一種2-PPr平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度分析

一種2-PPr平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度分析*

關(guān)春婉，宮金良，張彥斐

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博255049)

摘要：論文針對2-PPr平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度進(jìn)行了研究，在分析了機(jī)構(gòu)支鏈類型與受力的情況下，提出了節(jié)點(diǎn)位移疊加方法。首先對機(jī)構(gòu)進(jìn)行子結(jié)構(gòu)劃分并分別求各子結(jié)構(gòu)剛度，再對機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜力學(xué)分析，得出各節(jié)點(diǎn)位移，最后應(yīng)用節(jié)點(diǎn)位移疊加方法得出在外力作用下系統(tǒng)末端點(diǎn)的位移，根據(jù)外力與機(jī)構(gòu)整體變形之間的關(guān)系建立機(jī)構(gòu)整體靜剛度模型。通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性。

關(guān)鍵詞：并聯(lián)機(jī)構(gòu)；靜剛度；位移疊加法

文章編號：1001-2265(2015)09-0010-03

收稿日期：2014-11-20

基金項(xiàng)目：*國家自然科學(xué)

作者簡介：關(guān)春婉(1989—)，女，山東菏澤人，山東理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)器人機(jī)構(gòu)，(E-mail)316782771@qq.com。

中圖分類號：TH166;TG659

Static Stiffness Analyzing of a 2-PPr Planar Parallel Mechanism

GUAN Chun-wan,GONG Jin-liang,ZHANG Yan-fei

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo Shandong 255049,China)

Abstract：Static stiffness of the 2-PPr planar parallel manipulator was studied. Based on the analysis of the branched chain type and stress condition of the mechanism, the superposition method of nodal displacement was put forward. First, divided the manipulator into each substructures, and solved their stiffness respectively. Then carried out the statics analysis of the manipulator to obtain each node displacements. Last, node displacement superposition method was applied to work out the displacement of the system end point under the action of external force. According to the relationship between the external force and the organization overall deformation, the organization overall static stiffness model was set up. Verified the feasibility of the method through an example.

Key words： parallel mechanism; static stiffness; displacement super position method

0引言

剛度是并聯(lián)機(jī)構(gòu)非常重要的設(shè)計評價指標(biāo)，因此國內(nèi)外學(xué)者對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度進(jìn)行了很多研究?，F(xiàn)有的并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度分析方法包括有限元分析法、靜剛度解析模型分析方法等。有限元分析主要是用有限元思想，根據(jù)變形和應(yīng)力分布情況，從而對樣機(jī)的尺度參數(shù)和截面參數(shù)進(jìn)行改進(jìn)[1]。剛度解析模型需要建立機(jī)構(gòu)的操作力和末端變形之間的映射。Gosselin[2]借助雅可比矩陣，建立了僅考慮主動關(guān)節(jié)彈性的剛度模型，提出了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度映射矩陣。以此為基礎(chǔ)，學(xué)者們考慮了機(jī)架及支鏈組件變形，對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了靜剛度分析[3]，后又證明了幾何變形的忽略對所求得的系統(tǒng)剛度有一定影響,并把這一新的剛度矩陣稱之為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的守衡轉(zhuǎn)換剛度矩陣[4]。

對2-PPr平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，從動鏈中包含承重桿件，故從動鏈剛度對總體剛度的影響不可忽略，而守恒協(xié)調(diào)法計算機(jī)構(gòu)剛度時僅考慮主動鏈部分的剛度，所以不適用于該機(jī)構(gòu)。有限元方法計算較為精確，但是計算量過大，故提出了節(jié)點(diǎn)位移疊加法。節(jié)點(diǎn)位移疊加法的思想是，每一個節(jié)點(diǎn)的位移都會影響末端節(jié)點(diǎn)位移，將所有節(jié)點(diǎn)位移疊加，則得到末端點(diǎn)的總位移。該方法考慮了桿件、運(yùn)動副及軸承等剛度，精度較高，計算量也較小。

12-PPr平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度求解

1.1機(jī)構(gòu)描述

圖1　2-PPr平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)

2-PPr平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，該機(jī)構(gòu)由兩條相同的運(yùn)動支鏈組成，每條運(yùn)動支鏈都包含2個連桿、4個轉(zhuǎn)動副和1個滑塊。每個連桿的結(jié)構(gòu)尺寸、材料完全相同，且都通過轉(zhuǎn)動副連接于滑塊與動平臺上。兩個滑塊由滾珠絲杠副驅(qū)動，并在導(dǎo)軌上沿同一條直線運(yùn)動，導(dǎo)軌固定在基座上。8個轉(zhuǎn)動副軸線互相平行且垂直于滑塊的運(yùn)動方向，每條支鏈上的4個轉(zhuǎn)動副軸線中心點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，由于空間約束，運(yùn)動平臺只能在平面內(nèi)作兩個方向上的平移運(yùn)動。

1.2子結(jié)構(gòu)劃分與編號

如圖2所示，在全局坐標(biāo)系下，整機(jī)簡化為51個結(jié)點(diǎn)，47個單元，其中單元25、26、47視為剛性單元，1~16、39~46為軸承單元，5~8為絲杠單元，其余單元視作空間桿單元。

圖2　整機(jī)剛度模型圖

1.3各子結(jié)構(gòu)單元剛度

1.3.1絲杠與支座連接處軸承剛度

假定絲杠與支座連接處軸承選用同樣型號配對預(yù)緊角接觸軸承[5]，U形座與連接軸處選用預(yù)負(fù)荷空心圓柱滾子軸承[6]，則結(jié)構(gòu)單元自身變形引起的節(jié)點(diǎn)位移為

(1)

1.3.2絲杠剛度

絲杠兩端為固定連接，滑鞍螺母視作剛體，僅考慮絲杠變形。因?yàn)榛芭c導(dǎo)軌接觸面積較大，絲杠徑向變形遠(yuǎn)小于絲杠軸向變形，所以僅考慮絲杠軸向變形，則

其中ds為絲杠底徑，Ls為絲杠總長度，ls為滑鞍中心至絲杠左端點(diǎn)長度，Es為絲杠材料彈性模量。則結(jié)構(gòu)單元自身變形引起的節(jié)點(diǎn)9、10位移為

(2)

1.3.3連接軸剛度

連接軸主要承受豎直向下的載荷，將連接軸視作兩端固定的梁單元，其在跨度中心點(diǎn)受到豎直向下集中力作用，則連接軸的剛度為klz2=klz4=2klz1=2klz3=24EI/l3，則結(jié)構(gòu)單元自身變形引起的節(jié)點(diǎn)27、28、29、30、35、37、39、41、43、45、47、49位移為

(3)

(4)

1.3.4連桿剛度

式中，A為桿單元橫截面面積，Iy為連桿在xz面內(nèi)截面慣性矩，Iz為連桿在xy面內(nèi)截面慣性矩，IP為桿單元的扭轉(zhuǎn)慣性矩，l為連桿長度，E和G分別為連桿材料的彈性模量和剪切模量，θi為各連桿局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的夾角。則結(jié)構(gòu)自身變形對節(jié)點(diǎn)31、32、33、34產(chǎn)生的位移為

(5)

1.4機(jī)構(gòu)各單元受力分析

1.4.1支鏈?zhǔn)芰Ψ治?/p>

設(shè)空間外載荷T=(F,M)T作用在動平臺中心P點(diǎn)處，引起第i連桿受到的作用力和力矩為Ti=(Fi,Mi)T。Fi的方向平行于連桿，規(guī)定拉力為正；Mi的方向平行于基座標(biāo)系y軸方向，則Mi與ry同向時為正。

設(shè)Si在基坐標(biāo)系中的方向余弦分別為Six，Siy，Siz，則

以動平臺為研究對象，列出靜平衡方程

整理得

F=AFa

(6)

其中Fa=[F1F2F3F4]T，F(xiàn)=[FxFyFz]T，A=[S1S2S3S4]T。

M=Mfi+Mi

(7)

聯(lián)立式子(6)、(7)，得外載荷與連桿所受的作用力和力矩之間的關(guān)系式為

(8)

式中H為機(jī)構(gòu)參數(shù)和位姿的函數(shù)，Ti為各桿受力，Ti=[FixFiyFizMixMiyMiz]T。

1.4.2滾珠絲杠受力分析

由于導(dǎo)軌與滑塊的接觸面相對于絲杠截面比較大，因此僅考慮絲杠的軸向變形對整機(jī)靜剛度的影響。絲杠上的軸向力等于各連桿軸向力在X軸方向上的分量和，根據(jù)靜力平衡方程可得到兩個絲杠上的軸向力為

(9)

1.4.3連接軸受力分析

為便于分析計算，假設(shè)作用力集中在連接軸中點(diǎn)處，則連接軸兩端點(diǎn)z向反力大小為中點(diǎn)受力的二分之一，方向與中點(diǎn)受力相反，則

(10)

1.5節(jié)點(diǎn)位移疊加法求機(jī)構(gòu)末端點(diǎn)位移

節(jié)點(diǎn)位移疊加法的思想是，將整體機(jī)構(gòu)進(jìn)行單元和節(jié)點(diǎn)劃分，再針對該多節(jié)點(diǎn)機(jī)構(gòu)，分別求得各節(jié)點(diǎn)位移，最后疊加得到末端點(diǎn)位移。其具體計算方法為：從固定參考點(diǎn)開始，通過參考點(diǎn)與機(jī)架連接單元的下一節(jié)點(diǎn)的位移即為節(jié)點(diǎn)受力使單元產(chǎn)生的變形。而與該節(jié)點(diǎn)連接的下一單元上再下一個節(jié)點(diǎn)的位移，則為假定該節(jié)點(diǎn)固定時后者受力使該單元產(chǎn)生的變形與已得到的該節(jié)點(diǎn)的位移對后者產(chǎn)生的牽連位移的疊加，遞推后得到機(jī)構(gòu)末端中心點(diǎn)51的總位移

(11)

其中

聯(lián)立式(1)~(5)和(8)~(11)，得

T=Kx

K即為機(jī)構(gòu)的總體剛度矩陣。

2算例分析

連桿和滾珠絲杠、連接軸均采用45號鋼，材料的彈性模量為E=200GPa，切變模量為G=80GPa，連桿的截面尺寸為b=30mm，h=50mm，長度l=500mm，絲杠的螺紋底徑d0=25.7mm，絲杠的有效長度La=500mm。機(jī)構(gòu)的其它參數(shù)單側(cè)兩U形座上軸承中心距離d=100m，外側(cè)軸承中心到動平臺中心點(diǎn)水平距離L=500m，U形座與連接軸處選用空心度為60%、滾子數(shù)目為27的預(yù)負(fù)荷空心圓柱滾子軸承，絲杠與支座連接處軸承選用預(yù)緊力為10N的配對預(yù)緊角接觸軸承。設(shè)作用在動平臺上的外載荷F=[300,200,400]TN, M=[20,40,30]TN·m,機(jī)構(gòu)末端點(diǎn)在機(jī)構(gòu)參考坐標(biāo)系中坐標(biāo)為P=[x,y,z]。

由于機(jī)構(gòu)在xz平面內(nèi)做平移運(yùn)動，其y向剛度不受位姿影響，僅與機(jī)構(gòu)參數(shù)有關(guān)系，且由于機(jī)構(gòu)為左右完全對稱機(jī)構(gòu)，而末端點(diǎn)在動平臺中心位置，故其沿轉(zhuǎn)角β的位移幾近于零，故僅對機(jī)構(gòu)在x,z方向及繞x,z軸的剛度特性進(jìn)行分析。圖3是x由-100 mm變化到100 mm、z由100 mm變化到300 mm時,機(jī)構(gòu)剛度在x,z方向及繞x,z軸的剛度變化曲面?？梢钥闯觯瑱C(jī)構(gòu)的x、z向靜剛度隨機(jī)構(gòu)的位姿變化而變化，且受z向位姿變化影響較大，在x向位姿變化過程中剛度變化則較平緩。

圖3　機(jī)構(gòu)剛度特性曲面

3結(jié)論

(1)本文為平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)提出了一種剛度分析方法，即將機(jī)構(gòu)劃分為若干單元及節(jié)點(diǎn)，并將所有節(jié)點(diǎn)位移疊加得到末端點(diǎn)的總位移，從而得到機(jī)構(gòu)總體剛度映射關(guān)系的方法。該方法計算精度較高，運(yùn)算量也較小。

(2)該方法應(yīng)用于2-PPr平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度分析，結(jié)果表明，機(jī)構(gòu)剛度不僅與機(jī)構(gòu)驅(qū)動剛度、位姿有關(guān)，且與機(jī)構(gòu)各構(gòu)件剛度有關(guān)。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 呂亞楠，王立平，關(guān)立文. 基于剛度組集的混聯(lián)機(jī)床的靜剛度分析與優(yōu)化[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，48(2): 180-183.

[2] Gosselin C. Stiffness mapping for parallel manipulators[J]. IEEE Transactions On Robotics and Automation, 1990, 6(3):377-382.

[3] 付紅栓, 趙恒華, 楊輝. 3-TPT型并聯(lián)機(jī)床靜力學(xué)及剛度研究[J]. 組合機(jī)床與自動化加工技術(shù),2013(1): 42-44.

[4] C.Huang, W H Hung, I Kao. New Conservative Stiffness Mapping for the Stewart-Gough Platform [J].Proeeedings of the 2002 IEEE International Conference on Robotics and Automation, WaShington,DC, 2002, 5: 823-828.

[5] 劉彥奎, 關(guān)天民, 魏延剛. 預(yù)負(fù)荷空心圓柱滾子軸承剛度分析[J]. 制造技術(shù)與機(jī)床, 2010(2): 46-48.

[6] 蔣蔚, 周彥偉, 梁波. 配對角接觸軸承剛度和摩擦力矩分析計算[J]. 軸承, 2006(8): 1-3, 35.

[7] 楊磊, 王南, 顏亮,等. 空間4SPS-PS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度及靈巧性分析[J]. 組合機(jī)床與自動化加工技術(shù), 2013(11): 23-25.

[8] 李輝，朱文白. 柔索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報，2010，46(3)：8-16.

[9] 彭斌彬, 李增明, 武凱,等. 二自由度平移并聯(lián)機(jī)器人空間靜剛度分析[J]. 南京理工大學(xué)學(xué)報, 2012, 36(3): 522-528.

[10] 趙鐵石，趙延治，邊輝,等. 空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)連續(xù)剛度非線性映射[J]. 機(jī)械工程學(xué)報, 2008,44(8)：20-32.

(編輯李秀敏)