采用波疊加法技術(shù)求解加肋板的輻射聲功率

劉 寶，王德石，周奇鄭

(海軍工程大學(xué)，武漢 430033)

采用波疊加法技術(shù)求解加肋板的輻射聲功率

劉 寶，王德石，周奇鄭

(海軍工程大學(xué)，武漢 430033)

波疊加原理提供了計(jì)算加肋板輻射聲功率的方法。首先對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程進(jìn)行Fourier變換或者單元體積速度匹配，獲得結(jié)構(gòu)離散單元的體積速度。然后根據(jù)結(jié)構(gòu)與介質(zhì)的交界面相容性條件，建立虛擬聲源強(qiáng)度與單元體積速度的代數(shù)方程。進(jìn)而求解虛擬聲源的強(qiáng)度，獲得計(jì)算結(jié)構(gòu)輻射聲功率的兩種方法。以求解加肋簡支矩形板的聲功率為例，其結(jié)果與解析法獲得的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，表明這兩種方法都同樣具有較高的計(jì)算精度。相對(duì)于利用Fourier變換的方法，采用單元體積速度匹配原則的方法不需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)耦合矩陣，計(jì)算簡單直接，而且行之有效。

聲學(xué)；波疊加；輻射聲功率；加肋板

確定結(jié)構(gòu)的輻射聲功率一直是聲學(xué)研究中關(guān)注的主要問題之一。對(duì)于形狀規(guī)則簡單的結(jié)構(gòu)，比如球殼、簡支矩形板等，可以采用解析方法求解結(jié)構(gòu)的聲輻射特性規(guī)律，進(jìn)而確定其聲輻射功率。而對(duì)于較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，通常需要運(yùn)用數(shù)值方法求解，采用有限元(FEM)、邊界元(BEM)、有限元/邊界元(FEM/BEM)等對(duì)結(jié)構(gòu)表面振速和聲壓等參數(shù)進(jìn)行計(jì)算[1－6]，進(jìn)而獲得結(jié)構(gòu)的輻射聲功率。但上述方法都存在不足，如邊界元存在著表面奇異積分、特征頻率處解的非唯一性等固有問題。為了克服上述方法的不足，Koopmann提出了波疊加法[7，8]，通過在結(jié)構(gòu)內(nèi)部布置虛擬聲源等效模擬結(jié)構(gòu)外輻射聲場(chǎng)，利用輻射體表面的法向振速獲得虛擬聲源的強(qiáng)度，進(jìn)而獲得結(jié)構(gòu)的輻射聲功率等特性參數(shù)。由于聲源所在的曲面與結(jié)構(gòu)的表面不重合，從而避免了奇異性積分問題，計(jì)算上簡單，易于實(shí)現(xiàn)。孫超、何遠(yuǎn)安等利用波疊加法分析了圓柱殼在不同激勵(lì)下聲場(chǎng)的重建效果[9]。向陽、Koopmann通過實(shí)驗(yàn)獲得結(jié)構(gòu)表面某些點(diǎn)振速以后，利用該方法計(jì)算了剛性球面上的活塞源、脈動(dòng)球源的表面聲壓，并進(jìn)一步討論了單元、節(jié)點(diǎn)數(shù)目以及形狀對(duì)算法效率與精度的影響[10,11]。本文以加肋的簡支矩形有障薄板為例，首先對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程進(jìn)行Fourier變換或者體積速度匹配，獲得結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)待定系數(shù)；然后通過線性化的歐拉方程建立虛擬聲源強(qiáng)度與振動(dòng)模態(tài)系數(shù)的代數(shù)方程，求解虛擬聲源強(qiáng)度，獲得結(jié)構(gòu)的輻射聲功率。本文介紹了基于單元體積速度匹配的波疊加原理，并給出了利用該原理計(jì)算薄板平均輻射聲功率的波疊加法。文中采用波疊加法與模態(tài)展開法相結(jié)合的方法計(jì)算結(jié)構(gòu)的平均輻射聲功率，是一種半解析半數(shù)值的計(jì)算方法，并討論了該方法對(duì)于離散單元數(shù)目的敏感性。

1 加肋板結(jié)構(gòu)模型及表面振速求取

1.1 利用Fourier求取單元體積速度

設(shè)板的密度為ρs，沿x、y軸方向的長度分別為a、b，板的厚度為h，沿垂直于x方向布置N′條肋骨，肋骨的橫坐標(biāo)分別為；薄板置于無限大障板上，空間中充滿密度為ρf的空氣。計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，板結(jié)構(gòu)采用薄板理論，肋骨結(jié)構(gòu)采用Eular-Bernoulli’s梁理論。將肋骨對(duì)基板的作用力模擬成線激勵(lì)的作用，并充分考慮肋骨與基板之間的橫向力以及彎矩作用力。假設(shè)肋骨與肋骨之間無相互作用，且肋骨與基板組合的結(jié)構(gòu)不構(gòu)成箱體，肋骨不產(chǎn)生聲輻射。結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 加肋板坐標(biāo)示意圖

由于與板接觸的介質(zhì)為輕介質(zhì)空氣，因此，忽略介質(zhì)對(duì)板所產(chǎn)生的聲壓，即不需要考慮板與介質(zhì)的聲振耦合作用。由文獻(xiàn)[12]可知，在垂直于板面的外力Fout作用下(式中省略力、撓度等隨時(shí)間的變化量e-iωt)，加肋板的動(dòng)力方程為

式中w為板的撓度。為板的彎曲剛度，E為板的彈性模量，ν為板的泊松比。表示板單位面積的質(zhì)量。qs和κs分別表示單位長度的第s條肋骨與板相互作用的橫向剪力與彎矩。xs表示肋骨所在位置的橫坐標(biāo)。

為了求解(1)式結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，需要求解未知量qs，κs，注意到未知量qs，κs反映的是基板與肋骨之間的相互作用。肋骨在受迫振動(dòng)中發(fā)生彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，其振動(dòng)方程[13]為

式中Us(x,y)表示肋骨的橫向位移，θs(x,y)表示肋骨的轉(zhuǎn)角，EsIs表示肋骨的抗彎剛度，GsJs表示肋骨的扭轉(zhuǎn)剛度，ρs和As分別表示肋骨的密度和截面積。Ips表示肋骨的極慣性矩。

由于肋骨與基板整體振動(dòng)，因此肋骨與基板在連接處滿足位移和力學(xué)的連續(xù)性條件，即

對(duì)于一個(gè)簡支矩形薄板，板的撓度可以表示為板的振動(dòng)模態(tài)的線性疊加

上式寫成矩陣形式為

式中Amn為相應(yīng)于振動(dòng)模態(tài)的待定系數(shù)。ψmn(x,y)=sin(mπxa)sin(nπy)表示板的(m,n)階振動(dòng)模態(tài)。

將上式代入(4)式可將Us(x,y)、θs(x,y)表示為板的振動(dòng)模態(tài)展開的形式，可得

將(7)式代入(2)式和(3)式并合并同類項(xiàng)，可得

將(8)、(9)代入(1)式，并且將位移展開為振動(dòng)模態(tài)和函數(shù)的形式，通過對(duì)方程進(jìn)行Fourier變換可得

上式表示成矩陣形式為

式中矩陣M為mn×mn階矩陣，其所對(duì)應(yīng)元素為

矩陣C為mn×1階矩陣，它的相應(yīng)元素為

矩陣Ds為mn×mn階矩陣，它的相應(yīng)元素為

矩陣Τs為mn×mn階矩陣，其所對(duì)應(yīng)元素為

矩陣Νs為mn×mn階矩陣，它可以表示為如下的矩陣形式

矩陣Rs為m×m階矩陣，其所對(duì)應(yīng)的元素為

矩陣Ps為mn×mn階矩陣，它可以表示為如下的矩陣形式

矩陣Ss為m×m階矩陣，其所對(duì)應(yīng)的元素為

對(duì)(11)式的矩陣進(jìn)行逆運(yùn)算，即可計(jì)算出加肋板的振動(dòng)模態(tài)待定系數(shù)列陣A，代入(6)式則可確定板任一點(diǎn)的撓度。

由(6)式可知矩形薄板板面振速w˙可以表示為

將矩形薄板的表面均勻地離散為N個(gè)矩形單元，記第μ(1≤μ≤N)個(gè)單元的體積速度uμ為其上的法向速度之和，即

將(12)式代入(13)式中，即可獲得單元μ的體積速度uμ的表達(dá)形式為

上式表示成矩陣形式為

由上式即可獲得體積速度列陣u。

1.2 利用單元體積速度匹配原則求取單元體積速度

為了與利用Fourier變換求取的振動(dòng)模態(tài)系數(shù)Amn相區(qū)別，采用A′mn表示利用單元體積速度匹配原則求取的振動(dòng)模態(tài)系數(shù)。同樣采用A′分別表示利用單元體積速度匹配原則獲得的振動(dòng)模態(tài)待定系數(shù)列陣。

將(2)式和(3)式代入(1)式后，所得式子兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可得

為了方便與利用Fourier變換求取的體積速度列陣u進(jìn)行比較，同樣均勻離散結(jié)構(gòu)表面為N個(gè)矩形單元。將(16)式兩邊在第μ(1≤μ≤N)個(gè)矩形單元上進(jìn)行積分，可得

將上式表示為(13)式體積速度積分的形式，可得

離散的單元表面振速總可以分為類似活塞的聲源部分和零體積振速的聲源部分。類似活塞的聲源部分反映的是振體向遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲功率的能力，而零體積振速的聲源部分反映了近場(chǎng)處動(dòng)能和勢(shì)能間相互轉(zhuǎn)化的能力。因此，輻射的能量主要來自類似活塞的聲源部分。將單元上的法向振速取為定值即是僅考慮類似活塞的聲源部分所輻射的能量，這種簡化能夠達(dá)到準(zhǔn)確預(yù)測(cè)遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓以及準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)構(gòu)輻射聲功率的目的，此即體積速度匹配原則[14]。

由體積速度匹配原則可知，在不獲得結(jié)構(gòu)表面聲壓精確值的前提下，如果每個(gè)離散單元上的速度在平均情況下可以得到滿足，那么就可能獲得輻射聲功率的精確值。因此，考慮用板單元的體積速度代替板實(shí)際的法向速度，將其作為邊界條件，確定虛擬聲源函數(shù)的待定系數(shù)，從而準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)構(gòu)的聲輻射功率。即如果每個(gè)離散單元都滿足(18)式，則通過求取虛擬聲源強(qiáng)度，可以準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)構(gòu)的輻射聲功率。下面通過將板的速度w˙(x,y)表示為結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)和函數(shù)的形式，來推導(dǎo)結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)系數(shù)的具體計(jì)算公式。

將(17)式中板的速度w˙(x,y)表示為振動(dòng)模態(tài)和函數(shù)的形式，可得

由(21)式即可計(jì)算出加肋板的振動(dòng)模態(tài)待定系數(shù)列陣A′，進(jìn)而代入(13)式中獲得體積速度列陣u。

2 基于體積速度匹配的波疊加法

由體積速度匹配原則可知，求解板的輻射聲功率在不獲得板面聲壓精確值的前提下，如果板面每個(gè)劃分單元上的速度在平均情況下可以得到滿足，那么就可能求得遠(yuǎn)場(chǎng)聲壓和輻射聲功率的精確值。因此，考慮用板單元的體積速度代替板實(shí)際的法向速度，將其作為邊界條件，從而達(dá)到準(zhǔn)確預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)聲輻射功率的目的。

基于體積速度匹配原則的波疊加法采用虛擬聲源函數(shù)的組合來描述場(chǎng)點(diǎn)r=(x,y,z)處的聲壓[14]，在結(jié)構(gòu)內(nèi)部布置與離散單元數(shù)目相同的N個(gè)虛擬聲源，則結(jié)構(gòu)外場(chǎng)點(diǎn)r處聲壓可以表示為

式中αv，βν為已知常數(shù)，由文獻(xiàn)[14]可知，對(duì)于鑲嵌在無限大障板上的薄板單元，αν=1，βν=0。則作用在板面上的聲壓為

式中格林函數(shù)取為自由空間格林函數(shù)[14]，表達(dá)式為

由薄板與介質(zhì)的交界面相容性條件可知

將(22)式關(guān)于聲壓p的虛擬聲源函數(shù)的組合形式代入上式可得

將上式代入(13)式，即在板面單元μ上對(duì)振速進(jìn)行積分，可得

上式寫成矩陣形式為

式中U為N×N階系數(shù)矩陣，矩陣的每一個(gè)元素由下面的方程確定

由于離散單元的數(shù)目與虛擬聲源數(shù)目相同，則通過矩陣的逆運(yùn)算可以獲得

將利用Fourier變換或者單元體積速度匹配原則求得的列陣u代入上式即可求得虛擬聲源強(qiáng)度矩陣s。

3 板的平均輻射聲功率計(jì)算公式

由文獻(xiàn)[14]可知，無限大障板上結(jié)構(gòu)的平均輻射聲功率計(jì)算公式為

上式表示成矩陣形式為

式中Η表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。j為N×N階的矩陣，其相應(yīng)ji,j=j0(kRij)。

當(dāng)Rμν=0時(shí)，由于聲輻射功率為有限值，則j0(kRμν)不能取為無窮大。又由于

因此當(dāng)Rμν=0時(shí)，取j0(kRμν)=1。將求得的矩陣s代入(30)式，即可計(jì)算出結(jié)構(gòu)的平均輻射聲功率。

4 案例分析

為了說明這兩種計(jì)算方法的有效性，選取一個(gè)簡支矩形有障薄鋼板和兩根相同的平行于y軸的簡支鋼肋骨組成的加肋板為研究對(duì)象進(jìn)行說明。薄板的長度a=1 m,寬度b=0.75 m，厚度h=0.003 m。肋骨到y(tǒng)軸的距離分別為0.28a、0.72a，肋骨高h(yuǎn)p=0.004 m，截面面積為As=2×10-5m。材料密度為ρs=7 800 kg/m3，泊松比υ=0.3，彈性模量E=2.16×1011N/m2，剪切模量聲速c=343 m/s，不考慮板的阻尼系數(shù)，參考聲功率Wf=10-12W。設(shè)板在幾何中心處受到一垂直于板面的集中載荷作用，載荷的幅值為1 Ν。

布置三種數(shù)目的虛擬聲源計(jì)算該板的輻射聲功率，第一種、第二種、第三種虛擬聲源的數(shù)目分別為5×5（前一個(gè)數(shù)字表示x方向布置的行數(shù)，后一個(gè)數(shù)字表示y方向布置的行數(shù)）、10×10、15×15。利用體積速度匹配方法計(jì)算結(jié)構(gòu)輻射聲功率時(shí)采用等參矩形單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，離散的單元數(shù)目與虛擬聲源數(shù)目相同，每個(gè)虛擬聲源位置取于單元的幾何形心處。

采用上述三種數(shù)目的虛擬聲源用本文介紹的兩種計(jì)算方法進(jìn)行了聲功率求取，并將計(jì)算所得結(jié)果與文獻(xiàn)[15、16]中解析法獲得的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。圖2、圖3、圖4分別為第一種、第二種、第三種虛擬聲源布置情況下采用文中兩種方法計(jì)算出的平均輻射聲功率和解析法獲得的平均輻射聲功率的對(duì)比圖。

圖2 5×5的虛擬聲源計(jì)算結(jié)果與解析法計(jì)算

圖3 10×10的虛擬聲源計(jì)算結(jié)果與解析法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比圖

圖4 15×15的虛擬聲源計(jì)算結(jié)果與解析法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比圖

圖中表明，當(dāng)頻率較低時(shí)(f≤360 Hz時(shí))，使用三種不同數(shù)目的虛擬聲源計(jì)算結(jié)果幾乎相同。當(dāng)頻率f=360 Hz、185 Hz附近時(shí)，采用本文方法計(jì)算出的平均輻射聲功率會(huì)出現(xiàn)較大偏差，當(dāng)頻率f≥360 Hz時(shí)，5×5個(gè)虛擬聲源計(jì)算開始產(chǎn)生較大誤差。隨著虛擬聲源數(shù)目從5×5增加到10×10，當(dāng)頻率f≥360 Hz時(shí)，采用本文方法計(jì)算出的平均輻射聲功率不會(huì)出現(xiàn)偏差較大情況。除去頻率范圍在f=360 Hz、185 Hz附近時(shí)情況，采用本文方法計(jì)算產(chǎn)生的最大誤差在表2中列出。圖3、圖4表明當(dāng)采用更多虛擬聲源時(shí)，采用波疊加計(jì)算法得到的輻射聲功率可以在相對(duì)較高的頻率處很好地收斂于解析結(jié)果，這說明了波疊加法在較廣頻率范圍內(nèi)的適用性。

表2 虛擬聲源不同個(gè)數(shù)最大相對(duì)誤差比較表

5 結(jié)語

通過上述的研究結(jié)果表明，本文采用的兩種波疊加計(jì)算法在獲得結(jié)構(gòu)表面振速的情況下，通過求解虛擬聲源強(qiáng)度可以較好地估算輻射體表面的輻射聲功率。從加肋板的算例可以看出，波疊加計(jì)算法相對(duì)于其他算法具有以下的優(yōu)點(diǎn)：

（1）相對(duì)于邊界元法，它無需處理奇異性問題，計(jì)算得到簡化；

（2）在求解結(jié)構(gòu)的輻射聲功率時(shí)，不需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的輻射聲阻抗，計(jì)算效率得到提高；

（3）波疊加計(jì)算方法具有較廣的頻域適用性，在低頻范圍內(nèi)只需要較小數(shù)目的離散單元就可以獲得較高的計(jì)算精確度；

（4）相對(duì)于利用Fourier變換的計(jì)算方法，利用單元體積速度匹配原則的計(jì)算方法不需要求解振動(dòng)模態(tài)耦合矩陣，計(jì)算簡單直接。

波疊加法不僅可以與解析法相結(jié)合，形成一種求解結(jié)構(gòu)輻射聲功率的半解析半數(shù)值的計(jì)算方法，該方法還可以與有限元，邊界元等方法相結(jié)合，形成一種計(jì)算任意形狀結(jié)構(gòu)輻射聲功率的有效工具，作者將繼續(xù)從事該方向的研究。

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Wave Superposition MethodApplied to the Calculation of Radiation Sound Power of a Stiffened Plate

LIU Bao,WANG De-shi,ZHOU Qi-zheng
(Naval Engineering University,Wuhan 430033,China)

A method for calculating the radiation sound power of a stiffened plate was proposed using the principle of wave superposition.First of all,Fourier transform or element volume-velocity match was applied to the structural dynamic equation,and the volume velocity of the structure elements was obtained.According to the compatibility condition between the structure and the medium,a set of algebraic equations was established for calculating the virtual sound source intensity and the element volume velocity.Furthermore,the virtual sound source intensity could be used to compute the radiation sound power of the structure.Two methods were provided which can be used to compute the sound power of the stiffened plate without computing the surface pressure.As an example,the structural radiation sound power of a rectangular simplysupported baffled plate was computed.The result was compared with that of the analytical solution.It is shown that both the methods have high precision.Since the method based on the element volume velocity matching principle does not need to calculate the vibration modal coupling matrix,it is more straightforward and simple than the method using Fourier transform.

acoustics;wave superposition;radiation sound power;stiffened plate

TB132

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.01.005

1006-1355(2015)01-0023-06

2014－06－05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11372350)；海軍工程大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目（HGDQNSQJJ13006)

劉寶(1989－)，男，碩士研究生，河南新鄉(xiāng)人，主要從事結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制研究。

王德石，男，博士生導(dǎo)師，山東龍口，教授。E-mail:abcd3042454@163.com