采用矩陣?yán)鄢说淖韵嚓P(guān)矩陣構(gòu)造*

程 皓，劉 軍

(1.成都大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，成都 610106;2.電子科技大學(xué) 通信抗干擾技術(shù)國家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610052)

1 引言

基于特征值分解(Eigen Value Decomposition，EVD)和奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)的子空間算法是近年來研究的熱門方向，被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、頻譜估計(jì)、陣列傳感器數(shù)據(jù)估計(jì)和其他參數(shù)估計(jì)［1］等領(lǐng)域。國內(nèi)外對(duì)子空間算法的研究多集中在EVD 和SVD 分解算法的研究上，但由于被分解的自相關(guān)矩陣是由各類傳感器單次采樣得到，決定了其矩陣內(nèi)采樣數(shù)較少、受噪聲影響較大的特點(diǎn)。由于被分解的相關(guān)矩陣采樣點(diǎn)數(shù)量的先天不足，若通過改造EVD 和SVD 分解算法來實(shí)現(xiàn)特征值的提取，其提升效果較為有限。從國內(nèi)外發(fā)表的文獻(xiàn)也可以看出，改進(jìn)EVD 和SVD 分解算法一般是在信號(hào)質(zhì)量較好、信噪比(Signal－to－Noise Ratio，SNR)較高情況進(jìn)行的，對(duì)低信噪比環(huán)境下的信號(hào)效果不好。究其原因是被分解的相關(guān)矩陣樣本數(shù)不足，對(duì)同一矩陣僅依靠算法上的提高不能有效提高信號(hào)特征值。對(duì)于上述缺點(diǎn)，要解決低信噪比下的特征值分解問題，需要從被分解的矩陣源頭入手，通過多次采樣、分段相乘的方法，擴(kuò)大被分解矩陣的樣本數(shù)，從而抵消噪聲在待分解矩陣中所占的比值，達(dá)到顯著提升信號(hào)特征值的目的。

采用相關(guān)矩陣分段相乘技術(shù)(Matrix Multiplication based Subspace，MMS)構(gòu)造的矩陣，不僅能像傳統(tǒng)方法一樣，在信號(hào)特征值與信噪比函數(shù)之間建立聯(lián)系，而且能在信號(hào)特征值與累積窗口數(shù)量之間也建立函數(shù)關(guān)系。信號(hào)特征值既是信噪比的函數(shù)也是累積窗口分段數(shù)的函數(shù)。在低信噪比條件下，僅通過增加分析窗口的分段數(shù)量，就能明顯區(qū)分出信號(hào)特征值與噪聲特征值。

將新構(gòu)造的矩陣用EVD 分解，顯示出該算法能明顯提升信號(hào)特征值的特性。新算法能有效提高有用信號(hào)特征向量的估計(jì)效果，對(duì)多用戶條件下的用戶數(shù)檢測(cè)、碼型分離同樣有效。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 相關(guān)矩陣數(shù)學(xué)模型

子空間的相關(guān)矩陣R 可以用如下公式表示:

式中，yi代表第i個(gè)采用窗口內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)(共M個(gè)采樣點(diǎn))，E{·}代表N個(gè)窗口內(nèi)所有數(shù)據(jù)的平均值。

從上式可以看出，信號(hào)特征值的大小僅取決于信噪比的大小，而與統(tǒng)計(jì)窗口累積次數(shù)的多少無關(guān)。由此可以得出結(jié)論，傳統(tǒng)子空間方法［2］僅僅依靠增加統(tǒng)計(jì)窗口個(gè)數(shù)是無法達(dá)到提取信號(hào)特征值的目的，若每個(gè)采樣窗口均處于低信噪比的條件下，信號(hào)特征值仍然會(huì)湮沒在噪聲中。

區(qū)別于傳統(tǒng)子空間對(duì)相關(guān)矩陣的構(gòu)造方法，本文提出的構(gòu)造方法，對(duì)R 的建立不再采用R=］的方式，而改用累乘的方法，即通過對(duì)采樣后的數(shù)據(jù)分段、累乘，構(gòu)造出新的相關(guān)矩陣。

構(gòu)造的新型矩陣具備如下特點(diǎn):

(1)保留了傳統(tǒng)子空間方法相關(guān)矩陣的特性，能夠在信號(hào)特征值與信噪比函數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系;

(2)分解后的信號(hào)特征值大小與累積窗口數(shù)量相關(guān)，即信號(hào)特征值既是信噪比ρ 的函數(shù)也是累積窗口分段數(shù)K 的函數(shù);

(3)分析窗口數(shù)量越多，信號(hào)特征值增長越快，而噪聲信號(hào)的特征值幾乎不隨分析窗口數(shù)量的增長而增加。當(dāng)累積窗口數(shù)量K 達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，能明顯區(qū)分出信號(hào)特征值與噪聲特征值。

2.2 直接序列擴(kuò)頻(DSSS)數(shù)學(xué)模型

下面對(duì)本文使用到的各種數(shù)學(xué)符號(hào)作如下定義:{ck，k=0，1，…，P－1 }為用戶擴(kuò)頻序列;P 為序列位數(shù)(長度);Ts為 符號(hào)周期;Te為 采樣周期;Tc為碼片周期(Tc=Ts/P);t0為 失步時(shí)間(采樣窗口與實(shí)際的符號(hào)起止窗口時(shí)間差)，見圖1;h(t)為信號(hào)傳輸過程中所有信號(hào)畸變帶來的影響總和，也可以理解為傳輸鏈中發(fā)射端濾波器、信道濾波器、接收端濾波器和其他信道畸變影響帶來失真的卷積，

h 為h(t)的矢量表示;s(t)為擴(kuò)頻信號(hào)經(jīng)接收機(jī)接收、解調(diào)后的基帶信號(hào)，

n(t)為噪聲;σ2為噪聲方差;y(t)=s(t)+n(t)為接收機(jī)解調(diào)輸出含噪信號(hào)。

圖1 采樣時(shí)間窗Fig.1 The window of sampling time

對(duì)上述變量和后面要推導(dǎo)的公式進(jìn)行如下限定:

(1)擴(kuò)頻前用戶基帶信號(hào)ak在較長期限內(nèi)“+1”、“－1”數(shù)量大體相等，均值為零;

(2)噪聲n(t)為高斯型白噪聲，且與信號(hào)ak相互獨(dú)立，完全不相關(guān);

(3)使用循環(huán)譜相關(guān)方法能夠在極低SNR 下計(jì)算出碼片周期Tc和載波頻率f0。本文的仿真條件定于SNR=－30 dB，此時(shí)，通過文獻(xiàn)［3］可證明方法可行，在該SNR 下可獲擴(kuò)頻信號(hào)的射頻載波頻率f0、符號(hào)周期Ts和碼片周期Tc;

(4)射頻載波頻率f0可得，需設(shè)計(jì)相應(yīng)下變頻接收機(jī)，通過數(shù)控振蕩器(Numerically－ Controlled Oscillator，NCO)產(chǎn)生頻率為f0的混頻信號(hào)，對(duì)接收機(jī)接收到的調(diào)制信號(hào)進(jìn)行混頻(相乘)，從而下變頻到基帶;

(5)Tc可得，為了簡(jiǎn)化算法，可將仿真采樣周期Te直接設(shè)置成Tc，但此僅為了計(jì)算方便，并非必要，即Tc可不知;

(6)Ts可得，將采樣窗口周期設(shè)置為Ts。

3 累乘算法

根據(jù)2.2 節(jié)所述，將每個(gè)采樣窗口時(shí)長Ts分為K 段，K 段內(nèi)包含N個(gè)獨(dú)立計(jì)算的窗口，每段單獨(dú)計(jì)算自相關(guān)矩陣。K個(gè)自相關(guān)矩陣相乘后得到新的待分解相關(guān)矩陣

式中，Ek表示第k個(gè)N 組窗口的均值;yi表示第k 段、第i個(gè)窗口的采樣序列，yi為列矢量。

按照上述理論，將采樣窗口周期設(shè)置為符號(hào)周期，由于采樣的時(shí)間起始點(diǎn)不確定，采樣起始點(diǎn)不可能完全與符號(hào)起始點(diǎn)在時(shí)間上重合，導(dǎo)致單個(gè)采樣周期內(nèi)應(yīng)該橫跨兩個(gè)符號(hào)。這里設(shè)第一個(gè)符合為ak，保持時(shí)間t0(t0為失步時(shí)間，未知)，設(shè)第二個(gè)符號(hào)為ak+1，保持時(shí)間為一個(gè)完整符號(hào)周期減去上一個(gè)符號(hào)的保持周期Ts－t0。由于單個(gè)采樣周期內(nèi)存在兩個(gè)符號(hào)的不同段，對(duì)該采樣周期內(nèi)的相關(guān)矩陣分解后，將呈現(xiàn)兩個(gè)較大的有用信號(hào)特征值，該特征值分別表示上述兩個(gè)符號(hào)的前端和后端，而其他特征值均為噪聲特征值:

式中，n 表示噪聲，為矢量信號(hào);h0=［0，0，…，0］是包含Ts－t0個(gè)h(t)值與t0個(gè)0 值的矢量;h－1是一個(gè)包含Ts－t0個(gè)0 值與t0個(gè)h(t)的矢量。

根據(jù)式(3)可得

定義

式(4)可改寫為

擴(kuò)頻后的信號(hào)方差可表示為

信噪比不采用以dB 為單位的對(duì)數(shù)表達(dá)式，而采用信號(hào)與噪聲的直接比值，定義如下:

式(5)可進(jìn)一步改寫為

對(duì)矩陣R 進(jìn)行特征值分解，特征值中λ1、λ2為有用信號(hào)矢量的兩個(gè)特征值，其他特征值λi(i≥3)則為表征噪聲矢量的噪聲特征值，其產(chǎn)生機(jī)理是由系統(tǒng)中的各類噪聲引起。

根據(jù)式(7)，使用本文論述的累乘構(gòu)造算法，λ1、λ2不僅與信噪比ρ 有關(guān)，同時(shí)也是分段數(shù)量K的函數(shù)，即λ1、λ2是ρ 和k 兩者的函數(shù)。

為了比較，下面給出傳統(tǒng)子空間相關(guān)函數(shù)構(gòu)造方法:

式(7)與式(8)之間關(guān)系為

將式(9)按泰勒級(jí)數(shù)展開，得到

忽略二次及以上項(xiàng)，簡(jiǎn)化后得到

為了簡(jiǎn)化，這里假設(shè)

根據(jù)式(10)，得到新算法特征值λ1、λ2和λi之間的關(guān)系為

比較式(11)、(12)，在低信噪比條件下，ρ "0，A，A、B "0。此時(shí)，使用傳統(tǒng)自相關(guān)算法構(gòu)造的矩陣分解后得到的結(jié)果，其噪聲與兩個(gè)信號(hào)特征值之比趨向于1∶ 1∶ 1(見公式(12))，不能從噪聲特征值中有效地辨出信號(hào)特征值。而采用MMS 累積得到的相關(guān)矩陣，分解后由于K 為一個(gè)大的正整數(shù)，能有效增加λ1、λ2與其他特征值λi之間的差異。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

綜合考慮算法的計(jì)算量、采樣樣本數(shù)和仿真時(shí)間，參考文獻(xiàn)［3］，本文使用自相關(guān)、互相關(guān)性非常好的Gold 碼作為擴(kuò)頻序列，碼長設(shè)為63，調(diào)制類型設(shè)為QPSK，信噪比設(shè)為SNR=－30 dB［3］，此時(shí)可預(yù)先估計(jì)出載波頻率f0、符號(hào)周期Ts、碼片周期Tc。此時(shí)，ρ=0.001，并設(shè)置K ×N=10 000個(gè)分析窗口，對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證。采樣周期Te=Tc=Ts/P，采樣窗口周期設(shè)為Ts，為了方便計(jì)算，信道內(nèi)沒有多徑干擾，失步系數(shù)設(shè)定為T0/Ts=0.4，失步時(shí)間t0未知，也可通過式(10)得出。

按照上述參數(shù)設(shè)置，最終分解后的特征值為A=0.037 8，B=0.025 2。

圖2 傳統(tǒng)EVD 子空間分解后的特征值Fig.2 The eigen values by using traditional EVD subspace decomposition

采用MMS 算法后，設(shè)定K=8，N=1250，同樣在10 000個(gè)窗口條件下進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3 所示。λ1∶ λ2∶ λi之間比例關(guān)系為

圖3 MMS 算法K=8、N=1250 條件下特征值Fig.3 The eigen values based on MMS algorithm when K=8 and N=1250

此時(shí)，由于λ1、λ2受K 的系數(shù)乘積的擴(kuò)大，能明顯分辨出信號(hào)特征值λ1、λ2與噪聲特征值λi之間的差異。對(duì)比傳統(tǒng)方法的圖2 和使用MMS 算法的圖3可以看出，MMS 算法在低信噪比環(huán)境下的特征值提取上有巨大的優(yōu)勢(shì)。定量來說，采用MMS 算法后，有用信號(hào)特征值A(chǔ) 增大為原來0.3/0.0378≈7.9 倍，有用信號(hào)特征值B 增大為原來0.2/0.0252≈7.9 倍。

同樣，在不改變總窗口數(shù)量10 000的條件下，調(diào)整分段數(shù)，使K=20、N=500，信號(hào)特征值與噪聲特征值比例關(guān)系理論上應(yīng)為

圖4 證明了這一理論推導(dǎo)。同理，比較圖3 和圖4可知，隨著K 的增加，信號(hào)特征值λ1、λ2與噪聲特征值λi的差異越來越明顯。但由于總窗口數(shù)K ×N保持不變(為10 000)，數(shù)量并未增加。K 的增加，導(dǎo)致每段內(nèi)窗口數(shù)N 的減小;樣本數(shù)N 的減小，導(dǎo)致噪聲對(duì)分解矩陣R 的影響增大，每個(gè)分段求出的相關(guān)矩陣特征值的均方差波動(dòng)變大，所以累乘方法求出的信號(hào)特征值的均方差波動(dòng)比傳統(tǒng)算法大。

圖4 MMS 算法K=8、N=500 條件下特征值Fig.4 The eigen values based on MMS algorithm when K=20 and N=500

為了克服這一缺點(diǎn)，MMS 算法適用于存在足夠分析窗口條件下，即樣本數(shù)足夠多，此時(shí)N 和K 都能取得一個(gè)較大的數(shù)值，N 的增大可減小每個(gè)相關(guān)矩陣的均方差波動(dòng)，K 的增大可提高信號(hào)特征值分辨率。

將信號(hào)特征值λ1、λ2代表的特征矢量組合，可得到待估計(jì)的Gold 碼，組合方法見文獻(xiàn)［5］，由于不是本文討論重點(diǎn)，此處不再詳述。

由于該算法的計(jì)算結(jié)果僅依賴于采樣樣本數(shù)，與計(jì)算次數(shù)無關(guān)，對(duì)同一樣本進(jìn)行計(jì)算得到的結(jié)果相同，所以未采用蒙特卡洛方法進(jìn)行重復(fù)計(jì)算。

5 結(jié)束語

本文另辟蹊徑，從其待分解的信號(hào)采樣矩陣入手，提出了一種低信噪比環(huán)境下的信號(hào)相關(guān)矩陣構(gòu)造方法。這一方法重新設(shè)計(jì)了相關(guān)矩陣的構(gòu)造算法，利用累乘計(jì)算，將各個(gè)分段矩陣互乘，從而達(dá)到在不增大噪聲特征值的基礎(chǔ)上增大信號(hào)特征值的目的，最終達(dá)到擴(kuò)頻信號(hào)碼型分離的目的，計(jì)算量與傳統(tǒng)構(gòu)造方法相似。該算法的提出也符合碼分多址(CDMA)低信噪比傳輸特性，具有較大的實(shí)用價(jià)值。

通過計(jì)算機(jī)模擬產(chǎn)生的擴(kuò)頻信號(hào)作為輸入信號(hào)，驗(yàn)證了該算法的理論推導(dǎo)的正確性，仿真結(jié)果表明，該算法實(shí)際計(jì)算與理論推導(dǎo)一致，可有效解決低信噪比條件下無法提取擴(kuò)頻用戶碼序列的問題。文中考慮到計(jì)算量的問題，以63 位Gold 碼和QPSK信號(hào)作為調(diào)制信號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證，由于算法最終區(qū)分的信號(hào)與噪聲矢量完全是以基帶形式表現(xiàn)出來，所以實(shí)際工程應(yīng)用中，該算法不依賴其調(diào)制種類，可普遍應(yīng)用于任何DSSS 信號(hào)的碼型分離。

下一步工作重點(diǎn)是解決該算法在N 和K 取值均較大情況下保證低波動(dòng)性和高分辨率的問題。

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