基于混合粒子群算法的單桿柔性臂LQR位置控制優(yōu)化設(shè)計

基于混合粒子群算法的單桿柔性臂LQR位置控制優(yōu)化設(shè)計*

路恩，楊雪鋒，李威，劉玉飛，鞠錦勇

(中國礦業(yè)大學 機電工程學院，江蘇 徐州221116)

摘要：針對單桿柔性機械臂LQR(linear quadratic regulator)控制中加權(quán)矩陣參數(shù)的選擇問題，提出了一種基于混合粒子群算法尋優(yōu)加權(quán)矩陣參數(shù)的方法。首先，基于假設(shè)模態(tài)法和拉格朗日方程建立了單桿柔性臂的動力學模型，并推導出系統(tǒng)的控制模型。引入了遺傳算法中交叉操作以加強粒子群算法中粒子間區(qū)域的搜索能力，改進了基本粒子群算法易陷入局部最優(yōu)的問題。最后，仿真結(jié)果表明基于混合粒子群算法迭代尋優(yōu)得到的加權(quán)矩陣參數(shù)與經(jīng)驗值相比具有更優(yōu)的控制效果。而且，與傳統(tǒng)采用的遺傳算法優(yōu)化加權(quán)矩陣參數(shù)方法相比，具有較快的搜索和收斂速度，且具有需要調(diào)節(jié)的參數(shù)少、概念簡單、實現(xiàn)容易的特點。

關(guān)鍵詞：柔性臂；LQR；混合粒子群算法；Simulink仿真

文章編號：1001-2265(2015)09-0049-04

收稿日期：2014-11-16；修回日期：2014-12-16

基金項目：*國家自然科學基金資助項目(51305444)；教育部博士點基金(20120095120013)；江蘇省科技計劃項目(BY2014028-06)；江蘇高校優(yōu)勢學科建設(shè)工程資助項目

作者簡介：路恩(1990—)，男，江蘇沭陽人，中國礦業(yè)大學碩士研究生，研究方向微機電系統(tǒng)設(shè)計及應(yīng)用，(E-mail)jsluen@163.com。

中圖分類號：TH113.1；TG506

The Optimal Design of LQR Tip Position Control for Single Flexible Manipulators

Based on Hybrid Particle Swarm Algorithm

LU En, YANG Xue-feng, LI Wei, LIU Yu-fei, JU Jin-yong

(School of Mechatronic Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou Jiangsu 221116, China)

Abstract：A optimization method of the weighted matrix parameters based on hybrid particle swarm algorithm is presented for the LQR control of single flexible manipulators. First, the dynamic model of the single flexible manipulator is established by the assumed mode method and the Lagrange equations. Then, the model of control system is derived by the dynamic model which is written as a matrix equation. The crossing operator of genetic algorithm is introduced into the particle swarm algorithm to strengthen the search ability of particles area, and improve the basic particle swarm optimization algorithm which is easy to fall into local optima. Finally, the numerical simulation results show that the control effects of the iterative optimization parameter of the weighted matrix based on the hybrid particle swarm algorithm is better than the method of experience value. In addition, when it was compared with the genetic algorithm, a traditional weighted matrix parameters optimization methods, the hybrid particle swarm algorithm has small number of tuning parameters, simple concepts and easy realization.

Key words： flexible manipulator;LQR;hybrid particle swarm algorithm; Simulink simulation

0引言

在現(xiàn)代控制理論中， LQR控制算法是一種廣泛使用的方法，它采用狀態(tài)控制法來分析系統(tǒng)，通過一個可以控制狀態(tài)反饋增益值的LQR控制器，實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制[1]。由于LQR控制方法可以利用廉價成本使被控系統(tǒng)達到較好的性能指標，因而LQR控制方法在柔性臂末端位置控制中也得到了廣泛的應(yīng)用。例如，文獻[2]基于柔性連接的機械臂的狀態(tài)空間模型進行了LQR控制仿真；文獻[3]基于末端撓度反饋，對柔性臂進行了LQR控制的仿真與實驗分析。

LQR控制中的狀態(tài)反饋增益K由加權(quán)矩陣Q與R唯一決定，故Q、R參數(shù)的選擇尤為重要。然而，加權(quán)矩陣Q、R的選取沒有統(tǒng)一的方法，通常是根據(jù)經(jīng)驗調(diào)節(jié)得到的，這樣使得參數(shù)的選取具有較大的主觀性，尤其在參數(shù)較多時很難找到較優(yōu)的控制參數(shù)，因此需要一種簡單、有效的優(yōu)化算法進行參數(shù)尋優(yōu)。粒子群算法是近年來發(fā)展起來的智能優(yōu)化算法，其具有概念簡單、容易實現(xiàn)、需要調(diào)節(jié)的參數(shù)偏少、求解速度快等特點，在許多領(lǐng)域得到了很好的應(yīng)用。故本文提出了基于混合粒子群算法對LQR控制中加權(quán)矩陣Q、R進行參數(shù)尋優(yōu)的方法，將遺傳算法中的交叉操作引入到基本粒子群算法中，不但能提高搜索速度、收斂精度，且能夠改進基本的粒子群算法易陷入局部最優(yōu)的問題。

本文針對帶有末端質(zhì)量的單桿柔性臂位置控制，提出基于混合粒子群算法對LQR控制中Q、R參數(shù)選取進行優(yōu)化。采用假設(shè)模態(tài)法和Lagrange方程推導出柔性臂的動力學模型，并由此推導出系統(tǒng)的狀態(tài)方程；根據(jù)狀態(tài)方程設(shè)計了LQR控制器，建立了Simulink仿真模型；基于混合粒子群算法，對LQR控制中Q、R參數(shù)進行了迭代尋優(yōu)；結(jié)合仿真模型，對基于經(jīng)驗及粒子群算法求出的控制參數(shù)進行仿真對比，驗證混合粒子群算法優(yōu)化Q、R參數(shù)的有效性。

1仿真模型建立

1.1單桿柔性臂的動力學模型

單桿柔性機械臂的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。設(shè)OXY為固定坐標系；oxy為固連在柔性臂上的局部坐標系；u(t)電機驅(qū)動力矩；Jh為電機轉(zhuǎn)軸及夾具的轉(zhuǎn)動慣量；mL為柔性臂的末端質(zhì)量；w(x，t)為柔性臂在局部坐標系下，t時刻P點的橫向彈性變形；θ(t)為電機轉(zhuǎn)角；E為柔性臂的彈性模量；ρ為柔性臂的密度；A為柔性臂的截面積；L為柔性臂長度。

圖1　單桿柔性機械臂結(jié)構(gòu)示意圖

將柔性臂簡化為Euler-Bemoulli梁，并忽略次要因素，利用Lagrange方程可建立如下的動力學方程。

(1)

其中，常系數(shù)J，Wi(L)，σi，Mi，Ki分別為

Wi(L)=cosh(βiL)-cos(βiL)-

Wi(x)=cosh(βix)-cos(βix)-

1.2控制系統(tǒng)模型

(2)

其中，常系數(shù)M, K, F分別為

M=

然而，實際情況中的柔性機械臂是有阻尼的，本文主要考慮關(guān)節(jié)阻尼和機械臂的結(jié)構(gòu)阻尼。關(guān)節(jié)處的阻尼考慮為粘性阻尼，結(jié)構(gòu)阻尼采用結(jié)構(gòu)動力學中的比例阻尼，可得到如下阻尼矩陣[5]。

(3)

式(3)中CH為關(guān)節(jié)處粘性阻尼，α為質(zhì)量阻尼系數(shù),則，加入阻尼矩陣的動力學方程式如下:

(4)

由此可得出，單桿柔性臂線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下所示：

y(t)=Cx(t)

(5)

(6)

實際控制中主要考慮機械臂的末端位置，因此選取柔性機械臂的端部轉(zhuǎn)角θL作為控制目標，即

(7)

2LQR控制器設(shè)計

單桿柔性機械臂末端位置的控制是典型的最優(yōu)跟蹤問題，然而線性二次型最優(yōu)跟蹤問題直接求解較為困難，因此，為便于容易實現(xiàn)，將此問題轉(zhuǎn)化為無限時間的二次型定常調(diào)節(jié)器問題，所得到的定常調(diào)節(jié)器具有常增益形式[4]。

(8)

(9)

最優(yōu)的控制力矩為

u=-Kx(t)

(10)

其中，K為最優(yōu)控制反饋增益矩陣，可通過Matlab的線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計函數(shù)獲得[6]：

(11)

取前一階模態(tài)進行仿真，因此可選取Q為4維半正定對角矩陣，R為1維正定矩陣。LQR最優(yōu)控制中Q和R的選擇是相互制約、相互影響的，故可選取R的值為1，Q可表示如下：

(12)

被控系統(tǒng)的Simulink模型如圖2所示。

圖2　被控系統(tǒng)的Simulink模型

3基于混合粒子群算法Q、R參數(shù)尋優(yōu)

粒子群算法是模擬鳥群尋找棲息地而尋找最優(yōu)解的方法，群粒子在飛行過程中不斷向最優(yōu)解靠攏，最后找到最優(yōu)解。粒子群算法同遺傳算法類似，是一種基于迭代的群體隨機優(yōu)化技術(shù)，但粒子群算法采用簡單的速度-位置模型，避免了復雜的遺傳操作，同時特有的記憶使算法可動態(tài)跟蹤當前的搜索情況來調(diào)整其搜索策略[7]。此外，粒子群算法具有概念簡單，容易實現(xiàn)，需要調(diào)節(jié)的參數(shù)偏少的特點。

設(shè)每個粒子維數(shù)為D，第i個微粒表示為Xi=(xi1,xi2,…,xiD)，經(jīng)歷過的最好位置(有最好的適應(yīng)值)記為Pi=(pi1,pi2,…,piD)。在群體所有微粒經(jīng)歷過的最好位置的索引號用符號g表示，即Pg。微粒i的速度用Vi=(vi1,vi2,…,viD)表示。對每一代，它的第d維(1≤d≤D)根據(jù)如下方程進行變化：

速度更新：

位置更新：

其中，w為慣量因子，取值一般在(0，1)之間，Clerc[8]建議取值為0.729；c1、c2為加速度因子c1、c2通常選取為2，Clerc[7]建議(c1+c2)/2的取值為1.494；rand()為0~1之間的隨機數(shù)。

交叉操作原本是遺傳算法中三種遺傳操作中的一種，是決定算法收斂性能的關(guān)鍵[9]，本文將其引入到基本的粒子群算法中。

在速度更新之后添加以下交叉操作：

在位置更新之后添加以下交叉操作：

此混合粒子群算法在基本的粒子群算法中的速度和位置的更新操作后添加上述的交叉操作，并且用產(chǎn)生的后代粒子取代雙親粒子。交叉操作使后代粒子繼承了雙親粒子的優(yōu)點，在理論上加強了對粒子間區(qū)域的搜索能力[10]。例如，兩個雙親粒子均處于不同的局部最優(yōu)區(qū)域，則兩者交叉產(chǎn)生的后代粒子往往能夠擺脫局部最優(yōu)，從而改進搜索結(jié)果[9]。

圖3　混合粒子群算法優(yōu)化設(shè)計LQR控制器示意圖

4數(shù)值仿真及結(jié)果分析

假定柔性臂在電機的驅(qū)動下轉(zhuǎn)動位移為1rad，進行末端位置控制，單桿柔性機械臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

根據(jù)仿真參數(shù)，控制參數(shù)可取如下經(jīng)驗值：q1=35，q2=15，q3=2，q4=15

控制參數(shù)迭代尋優(yōu)的取值范圍如表2所示，經(jīng)過混合粒子群算法迭代尋優(yōu)可知：

q1=38.4679，q2=16.2774，q3=3.3714，q4=16.4305

尋優(yōu)曲線如圖4、圖5所示，位置控制仿真曲線如圖6、圖7所示。

表1　單桿柔性機械臂的結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2　控制參數(shù)取值范圍

圖4　最優(yōu)個體適應(yīng)值

圖5　加權(quán)矩陣Q參數(shù)優(yōu)化曲線

圖6　單桿柔性臂末端位置仿真曲線

圖7　單桿柔性臂控制力矩仿真曲線

從圖4和圖5中可以看出，基于混合粒子群算法不僅實現(xiàn)簡單，而且具有較快的搜索速度，能快速準確的找到較優(yōu)的控制參數(shù)。從圖6可以看出，基于混合粒子群算法尋優(yōu)的加權(quán)矩陣參數(shù)與經(jīng)驗值比較，具有更快的響應(yīng)速度，更小的超調(diào)，達到了較優(yōu)的控制效果。圖7為單桿柔性臂控制力矩仿真曲線，兩者曲線比較接近。

5結(jié)論

本文針對單桿柔性臂末端位置LQR控制中加權(quán)矩陣Q、R參數(shù)選取的問題，提出了基于混合粒子群算法，對Q、R參數(shù)進行迭代尋優(yōu)。相較遺傳算法，采用混合粒子群算法對加權(quán)矩陣參數(shù)進行尋優(yōu)具有概念簡單、容易實現(xiàn)、需要調(diào)節(jié)的參數(shù)少、求解速度快等優(yōu)點。最后，結(jié)合柔性臂仿真模型，對基于經(jīng)驗及粒子群算法求出的控制參數(shù)仿真表明混合粒子群算法搜索的速度較快，并與經(jīng)驗值比較，對柔性臂末端起到了更優(yōu)的控制效果，驗證了混合粒子群算法的有效性。

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(編輯李秀敏)