巧選擇，妙解題

□陳德前

巧選擇，妙解題

□陳德前

在運(yùn)用解直角三角形的知識解決問題時，要注意優(yōu)選邊角關(guān)系，具體方式可概括為以下口訣：有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦），無斜（斜邊）用切（正切），寧乘毋除，避中（中間數(shù)據(jù)）取原（原始數(shù)據(jù)）.

例1（2015·聊城）湖南路大橋于今年5月1日竣工，為徒駭河景區(qū)增添了一道亮麗的風(fēng)景線.某校數(shù)學(xué)興趣小組用測量儀器測量該大橋的橋塔高度，在距橋塔AB底部50米的C處，測得橋塔頂部A的仰角為41.5°（如圖1）.已知測量儀器CD的高度為1米，則橋塔AB的高度約為（）

圖1

A.34米 B.38米

C.45米 D.50米

分析：在Rt△ADE中，利用三角函數(shù)即可求得AE的長，則AB的長度即可求解.由于斜邊未知，所以選用“無斜（斜邊）用切（正切）”來求解.

解：過D作DE⊥AB于E，

∴DE＝BC＝50米.

在Rt△ADE中，

∴AE＝DE·tan41.5°

≈50×0.88＝44（米）.

∵CD＝1米，∴BE＝1米，

∴AB＝AE＋BE＝45（米）.

例2（2015·常德）圖2是吊車在吊一物品時的示意圖，已知吊車底盤CD的高度為2米，支架BC的長為4米，且與地面成30°角，吊繩AB與支架BC的夾角為80°，吊臂AC與地面成70°角，求吊車的吊臂頂端A點距地面的高度是多少米？（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：sin10°＝cos80°＝0.17，cos10°＝sin80°＝0.98，sin20°＝cos70°＝0.34，tan70°＝2.75，sin70°＝0.94）

圖2

分析：由題可知AB＝AC，然后利用解直角三角形的方法求出AC，為此作AM⊥BC于點M，可在Rt△ACM中求斜邊AC，根據(jù)“有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦）”選用正弦或余弦；再在Rt△AEC中解出AE的長，同理選用正弦或余弦.

解：由題可知：如圖2，BH⊥HE，AE⊥HE，CD＝2，BC＝4，∠BCH＝30°，∠ABC＝80°，∠ACE＝70°.

∴∠ACB＝80°.

∵∠ABC＝80°，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AC＝BC＝4.

過點A作AM⊥BC于M，

∴CM＝BM＝2.

∵在Rt△ACM中，CM＝2，∠ACB＝80°，

例3（廣州）目前世界上最高的電視塔是廣州新電視塔.如圖3所示，新電視塔高AB為610米，遠(yuǎn)處有一棟大樓，某人在樓底C處測得塔頂B的仰角為45°，在樓頂D處測得塔頂B的仰角為39°.

圖3

（1）求大樓與電視塔之間的距離AC；

（2）求大樓的高度CD（精確到1米）.

分析：（1）由于△ABC是等腰直角三角形，所以AC＝AB.

（2）由矩形的性質(zhì)可知DE＝AC＝610米，在Rt△BDE中可求出BE的長，用AB的長減去BE的長度即可.

解：（1）因為∠ACB＝45°，∠A＝90°，因此△ABC是等腰直角三角形，由題意，AC＝AB＝610（米）.

（2）DE＝AC＝610（米），

在Rt△BDE中，

故BE＝DE·tan39°.

因為CD＝AE，

所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°

≈116（米）.