緊空間上的壓和一類非緊壓的關(guān)系

緊空間上的壓和一類非緊壓的關(guān)系

王威

(應(yīng)天職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,江蘇 南京210023)

摘要：文章主要對動(dòng)力系統(tǒng)中一類非緊致集合上拓?fù)鋲旱男再|(zhì)進(jìn)行分析,并討論與緊致集合拓?fù)鋲旱年P(guān)系,及對平衡態(tài)存在問題進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：變分原理;拓?fù)鋲?非緊集合;壓函數(shù)

收稿日期：2014-11-12

作者簡介：王威(1978-),男,碩士,講師，主要研究方向?yàn)閯?dòng)力系統(tǒng)、遍歷理論。

中圖分類號：O189

Relationship Between Topological Pressure for Compact

Subset and Topological Pressure for Some Non-compact Subset

WANG Wei

(YingTian College,Nanjing,210023)

Abstract:The properties of certain non-compact subset of the topological pressure in dynamical system were analyzed, and then discussed the relationship between non-compact and compact subset of topological pressure, and the problems in equilibrium.

Key words:variational principle; topological pressure; non-compact sets; pressure function

1引言

動(dòng)力系統(tǒng)中,熵和拓?fù)鋲撼霈F(xiàn)引起了學(xué)者的濃厚興趣。在反映系統(tǒng)復(fù)雜性的時(shí)候往往可以通過熵和壓刻畫得出重要的結(jié)果.上世紀(jì)70,80年代Bowen,Pesin[1]人將熵的概念從緊空間拓展到了非緊空間.Faloner[2]在混合排斥子上建立了次可加的變分原理。Barreira[3]在緊致空間中建立了任意非可加的變分原理。之后它成為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題.進(jìn)入二十一世紀(jì),在非緊空間上拓?fù)鋲旱墓ぷ魑撕芏鄶?shù)學(xué)家研究和探索.Cao[4,5,6], Feng[7],Climenhage[8], Mummert[9]得到了很多有價(jià)值的結(jié)論,并建立了非緊致集合上的變分原理,特別文獻(xiàn)[4]在不加任何限定的條件得到了次可加函數(shù)列的變分原理。[10]討論了非緊空間拓?fù)鋲汉瘮?shù)的凸性。本文主要是在[10]的條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的討論。

非緊集合的拓?fù)鋲旱淖兎衷?若V(x)∩E(Z,T)≠φ,?x∈Z,則對任意實(shí)值連續(xù)函數(shù)φ:X→R, 有P(Z,φ)=sup{h(T,μ)+∫Zφdμ:μ∈E(Z,T)}.

若φ=0, 即為非緊集的拓?fù)潇氐淖兎衷? 若Z為緊致集合,則與經(jīng)典變分原理一致. 2010年豐德軍和黃文[7]定義了極限次可加函數(shù)并且給出了極限次可加函數(shù)序列下熵的變分原理.

相關(guān)的動(dòng)力系統(tǒng)中的定義,讀者可以查閱相關(guān)書籍或文獻(xiàn)。

2本文需要用到的定義

本文涉及的主要概念有次可加函數(shù)列;極限次可加函數(shù)列;Lyapunov 指數(shù);壓函數(shù)等。詳細(xì)的定義可以參見文獻(xiàn)[10].

成立的μ的集合,若I(φ+qF,T)≠φ,則稱I(φ+qF,T)中的元素為關(guān)于φ+qF的平衡態(tài)。

3幾個(gè)引理

(1)

(2)

證明:首先證明I(φ+qF,T)非空。

對每個(gè)q>0,由命題3.1知,?{μn}?M(X,T)使得

假設(shè)μ是{μn}的極限點(diǎn),則由熵映射和F*的上半連續(xù)性及φ的連續(xù)性有

再由命題3.1得

即μ∈I(φ+qF,T)。

亦知I(φ+qF,T)中的極限點(diǎn)仍屬于I(φ+qF,T),從而知I(φ+qF,T)是閉的,進(jìn)而知I(φ+qF,T)是緊致的。

設(shè)μ是I(φ+qF,T)的端點(diǎn),下證μ是遍歷的,且μ也是M(X,T)的端點(diǎn)。

設(shè)μ1,μ2∈M(X,T),?p>0使得μ=pμ1+(1-p)μ2。又有

所有

利用命題3.1知μ1,μ2∈I(φ+qF,T),μ是I(φ+qF,T)的端點(diǎn),所以μ=μ1=μ2,即μ也是M(X,T)的端點(diǎn)。所以μ是遍歷的。

下證P(φ+qF)的導(dǎo)數(shù)形式,固定q>0,取μ∈I(φ+qF,T),對?t>-q

所以P(φ+(q+t)F)-P(φ+qF)≥tF*(μ)。

故有P′(φ+(q+)F)≥F*(μ)和P′(φ+(q-)F)≤F*(μ)

由μ的任意性知

(3)

(4)

所以P′(φ+qF)存在時(shí),對?μ∈I(φ+qF,T)有

對于(3.1)只需證明存在ν∈I(φ+qF,T)使得

因?yàn)镻(φ+qF)是(0,+∞)內(nèi)的凸函數(shù),所以?{qn}↓q,使得對每個(gè)n,P′(φ+qnF)存在,且

選取νn∈I(φ+qF,T),ν是{νn}的極限點(diǎn),不失一般性,我們有νn→ν,則

所以ν∈I(φ+qF,T),且

由(3.3)及上式可得(3.1).同理可得(3.2).

引理3.2:對任意實(shí)數(shù)r,Ir(φ+tF,T):={ν∈I(φ+qF):F(ν)=r}是凸的緊的。

證明:設(shè)ν1,ν2∈Ir(φ+tF,T),p∈(0,1),則F*(ν1)=F*(ν2)=r。

設(shè)ν=pν1+(1-p)ν2。由I(φ+qF,T)是的凸性知

ν=pν1+(1-p)ν2∈I(φ+qF,T),pF*(ν1)+(1-p)F*(ν2)=r=F*(ν)

Ir(φ+tF,T):={ν∈I(φ+qF):F(ν)=r}是凸的。

下證緊的。設(shè){νn}?Ir(φ+tF,T),νn→ν?M(X,T),由上半連續(xù)性

hν(T)+∫φdν+tF*(ν)≥

=P(φ+qF)

由命題3.1知ν∈I(φ+qF),而且hν(T)=hνn(T)=P(φ+qF)-tr-∫φdν,

F*(νn)=F*(ν)=r,所以ν∈Ir(φ+tF)。即Ir(φ+tF)是緊的。

得證。

4本文的主要結(jié)果

(1) 對于任意的α=P′(φ+F(t+))或α=P′(φ+F(t-)), 則EF(α)≠φ,且

其中P′(φ+F(t+)),P′(φ+F(t-))分別表示P(φ+qF)關(guān)于q在t處的右左導(dǎo)數(shù),P(φ+qF)=PX(T,φ+qF).當(dāng)α=P′(+∞)時(shí)上式也成立;

P′(φ+tF)=hμ(T)+∫φdμt

=infq>0{P(φ+qF)-P′(φ+qF)q}

由命題3.1知ν1,ν2∈I(φ+qF,T),由引理3.1知

同時(shí)

所以α=F*(ν1)=F*(ν2)。從而ν1,ν2∈Iα(φ+qF,T)。又由ν是Iα(φ+tF,T)的端點(diǎn),所以ν=ν1=ν2,那么ν也是M(X,T)的端點(diǎn)。即ν是遍歷的。

同理可證,Iβ(φ+tF,T)也包含遍歷測度。

由Kingman Sub-additive 定理有ν(EF(α))=1。所以由命題3.2

另一方面,由推論4.1[10]

當(dāng)α=P′(+∞)時(shí),

(5.1)

由定理3.1(3)[10]知

存在μn→μ∈M(X,T),使得

由定理3.1(1)[10]知

所以等式(5.1)成立。所以(1)得證。

證明(2)

由(1)和等式(5.1)及定理3.1(3)[10]可得。

證明(3)

假設(shè)t>0,使得φ+tF有唯一的平衡態(tài)μt,則由引理3.1

由(1)(2)可得(3)成立。

綜上所述,定理4.1得證。

參考文獻(xiàn)

1Y. Pesin, B. Pitskel, Topological pressure and thevariational principle foe noncompact sets, {Funktsional. Anal. I Prilozhen}, 1984 (4): 50-63 (in Russian).

2K.J.Falconer, A subadditive thermodynamic formalism for mixing repellers, J.Phys. A. 1988 (21):737-742.

3L. Barreira, A non-additive thermodynamic formalism and applications to dimension theory of hyperbolic dynamical systems, Ergodic Theory Dynam, 1996(16),871-927.

4Y.Cao, D. Feng,W.Huang.The thermodynamic formalism for sub-additive potentials,Discrete Contin.Dyn.Syst., 2008 (20),639-657.

5Y.Zhao and Y.Cao,Measure-theoretic pressure for subadditive potentials,Nonlinear analysis, 2009 (70),2237-2247.

6W.Cheng,Y.Zhao and Y.Cao, Pressures for asymptotically subadditive potentials under a mistake function,Discrete Contin.Dynam.Syst.Ser.A, 2012 (32):487-497.

7D.J.Feng,W.Huang, Lyapunov spectrum of asymptoticallysub-additive potentials. Commun. Math. Phy, 2010(297):1-43.

8V. Climenhage, Bowen’s equation in the non-uniform setting, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 2011 (31):1163-1182.

9A.Mummert, Thermodynamic formalism for almost-additive sequences, discrte contin. dyn. syst. 2006 (16):435-454.

10王威,陳明朋 非緊拓?fù)鋲汉瘮?shù)的性質(zhì) 安徽建筑工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)2014,22(1):86-90.