zhuǎn)動角度，轉(zhuǎn)子繞Oxg軸的轉(zhuǎn)動角度，以ωg為正時轉(zhuǎn)角為正值。

轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系O－xryrzr：與轉(zhuǎn)子固連，相對內(nèi)環(huán)坐標(biāo)系僅有關(guān)于Ozr軸的自轉(zhuǎn)自由度，轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角為Ωt。

令Ω為常值角速度矢量，在轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系中表示為［0 0Ω］T；Cba為從坐標(biāo)系a至坐標(biāo)系b的正交坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣；y／m為矢量y在m系中的投影；Jb，Jj，Jg，Jr分別為航天器本體、外框架、內(nèi)框架、磁懸浮轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量陣；x×為任一向量x×＝［x1x2x3］T的斜對稱陣。

2 操縱律設(shè)計(jì)

2.1 動力學(xué)方程

將兩VSDGCMG平行安裝在剛體航天器上，如圖2所示。圖中：gji，ggi，gsi分別為第i個 VSDGCMG的外框架軸向單位矢量、內(nèi)框架軸向單位矢量和轉(zhuǎn)子軸向單位矢量；gt1＝gj1×gs1，gt3＝gg3×gs3分別為第1個VSDGCMG外、內(nèi)框架角速率輸出力矩方向上的單位矢量；gt2＝gj2×gs2，gt4＝gg1×gs1分別為第2個VSDGCMG外框架角速率輸出力矩方向上的單位矢量。

圖2 兩VSDGCMGFig.2 Parallel variable speed double gimbaled control moment gyros

因框架角速率及航天器角速度遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，故可忽略其對系統(tǒng)角動量的影響。設(shè)第i個VSDGCMG轉(zhuǎn)子的極轉(zhuǎn)動慣量為Jri，角速度為Ωi，則其角動量hi＝JriΩigsi。則兩VSDGCMG的總角動量

將H對時間求導(dǎo)，即得兩平行構(gòu)型VSDGCMG的輸出力矩，合成的陀螺力矩寫成矩陣形式MB，則有

2.2 模式切換算法

兩VSDGCMG操縱律設(shè)計(jì)的核心是根據(jù)姿態(tài)控制所需指令力矩Lr＝MB－FΩ，產(chǎn)生框架角速率指令和內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)子角加速度指令。通過設(shè)計(jì)模式切換算法可將姿態(tài)控制所需Lr分解為CMG指令力矩LCMG和RW指令力矩LRW。

式（2）可分解為

2.3 CMG操縱律

VSDGCMG的框架角分布決定了框架角速率輸出力矩方向，故決定其CMG奇異狀態(tài)。為定量描述VSDGCMG的CMG奇異狀態(tài)，需定義CMG奇異測度函數(shù)?；趦蒝SDGCMG的CMG奇異測度函數(shù)設(shè)計(jì)零運(yùn)動，可改變其框架角分布，使其逃離CMG奇異。定義矩陣

則D中各向量的三維空間分布表征了兩VSDGCMG的CMG模式三維力矩輸出能力，用該矩陣的奇異值可設(shè)計(jì)出兩VSDGCMG的CMG奇異測度函數(shù)。

定義CMG奇異測度函數(shù)

式中：σ1，σ3分別為D奇異值分解后所得最大和最小奇異值，可表示成ρ的函數(shù)。κ值越接近0，表明D越遠(yuǎn)離奇異，即CMG越遠(yuǎn)離奇異。

考慮奇異回避及能量消耗，得控制目標(biāo)函數(shù)

式中：W1為正定加權(quán)陣；Δt為達(dá)到框架角指令的時間。

為獲得式（7）的最小范數(shù)解，可在目標(biāo)函數(shù)中引入Lagrange乘子向量λ1，

則L1）的極小值條件為

可得

式中：g為CMG輸出力矩方向。將式（14）代入式（7）可得

將式（15）代入式（14）得

2.4 RW 操縱律

考慮內(nèi)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速均衡及能量消耗，得控制目標(biāo)函數(shù)

式中：W2，Z為正定加權(quán)陣；為目標(biāo)轉(zhuǎn)子角加速度，且

式（19）中，Ωd為需逼近的目標(biāo)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，取其為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的均值。

在目標(biāo)函數(shù)中引入Lagrange乘子向量λ2，有

L2（）的極小值條件為

則可得內(nèi)轉(zhuǎn)子的

式（16）、（17）、（22）、（23）即為兩 VSDGCMG操縱律。

3 仿真分析

圖3 VSDGCMG 1外框架角Fig.3 Angular of outer gimbals of VSDGCMG 1

由仿真結(jié)果可知：本文的兩VSDGCMG操縱律能保證VSDGCMGs的輸出力矩跟蹤姿態(tài)控制指令力矩，在輸出力矩的過程中，VSDGCMG的框架角速度平滑變化，降低了伺服電機(jī)的控制難度。

圖4 VSDGCMG 1外框架角速度Fig.4 Angular velocity of outer gimbals of VSDGCMG 1

圖5 VSDGCMG 2外框架角Fig.5 Angular of outer gimbals of VSDGCMG 2

圖6 VSDGCMG 2外框架角速度Fig.6 Angular velocity of outer gimbals of VSDGCMG 2

圖7 VSDGCMG 1內(nèi)框架角Fig.7 Angular of inner gimbals of VSDGCMG 1

圖8 VSDGCMG 1內(nèi)框架角速度Fig.8 Angular velocity of inner gimbals of VSDGCMG 1

圖9 VSDGCMG 2內(nèi)框架角Fig.9 Angular of inner gimbals of VSDGCMG 2

圖10 VSDGCMG 2內(nèi)框架角速度Fig.10 Angular velocity of inner gimbals of VSDGCMG 2

圖11 指令力矩Fig.11 Order torques

圖12 輸出力矩Fig.12 Output torques

4 結(jié)束語

本文研究了平行構(gòu)型VSDGCMG的操縱律設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)。綜合了平行構(gòu)型的優(yōu)點(diǎn)和控制力矩陀螺轉(zhuǎn)子的可變速性的特點(diǎn)，將每一對框架軸平行的VSDGCMG作為獨(dú)立的單元控制。引入與陀螺框架運(yùn)動相關(guān)的動坐標(biāo)系，在構(gòu)型奇異狀態(tài)下仍可控，且無力矩誤差。該控制算法簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)。

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