論高中階段如何用初等數(shù)學方法求特殊數(shù)列的前n項和

論高中階段如何用初等數(shù)學方法求特殊數(shù)列的前n項和

杜怡萱 （西安文理學院數(shù)學與計算機工程學院 710072）

數(shù)列在初等教學當中占據(jù)著重要地位，如實際生活中的分期付款、人口增長的統(tǒng)計以及物品的擺放等問題幾乎都會涉及到數(shù)列，特別是特殊數(shù)列的前n項求和問題，在經過初步演算之后，都可以運用基本數(shù)列的方法求算。本文列出了特殊數(shù)列前n項和的幾種解法。

初等數(shù)學 數(shù)列求和 特殊數(shù)列

高考中數(shù)列求和的題目占據(jù)了一定的比例，尤其是特殊數(shù)列的前n項求和問題經常令學生感到困惑。目前中高考當中的數(shù)列求和問題已受到了教師和教研組的充分重視。文章參考了一些關于數(shù)列問題的研究成果，針對特殊數(shù)列前n項和的求法，試圖用初等數(shù)學方法進行計算，希望為教師和學生在日后的學習和工作中提供有益的參考。

一、初等數(shù)學中的數(shù)列概述

在初等數(shù)學中，數(shù)列求和問題是多種數(shù)學問題的契合點，與方程式、函數(shù)、不等式等有著密切的聯(lián)系。數(shù)列部分的內容涉及到很多方面，如整體代入、歸納類比、分類計算等方法和思想。在現(xiàn)實生活中，如分期付款、人口增長的統(tǒng)計以及物品的擺放等問題幾乎都會涉及到數(shù)列。數(shù)列在數(shù)學運算中屬一種特殊的函數(shù)，經過初等數(shù)學的運算，可以為日后高等數(shù)學的學習打下基礎。

在初等數(shù)學中，數(shù)列求和問題是其中的重要運算內容，教師可基于傳統(tǒng)的數(shù)學教法，對求和的方式進行分類和歸納總結。等比數(shù)列中的前n項求和公式蘊含著很多分類方法，本文主要圍繞等比數(shù)列和等差數(shù)列的基本公式，針對特殊數(shù)列前n項和的解題思路，導出相應的公式。但是在運算過程中還需要注意很多問題，比如在使用分解法時要進行項數(shù)抵消，哪些項應被消除，哪些項應被保留；項數(shù)被消除之后，所剩下的項數(shù)中，正數(shù)項和負數(shù)項的數(shù)量一定是相同的。所以在計算過程中一定要注意，不可以將項數(shù)漏寫。

二、用初等數(shù)學方法求特殊數(shù)列前n項和的幾種解題思路

（一）待定系數(shù)法

下面是解題思路：

要想求得這個數(shù)列的和，用教材當中的等差數(shù)列和等比數(shù)列公式顯然無法得出。公式中，分母的次數(shù)明顯大于分子的次數(shù)，所以可將將其轉為部分公式：

通過分析各項的特點可知，前項分式的后式以及后項分式中的前式是相反數(shù)，這樣公式的規(guī)律就可以看出來了，所以：

通過這種解法，求得特殊數(shù)列前n項和的思路大致為：首先求得數(shù)列通項的分式，然后使n=1，2，3……，將n代入到通項當中，得出各項的分式，最后數(shù)列前n項的和就可以得出來了。

（二）拆項法

拆項法是指將數(shù)列中的每一項分成兩項的差，分開之后的相鄰兩項就會消去，這樣分開計算，結果就只留下了首尾兩項，從而簡化算式得出最終結果。下面舉例說明：求此數(shù)列的和，

以下為解題思路：

當數(shù)列通項能夠分成兩項差的模式時，就可以使用拆分法，求得前n項的和。如果數(shù)列通項有如下特征，也可以通過拆分法進行運算求得前n項的和。

（三）降次法

在對自然數(shù)的n次冪和公式進行推導的過程當中會用到降次法，也即是通過對自然數(shù)（n+1）次冪公式的利用對自然數(shù)的n次冪進行推導。

下面舉例說明：

以上就是降次法的解題思路。這種方法能夠將問題轉化為等差和等比數(shù)列或者已知數(shù)列，從而求得數(shù)列之和。

綜上所述，在高中階段用初等數(shù)學方法求特殊數(shù)列的前n項和是每個高中生應該具備的能力，同時也是靈活解題的重要手段之一。在既有的研究成果中，對于特殊數(shù)列前n項和的求解方法并沒有形成完善的研究體系，解決方法也過于籠統(tǒng)，高中生往往無法有效掌握求解手段，這在很大程度上降低了高中生的學習興趣及學習效果。為此，本文針對特殊數(shù)列前n項和的求法，列出了幾種解題思路，將問題轉化為了最終的等差數(shù)列和等比數(shù)列求和問題的運算，促使特殊數(shù)列前n項和的運算得到了切實解決。

[1]白曉潔.新課程標準下高中數(shù)學數(shù)列問題的研究[D].開封：河南師范大學，2013.

[2]沈建梅.高中數(shù)列教與學的實踐與研究[D].揚州：揚州大學，2013.

[3]岳玉科.《數(shù)列求和》教學案例談新教材的有效研究探索[J].昭通師范高等?？茖W校學報，2011（S1）.

（責編 吳海婷）