BTA鉆桿系統(tǒng)的渦動(dòng)偏心及壓電控制研究

BTA鉆桿系統(tǒng)的渦動(dòng)偏心及壓電控制研究*

苗鴻賓a,b，邱泉水a(chǎn),b，江敏a,b

(中北大學(xué) a.機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院；b.山西省深孔加工工程技術(shù)研究中心，太原030051)

摘要：對(duì)BTA鉆桿系統(tǒng)偏心運(yùn)動(dòng)的控制方法進(jìn)行了研究，分析了鉆桿系統(tǒng)的偏心運(yùn)動(dòng)方式和受力情況。基于線性二次型(LQR)最優(yōu)模態(tài)控制，提出了一種壓電主動(dòng)控制方法。利用壓電BTA鉆桿理論，結(jié)合MATLAB軟件對(duì)渦動(dòng)控制進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果驗(yàn)證了壓電主動(dòng)控制方法的合理性，對(duì)BTA鉆桿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性控制的研究具有理論意義。

關(guān)鍵詞：BTA鉆桿；渦動(dòng)偏心；壓電控制

文章編號(hào)：1001-2265(2015)09-0091-04

收稿日期：2014-11-28；修回日期：2014-12-25

基金項(xiàng)目：*國(guó)家自然科學(xué)

作者簡(jiǎn)介：苗鴻賓(1970—)，男，山西陽(yáng)泉人，中北大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)樯羁准庸ぜ夹g(shù);

中圖分類號(hào)：TH113；TG65

The Research of Eccentric Motion of Whirling and Piezoelectric Control of

BTA Deep-hole Drill Pipe System

MIAO Hong-bina,b，QIU Quan-shuia,b，JIANG Mina,b

(a.School of Mechanical and Power Engineering;b.Shanxi Province Deep Hole Machining Center，North University of China，Taiyuan 030051，China)

Abstract：The control method of eccentric motion of BTA deep-hole drill pipe system is studied，and the eccentric motion mode and stress distribution of the system are analysed．Based on the linear quadratic regulator (LQR) modal control，a kind of piezoelectric active control method is proposed．Using the theory of piezoelectric BTA drill pipe，and combined with MATLAB software to simulate the control of whirling．The simulation verifies the rationality of the method of piezoelectric active control，and it has theoretical significance for the BTA drill pipe system movement stability control research．

Key words： BTA drill pipe；eccentricity of whirling；piezoelectric control

0引言

深孔加工是指鉆削長(zhǎng)徑比能達(dá)到五倍以上的一種加工工藝，其鉆桿結(jié)構(gòu)細(xì)長(zhǎng)，剛度較差，容易出現(xiàn)振動(dòng)偏心、彎曲變形等。深孔加工中的鉆桿由于振動(dòng)偏心及不平衡力作用的影響，使鉆桿系統(tǒng)存在著公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，因而形成渦動(dòng)[1]。渦動(dòng)是一種偏心運(yùn)動(dòng)，因此本文著重對(duì)鉆桿的偏心運(yùn)動(dòng)及其控制方法進(jìn)行了研究。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)深孔鉆桿穩(wěn)定性的研究還比較少，更多的是在石油鉆桿上的研究。在渦動(dòng)方面，1986年，F(xiàn)ujii等[2]研究發(fā)現(xiàn)不同刃弧角度刀具對(duì)鉆桿的渦動(dòng)行為有影響，闡述了渦動(dòng)發(fā)展規(guī)律和抑制鉆桿振動(dòng)的方法。Gessesse等[3]通過實(shí)驗(yàn)研究了在深孔加工中孔壁螺旋刮痕的形成原因。Zhou等[4]借助動(dòng)態(tài)模型分析中的技術(shù)和方法來抑制旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的振動(dòng)?？琢铒w等[5]研究了鉆桿系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)，基于轉(zhuǎn)速、偏心等情況下，建立了鉆桿的流體動(dòng)壓模型。在壓電控制方面，Palazzolo等[6]在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中利用壓電致動(dòng)器控制主動(dòng)振動(dòng)，而控制傳感器為兩個(gè)渦流傳感器。Lee等[7]最早給出了模態(tài)傳感器與模態(tài)驅(qū)動(dòng)器的設(shè)計(jì)方法，并用于控制梁的橫向偏心振動(dòng)，取得了較好的控制效果。

深孔鉆桿系統(tǒng)的渦動(dòng)及其控制研究正逐步引起廣大學(xué)者的關(guān)注。正是由于渦動(dòng)現(xiàn)象對(duì)鉆桿穩(wěn)定性和深孔加工的重要影響，筆者在前人的基礎(chǔ)上，對(duì)鉆桿系統(tǒng)的渦動(dòng)行為進(jìn)行了全面地分析和研究，同時(shí)利用壓電主動(dòng)控制方法來實(shí)現(xiàn)對(duì)鉆桿渦動(dòng)偏心的控制。研究結(jié)果對(duì)于BTA深孔加工的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性研究具有理論和實(shí)際意義。

1BTA鉆桿系統(tǒng)的渦動(dòng)偏心

圖1　鉆桿渦動(dòng)在孔壁上產(chǎn)生的螺旋刮痕

偏心運(yùn)動(dòng)是鉆桿的一種典型失穩(wěn)現(xiàn)象，其對(duì)BTA加工系統(tǒng)的加工精度、加工效率以及刀具的耐用度等都有很大影響。其形成原因是偏心鉆桿軸線做擺轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。由圖1所示的孔壁的橫向和縱向截面可以看出，加工孔內(nèi)壁有一圈圈的刮痕，并呈螺旋形分布，這是因?yàn)殂@桿在偏心運(yùn)動(dòng)的同時(shí)還有進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。

圖2　BTA鉆桿整體受力模型

如圖2所示，鉆桿形心軌跡為(x，y)，則轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡為(x+excosωt+eysinωt，y+eycosωt-exsinωt)，其中ex和ey為鉆桿質(zhì)心在x和y方向上的偏心分量。圖中Flx和Fly為切削液流體力在x和y方向上的分量，假設(shè)不隨角度變化而改變。Fcx和Fcy為鉆削力在x和y方向上的波動(dòng)分量，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求出鉆桿的動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

式中，m為鉆桿質(zhì)量；ω為鉆桿角速度；E、I為鉆桿的彈性模量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩；l為鉆桿長(zhǎng)度。

深孔加工中，不計(jì)縱向運(yùn)動(dòng)，在鉆桿接觸到孔壁之前，其橫向運(yùn)動(dòng)可以分解為三種形式：鉆桿的徑向擺動(dòng)、鉆桿繞孔眼中心的公轉(zhuǎn)、鉆桿繞自身軸線的自轉(zhuǎn)。而在這三種形式并存時(shí)，鉆桿的橫向受力可能是不平衡的。當(dāng)鉆桿旋轉(zhuǎn)鉆削時(shí)，其受力較為復(fù)雜，不僅受到鉆頭部位傳遞過來的切削力和鉆桿本身彎曲變形所產(chǎn)生的彈性力，還受到液固耦合產(chǎn)生的擾動(dòng)力。其中鉆桿的切削力不是引起鉆桿渦動(dòng)角頻率變化的原因，因而不參與計(jì)算。綜合起來，流體力是影響鉆桿渦動(dòng)的主要原因，其它微小影響因素忽略不計(jì)[8]，如圖3所示。

圖3　鉆桿動(dòng)力學(xué)平衡示意圖

若設(shè)渦動(dòng)存在，則可建立鉆桿動(dòng)力學(xué)平衡方程：

mδ″=mδω2+F-Fε-Fk

(2)

式中，m為鉆桿渦動(dòng)段的質(zhì)量；δ″為偏心方向上的加速度；δ為鉆桿的偏心距離；ω為鉆桿的渦動(dòng)頻率；F為內(nèi)切削液對(duì)鉆桿的流體擾動(dòng)力；Fε為外切削液對(duì)鉆桿的流體擾動(dòng)力；Fk為鉆桿變形產(chǎn)生的彈性力。

2BTA鉆桿系統(tǒng)的壓電控制

本文基于LQR最優(yōu)模態(tài)控制來設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，建立機(jī)電耦合的壓電BTA鉆桿結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)BTA鉆桿的偏心運(yùn)動(dòng)進(jìn)行抑制。其方法是把壓電陶瓷片粘貼在鉆桿表面，即形成壓電 BTA 鉆桿結(jié)構(gòu)，壓電傳感器接收振動(dòng)偏移信號(hào)，控制處理器收到信號(hào)，信號(hào)放大器把信號(hào)放大傳給執(zhí)行元件，觸發(fā)其對(duì)鉆桿產(chǎn)生動(dòng)作，使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相應(yīng)的應(yīng)變，進(jìn)而改變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)阻尼，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)偏心運(yùn)動(dòng)的控制。

2.1線性二次型最優(yōu)控制法(LQR)

線性二次型最優(yōu)控制法(LQR)[9]是按指定要求使系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的某一性能指標(biāo)。如果控制系統(tǒng)是線性的，性能泛函是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這樣的最優(yōu)控制問題稱為二次型最優(yōu)控制問題，簡(jiǎn)稱線性二次型。線性二次型問題解出的控制規(guī)律是狀態(tài)變量的線性函數(shù)，通過狀態(tài)變量的反饋便可實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。

假設(shè)系統(tǒng)的線性狀態(tài)空間可表示為：

(3)

為研究各個(gè)向量之間的關(guān)系，引進(jìn)系統(tǒng)的二次性能泛函——存留能量指標(biāo)[10]：

(4)

式中，Q和R為控制輸入矩陣，可取

式中，α、β、λ為權(quán)系數(shù)。

若Q取值較大，則鉆桿的振動(dòng)衰減較快；當(dāng)R=0時(shí)的二次型最優(yōu)控制問題被稱為“最短響應(yīng)時(shí)間”問題；相反，若R取值較大，則可減少能耗。最優(yōu)問題的求解就是尋找最優(yōu)控制U，將系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)附近，并使二次性能泛函取最小值。其中：

(5)

式中，K為反饋增益矩陣；D為Riccati方程-DA-ATD+DBR-1BTD-Q=0的解[11]。

2.2BTA鉆桿的壓電控制

如圖4所示鉆桿外孔壁上均布四塊壓電片，壓電傳感結(jié)構(gòu)和壓電致動(dòng)結(jié)構(gòu)對(duì)貼于鉆桿的直徑上，兩者相互對(duì)稱。設(shè)鉆桿的有效長(zhǎng)度為L(zhǎng)，外徑和內(nèi)徑分別為D和d，x1、x2表示壓電片兩端到驅(qū)動(dòng)端的距離，壓電陶瓷片長(zhǎng)度、有效寬度和厚度分別為L(zhǎng)b、b和tb。假定壓電片和鉆桿外壁粘貼良好，不會(huì)脫落，同時(shí)不考慮壓電片對(duì)鉆桿系統(tǒng)特性的影響。

圖4　BTA鉆桿的壓電控制模型

對(duì)于壓電傳感設(shè)備，可得其傳感電壓：

(6)

對(duì)于壓電致動(dòng)設(shè)備，致動(dòng)器力為：

(7)

式中，Φi為固有振型；Ma為致動(dòng)器力矩；Ua為控制系統(tǒng)輸入致動(dòng)器的電壓；Ka為壓電耦合系數(shù)；h(x)為赫維賽德階躍函數(shù)。

(8)

2.3BTA鉆桿系統(tǒng)的壓電控制結(jié)構(gòu)

圖5是在普通深孔機(jī)床上添加一套控制系統(tǒng)，其中貼附在鉆桿上的是壓電陶瓷片，在這里充當(dāng)傳感器和執(zhí)行器，系統(tǒng)采用閉環(huán)反饋控制方法，其原理圖如圖6所示。

圖5　BTA鉆桿系統(tǒng)的壓電控制結(jié)構(gòu)圖

圖6　系統(tǒng)反饋控制原理圖

整個(gè)系統(tǒng)分為兩個(gè)部分：振動(dòng)結(jié)構(gòu)體和智能控制系統(tǒng)。振動(dòng)結(jié)構(gòu)體主要是BTA鉆桿系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)，則主要控制對(duì)象是鉆桿；而智能控制系統(tǒng)包括壓電傳感器、壓電執(zhí)行器、信號(hào)放大器、信號(hào)采集卡、控制平臺(tái)及控制算法等。

2.4BTA鉆桿系統(tǒng)的控制方程

(1)鉆桿振動(dòng)偏心方程

(9)

由固有振型展開定理，鉆桿偏心位移可用其固有振型{Φi}線性組合來表示，即：

(10)

式中，Φ=[Φ1(x)Φ2(x)…Φn(x)]為質(zhì)量歸一化后的固有振型矩陣；q=[q1(t)q2(t)…qn(t)]T為模態(tài)坐標(biāo)向量。

(2)鉆桿狀態(tài)方程

建立鉆桿系統(tǒng)的狀態(tài)空間動(dòng)力學(xué)模型，引入狀態(tài)空間向量，則有：

因此，式(8)和式(10)的狀態(tài)空間方程為：

(11)

式中，Y(t)為鉆桿系統(tǒng)的輸出，表示為鉆桿渦動(dòng)橫向位移；A、B和C分別為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣、系統(tǒng)控制矩陣和系統(tǒng)輸出矩陣，具體如下：

Ka=bd31Eb(tb+D)為壓電耦合系數(shù)，d31為壓電常數(shù)，b為壓電片寬度，Eb為鉆桿彈性模量，tb為壓電片厚度，D為鉆桿外徑。

(12)

其固有振型及一階導(dǎo)數(shù)為：

Φi(x)=sin(βix)+Dicos(βix)+

Eisinh(βix)+Ficosh(βix)

Eicosh(βix) +Fisinh(βix)

(13)

則有一階振動(dòng)模態(tài)：β1=1.875/L，D1=-0.091，E1=-1，F(xiàn)1=0.091。

3MATLAB控制仿真

結(jié)合鉆桿正則模態(tài)方程，利用LQR控制法對(duì)壓電鉆桿一階模態(tài)做仿真分析。

鉆桿參數(shù)：材料為45號(hào)鋼，彈性模量E=2.1×1011Pa，密度ρ=7.9×103kg/m3，長(zhǎng)度L=2000mm，外徑D=35mm，內(nèi)徑d=24mm。

壓電陶瓷片參數(shù)：彈性模量ED=6.3×1010Pa，壓電常數(shù)D31=-1.2×10-10C/N，厚度tb=5mm，有效寬度b=12mm，壓電陶瓷的電容率EP=7.3×10-12，電容量CP=5.8×10-12。

另設(shè)系統(tǒng)阻尼比ζ=0.1，初始條件X(0)=(0.01，0)。利用MATLAB編程，得到壓電控制下的鉆頭位移圖和控制電壓圖如下：

對(duì)比圖7~圖9，可以看出，基于LQR模態(tài)控制的壓電主動(dòng)控制可以控制鉆桿的振動(dòng)偏心，使BTA鉆桿系統(tǒng)最終趨于平穩(wěn)狀態(tài)；同時(shí)還發(fā)現(xiàn)，電壓輸出與鉆桿振動(dòng)偏心距離大小成正比，即表現(xiàn)在壓電片的應(yīng)變與位移成比例，而應(yīng)變又與電量成正比。隨著壓電控制的持續(xù)，BTA鉆桿振動(dòng)偏心位移不斷減小，因而壓電傳感器接收到的信號(hào)不斷減弱，從而使系統(tǒng)輸出的控制電壓不斷減小，以便保持鉆桿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)。

對(duì)比圖8和圖9，可以看出，增大LQR控制法中的權(quán)矩陣Q，能加快鉆桿振動(dòng)偏心位移的衰減，這驗(yàn)證了前面的理論；從數(shù)據(jù)上來看，Q=[103，0；0，103]，R=0.001時(shí)，反饋增益系數(shù)K=[0.0456，15.4994]，性能指標(biāo)J=16.9975；而Q=[106，0；0，106]，R=0.001時(shí)，反饋增益系數(shù)K=[46，12917]，性能指標(biāo)J=14165.5485；顯而當(dāng)Q較大時(shí)，能加快振動(dòng)衰減，但是比較耗能，而Q較小時(shí)能耗較小，這也是其控制電壓小于前者的原因。

圖7　未加控制下的自由阻尼偏心振動(dòng)

圖8　鉆桿在施加控制( Q=[10 3，0；0，10 3])仿真結(jié)果

圖9　鉆桿在施加控制( Q=[10 6，0；0，10 6])仿真結(jié)果

4結(jié)束語(yǔ)

(1)本文分析了鉆桿系統(tǒng)的偏心運(yùn)動(dòng)方式和受力情況，基于LQR最優(yōu)模態(tài)控制法構(gòu)建了壓電BTA鉆桿主動(dòng)控制模型，并進(jìn)行了理論推導(dǎo)。

(2)利用 MATLAB 進(jìn)行編程求解并對(duì)其進(jìn)行壓電主動(dòng)控制仿真，得到BTA鉆桿的鉆頭位移圖和控制電壓圖，仿真結(jié)果表明基于LQR最優(yōu)模態(tài)控制的壓電主動(dòng)控制方法能夠有效地抑制鉆桿渦動(dòng)偏心的發(fā)生。

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(編輯李秀敏)