一類廣告擴(kuò)散模型的Hopf分岔分析

丁學(xué)利

（阜陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，安徽 阜陽(yáng) 236031）

1 引言

對(duì)分岔問(wèn)題的研究可以追溯到十八世紀(jì),人們對(duì)天體力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)和非線性振動(dòng)中的一些失穩(wěn)現(xiàn)象的探討，因此分岔問(wèn)題有著深刻的應(yīng)用背景.目前在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用[1,2].

Hopf分岔是一類很重要的分岔問(wèn)題，它不僅有著重要的理論價(jià)值，而且在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.本文利用分岔理論詳細(xì)討論了一類廣告擴(kuò)散模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分岔，并且給出了發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)條件，最后數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.這對(duì)研究廣告擴(kuò)散模型的實(shí)際應(yīng)用，提供了理論依據(jù).

2 廣告擴(kuò)散模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

考慮如下的廣告擴(kuò)散模型[3,4]：

其中β，ε，k均為正常數(shù)，設(shè)置 α 為分岔參數(shù).系統(tǒng)（1）有唯一的平衡點(diǎn)，在平衡點(diǎn)E0處的Jacobian矩陣為

其特征方程為

即 λ2-trA(α)λ+detA(α)=0，因此令 μ(α0)=0，得

且 ω2(α0)=detA(α0)=(β+ε)ε>0.

定理 1 （1）當(dāng) α>α0時(shí)，若(trA(α))2-4detA(α)>0(<0)，則特征方程的根為兩個(gè)相異的負(fù)實(shí)根（一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根），從而系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；

（2）當(dāng) 0<α<α0時(shí)，若(trA(α))2-4retA(α)>0(<0)，則特征方程的根為兩個(gè)相異的正實(shí)根（一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根），從而系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的焦點(diǎn)，即有可能發(fā)生Hopf分岔.

3 廣告擴(kuò)散模型的Hop f分岔

定理 2 當(dāng)0<α<α0時(shí)，系統(tǒng)（1）發(fā)生Hopf分岔.

證明 根據(jù)文獻(xiàn)[3]，只需要驗(yàn)證兩個(gè)條件，即μ'(α0)≠0（橫截條件）和 l1(α0)≠0(非退化條件為第一李雅普諾夫系數(shù)）.

首先橫截條件很容易證明：

下面計(jì)算第一李雅普諾夫系數(shù).

在α=α0處，平衡點(diǎn)E0的坐標(biāo)為

作坐標(biāo)變換

這樣就把平衡點(diǎn)E0變到坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)（1）化成：

系統(tǒng)（2）可表示為下面的形式：

其中A=A(α0)，多線性函數(shù)B和C'是關(guān)于平面向量ξ=(ξ1,ξ2)T，η=(η1,η2)T，ζ=(ζ1,ζ2)T的函數(shù)，其值為

滿足 Aq=iωq，ATq=-iωq，且〈p,q〉=1.

第一李雅普諾夫系數(shù)為

其中

所以滿足非退化條件 l1(α0)≠0.因此，在 0<α<α0處發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán).由于l1(α0)<0，所以是超臨界Hopf分岔.

4 數(shù)值仿真

下面我們將用Matcont軟件來(lái)分析廣告擴(kuò)散模型的動(dòng)力學(xué)行為，其參數(shù)使用為β=0.5，ε=k=9.5，α為分岔參數(shù).

圖1 廣告擴(kuò)散模型的平衡點(diǎn)分岔圖

圖1是廣告擴(kuò)散模型的平衡點(diǎn)分岔圖，粗實(shí)線表示穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)，細(xì)實(shí)線表示不穩(wěn)定的焦點(diǎn)，H表示Hopf分岔點(diǎn)，此時(shí)α0=10是發(fā)生Hopf分岔的臨界點(diǎn).

圖2 廣告擴(kuò)散模型的相圖.（a）α=11>α0；（b）α=9.5<α0

圖2是廣告擴(kuò)散模型的相圖.當(dāng)α=11>α0時(shí)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的（圖 2（a））；當(dāng) α=9.5<α0時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)（圖 2（b）），即發(fā)生了 Hopf分岔.

5 討論與結(jié)論

本文對(duì)廣告擴(kuò)散模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，并且證明了系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)條件.結(jié)果表明在一定條件下，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔是超臨界的.最后，數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.此外，系統(tǒng)還有一些性質(zhì)需要進(jìn)一步的分析，如極限環(huán)如何消失，是否發(fā)生同宿軌分岔，以及能否出現(xiàn)混沌等.

〔1〕劉秉正，彭建華.非線性動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔2〕張琪昌，王洪禮,等.分岔與混沌理論及應(yīng)用[M].天津：天津大學(xué)出版社，2005.

〔3〕KUZNETSOV.Yuri A.Elements of applied bifurcation theory[M].New York:Springer,1997.

〔4〕FEICHTINGER.G.Chaotic behavior in an advertising diffusion model[J].Internation Journal of Bifurcation and Chaos:1995.