七星彩的中獎概率分布的計算問題

七星彩的中獎概率分布的計算問題*

劉永君

(河南機電高等?？茖W校 經(jīng)濟貿(mào)易系，河南 新鄉(xiāng) 453000)

摘要:論文根據(jù)計算和分析需要提出了相符位、分隔位、片段、片段長度、同長片段數(shù)等概念并論證了這些變量的取值規(guī)律,窮舉出片段所有可能的組合,共22種,不同的片段排列就有不同的投注號碼,在相同條件下,一個分隔位被其他9個數(shù)字中的一個替換掉也可生成一個不同的投注號碼,然后遵循古典法計算概率的規(guī)則和投注號碼的數(shù)量計算七星彩的中獎概率分布就變得簡潔明了,論文最后還檢驗了概率分布的計算結(jié)果。

關鍵詞:相符位；分隔位；片段；片段長度；同長片段數(shù)；片段排列數(shù)

收稿日期：*2015-01-10

作者簡介：劉永君(1971-),男,河南溫縣人,副教授，主要從事統(tǒng)計與管理研究。

中圖分類號：O211.2

七星彩是由國家體育總局體育彩票管理中心統(tǒng)一發(fā)行的彩票。從0-9這10個自然數(shù)中可重復地任意選擇7個有序數(shù)字就組成一注七星彩的投注號碼。每一注投注號碼的獲獎等級是根據(jù)其與開獎號碼的相符情況確定的,具體情況如表所示。七星彩的游戲規(guī)則規(guī)定每注投注號碼只有一次中獎機會,不兼中兼得。[1]

表1　七星彩投注號碼的獲獎等級表

由于七星彩的獲獎規(guī)定與二項概率分布模型不一致,不能使用二項分布模型計算。部分媒體發(fā)布的七星彩中獎概率分布也存在較大的差異,具體情況如表2所示。因此,七星彩獲獎概率分布問題是一個值得研究的問題。

表2　部分媒體公布的七星彩概率分布表

1組合與排列法計算七星彩獲獎概率分布的基本概念

1.1分隔位、相符位的概念

七星彩的投注號碼是從“0000000”“0000001”“0000002”…“9999999”這10000000個號碼中選擇的號碼,共有10000000種可能。

根據(jù)七星彩的開獎結(jié)果,任何一注七星彩的7位數(shù)字可以被分成“分隔位”和“相符位”兩種。具體來說,投注號碼中的某個數(shù)字如果與開獎號碼相應位置上數(shù)字不同,這個數(shù)字所處的位置就叫作“分隔位”,用0表示,如果與開獎號碼相應位置上的數(shù)字相同,這個數(shù)字所處的位置就叫作“相符位”,用1表示。

用t表示一注投注號碼的相符位數(shù),用h0表示投注號碼的分隔位數(shù),顯然,t+h0=7。

1.2片段、片段總數(shù)、片段長度、關鍵片段的概念

片段:一注投注號碼中相連的相符位整體,稱為片段。一個與其他相符位不相連的、獨立的相符位也是一個片段。

片段總數(shù):一注投注號碼中包括的片段數(shù)量,用g表示。如果一注號碼中沒有相符位,則g=0。

片段長度:一個片段中包括的相符位數(shù)的多少稱為片段長度。長度是片段的一個重要特征,每個片段都可用其長度表示。由獨立的相符位構(gòu)成的片段的長度為1。

關鍵片段:一注投注號碼中長度最大的片段稱為關鍵片段。

關鍵片段決定一注投注號碼的獲獎等級,關鍵片段的長度用h1表示,其余片段按長度大小分別用h2、h3…h(huán)g表示。

需要強調(diào)的是:hi表示第i個(按長度大小排列)片段的長度,如果同一投注號碼中另一片段的長度與第i個相等,依然用hi+1表示。因此,hi為整數(shù),且7≥h1≥h2≥…≥hg≥1。

例如:對于形如“0111111”的投注號碼,其中的片段“111111”是不可分割的一個整體。因此形如“0111111”的投注號碼有且僅有一個片段,這個片段由是由6個(h1=6)連續(xù)相符位組成的一個(g=1)片段;對于形如1101111的投注號碼,g=2,h1=4,h2=2;對于形如1010101的投注號碼,g=4,h1=h2=h3=h4=1。

1.3同長片段數(shù)的概念

用zi表示一注投注號碼中,片段長度的第i(由大到小順序排列)個值,即z1>z2>z3>…>zk。用mi表示第i(由大到小順序排列)個片段長度值zi在一注投注號碼中出現(xiàn)的次數(shù)。顯然有:

zi為整數(shù)且7≥zi≥1;

本文定理4和定理5將證明:在一注投注號碼中,zi最多可以取兩個不同的值,即只存在z1或只存在z1、z2。若zi可以取z1、z2兩個值,那么,與z1、z2相應的次數(shù)m1、m2中至多有一個大于1。

我們稱m1與m2的最大值為同長片段數(shù),用字母m表示。

2變量hi、g、t、zi、mi之間的數(shù)量關系

定理2一注投注號碼中,最多有4個片段,即g≤4。

證明:兩個片段之間至少被一個分割位隔開,g≤h0+1

g≤4,即:一注七星彩投注碼最多有4個片段。

定理3對于一注投注號碼,若存在4個片段,即g=4,則這4個片段的長度都為1,即:h1=h2=h3=h4=1。

證明:g=4,g≤h0+1,h0≥3

由于h1、h2、h3…h(huán)g表示的是片段的相符位數(shù),因此,hi為大于等于1的整數(shù), 必然有:h1=h2=h3=h4=1。

定理4一注投注號碼中片段的長度最多有兩個互不相同的取值。

證明采用反證法。設一注投注號碼中的片段存在3個互不相同的長度值z1、z2、z3,即投注號碼中有3個長度互不相同的片段,即g=3。由于存在3個片段,至少需要兩個分割位,即h0≥2。

令z1、z2、z3分別取它們的最小值,分別為3、2、1。則相符位數(shù):

t=z1+z2+z3=3+2+1=6

由此可得t+h0≥6+2=8,這與七星彩的相符位數(shù)與分割位數(shù)之和比為7,即t+h0=7相矛盾。因此可以肯定:一注投注號碼中的片段最多有兩種長度值。

定理5若一注投注號碼中的片段有兩種不同的長度值z1、z2,相應的次數(shù)分別為m1、m2,則m1、m2中至多有一個大于1。

證明采用反證法:m1+m2=g,z1m1+z2m2=t,g≤h0+1

t+g≤t+h0+1,即:z1m1+z2m2+(m1+m2)≤t+h0+1=8

(z1+1)m1+(z2+1)m2≤8

若m1、m2中的最小值為2,則:

8≥(z1+1)m1+(z2+1)m2≥2×[(z1+1)+(z2+1)]=2×(z1+z2)+4

z1+z2≤2,因此,z1、z2均為1,這與z1、z2為不同的值相矛盾。

3七星彩各個獲獎等級的投注號碼數(shù)量計算

計算七星彩各個獎級的投注號碼數(shù)量計算是計算獲獎等級概率分布的關鍵,計算每一獎級的投注號碼數(shù)量需要先列出片段的組合情況,然后計算每一種組合的排列數(shù),最后計算由于分割位不同形成的投注號碼數(shù)。這個過程的關鍵仍然是找出其中的規(guī)律,簡化計算過程,防止重復和遺漏。

3.1各獲獎等級的片段組合情況列表

組合情況就是不考慮片段在投注號碼中的位置,即:將若干注投注號碼中的片段按長度排列,若兩注號碼的片段數(shù)量和長度依次相等,它們就屬于同一種組合。

h1的大小決定投注號碼的獲獎等級,七星彩各獲獎等級的投注號碼中片段的組合情況就是在給定h1的情況下,h2以及h3、h4的取值情況。

顯然h1的最大取值為7,可以取“7、6、5、4、3、2、1、0”這8個值中的任意一個值,有8種情況。由于h1≥h2≥h3≥h4,當hk=0時,hk=hk+1=hk+2=0。

片段長度的實際取值可以等于或小于其最大取值。

在給定h1的情況下,第2個片段長度h2最大取值的計算公式為:

max{min[(6-h1),h1],0}

例如:當h1=4時,h2的最大值為2。h2的值可以為“2、1、0”三個值中的任意一個值。

在給定h1、h2的情況下,第3個片段長度h3最大取值的計算公式為:

例如,當h1=3、h2=1時,h3的最大值為1,h3的值可以為1、0兩種情況;當h1=1、h2=1時,h3的最大值任然為1,h3的值可以為1、0兩種情況。

在給定h1、h2、h3的情況下,第4個片段長度h4最大取值的計算公式為:

例如,h1=1、h2=1、h3=1時,h4的最大值為1,h4的值可以為1、0兩種情況。

根據(jù)上述方法和規(guī)則,可以窮舉h1、h2、h3、h4可能的取值,具體情況如表3所示,共22種。

3.2每種片段組合的排列數(shù)計算

表3　七星彩投注號碼的片段組合、排列及投注號碼數(shù)量分布情況表

Ai,j中的下標i表示獲獎等級,j表示同一獲獎等級下不同組合的編號。各個獎級每種片段組合的排列數(shù)計算結(jié)果如表3第(5) 列所示。

例如,對于表3中的6等獎的第3種組合,長度為2的片段1個,長度為1的片段2個,即g=3,h0+1=4,m=2。這種組合的排列數(shù)為:

用0和1表示這12種排列,它們分別是:0110101、0101101、0101011、1100101、1001101、1001011、1101001、1011001、1010011、1101010、1011010、1010110。

3.3 每種排列投注號碼數(shù)量的計算

每種排列下,投注號碼數(shù)的多少與分割位數(shù)有關,每一個分割位就有9種可能供選擇,一個排列中有h0個分割位,就有9h0種投注號碼。因此,每種排列可能的投注號碼數(shù)的計算公式為:

ni,j=Ai,j×9h0

每種排列投注號碼的數(shù)量如表3所示。

3.4各獎級投注號碼的數(shù)量及獲獎概率的計算

某一獎級投注號碼數(shù)等于該獎級下每種組合投注號碼數(shù)量的和。其計算公式為:

各獎級投注號碼的數(shù)量及各獎級的獲獎概率如表4所示。

表4　各獎級的投注號碼數(shù)量

根據(jù)計算可以看出:一注七星彩投注號碼不獲獎的概率高達94.513%,獲獎的概率不足5.4%。

4對七星彩投注號碼獲獎計算結(jié)果的驗算

為避免投注號碼數(shù)量的重復和遺漏,對中間的關鍵過程進行檢驗是必要的。需要檢驗的有兩個中間結(jié)果,一是根據(jù)二項分布檢驗需要檢驗的就是不同片段組合的排列數(shù)總和。

(1)驗算片段組合的排列數(shù)是否正確

一注七星彩有7個號位,每個號位都有相符和不相符兩種可能。因此,投注號碼按照每個號位與開獎號碼是否相符來分應該有27=128種。

根據(jù)表3可以看出,22種片段組合的排列數(shù)總和為128。

(2)驗算7位投注號碼選對0～7位的概率是否與二項分布模型的結(jié)果一致

一注七星彩的7個號位,每個號位是否與開獎號碼相符的概率相等且相互獨立,每個號位與開獎號碼相符的概率為0.1,不相符的概率為0.9,因此,一注七星彩7個號位碼與開獎號碼相符位數(shù)為t的概率應該是服從二項分布的。對表3第(7) 列的投注號碼數(shù)量按與開獎號碼位數(shù)相符t的分類統(tǒng)計如表5所示。二項分布計算的概率與統(tǒng)計出來的比重完全相符。

表5　二項分布概率表與投注號碼與

(責任編輯呂春紅)

參考文獻:

[1] 中國體彩網(wǎng).七星彩玩法介紹[EB/OL].http://www.lottery.gov.cn/news/10006627.shtml,2011-01-21/2014-02-16.

[2] 吳中寶.彩票中獎概率全解析[J].章回小說(中旬刊專題版),2011，(8):24.

[3] 丁雪梅.七星彩的中獎概率問題[J].科技信息,2009，(8):422.

[4] 李海玉.體育彩票的概率分析[J].清遠職業(yè)技術(shù)學院學報,2010，(6):88.