MCS自適應(yīng)算法在非線性結(jié)構(gòu)AMD控制中的應(yīng)用*

涂建維，張妙嫻，汪伯潮

(武漢理工大學(xué)道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點實驗室，湖北武漢430070)

0 引言

工程結(jié)構(gòu)在地震、強風(fēng)等災(zāi)害荷載作用下，會進入彈塑性階段，結(jié)構(gòu)抗力會發(fā)生衰減，呈現(xiàn)出一系列復(fù)雜的非線性問題 (秦榮，2006)。當(dāng)結(jié)構(gòu)遭遇較強地震作用時，結(jié)構(gòu)構(gòu)件將有可能發(fā)生屈服、結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生退化，從而使結(jié)構(gòu)響應(yīng)迅速增大，甚至造成結(jié)構(gòu)破壞、倒塌 (韓建平等，2007)。結(jié)構(gòu)AMD主動控制技術(shù)使得結(jié)構(gòu)在外部動力荷載作用下，能主動調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)，從而最優(yōu)地減小結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)。控制算法作為該技術(shù)的核心組成部分，決定著振動控制的穩(wěn)定性和減振效果的好壞。因此，選擇合適的控制算法對AMD系統(tǒng)能否有效減小非線性結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)是極為重要的。

最小控制綜合 (MCS)算法最早由Stoten和Benchoubane(1990a，b)提出，通過對操縱器、蓄水庫裝置進行仿真、試驗研究，證明了MCS算法在系統(tǒng)參數(shù)變化、外部干擾不確定以及系統(tǒng)非線性的情況下也能達到很好的控制效果;Stoten和Gomez(2001)運用MCS算法控制振動臺，證明了MCS算法通過自適應(yīng)增益的實時調(diào)整，可以有效地處理振動臺運行過程中出現(xiàn)的非線性情況，提高振動臺的精度。

基于以上研究成果，本文將MCS算法應(yīng)用于AMD控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)研究了該控制系統(tǒng)對非線性結(jié)構(gòu)的控制效果。本文比較了剛度退化結(jié)構(gòu)與線性結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng);用MCS算法來控制AMD系統(tǒng)，采用拉格朗日法推導(dǎo)了地震作用下結(jié)構(gòu)自適應(yīng)控制的基本方程;為了驗證MCS算法控制AMD裝置的有效性，在小型振動臺上對安裝AMD系統(tǒng)的剛度突變結(jié)構(gòu)進行試驗研究。

1 非線性結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)仿真

本文研究對象是安裝AMD控制系統(tǒng)的單層結(jié)構(gòu)模型，模型簡圖如圖1所示，具體參數(shù)如表1所示。

表1 AMD裝置控制的結(jié)構(gòu)模型參數(shù)Tab.1 The model parameters of the structure under AMD control

首先采用理想不退化雙線型模型建立結(jié)構(gòu)剛度的退化模型 (彭凌云，2004)，如圖2所示。該模型的加載剛度和卸載剛度均為結(jié)構(gòu)初始剛度，結(jié)構(gòu)初始剛度k1=500 N·m-1，屈服位移xy=10 mm。當(dāng)結(jié)構(gòu)位移x≥xy時，結(jié)構(gòu)屈服進入彈塑性階段，剛度退化為k2，取k2=0.1，k1=50 N·m-1。在SIMULINK中對無控結(jié)構(gòu)進行非線性仿真分析，地震波選用壓縮后的El Centro波，得到結(jié)構(gòu)的滯回曲線和結(jié)構(gòu)剛度隨時間的變化如圖3所示。

圖1 結(jié)構(gòu)振動的AMD主控控制模型Fig.1 AMD control model of structural vibration

圖2 雙線型模型Fig.2 Double linear model

圖3 無控結(jié)構(gòu)剛度的時程曲線 (a)和滯回曲線 (b)Fig.3 The time history(a)and hysteretic(b)curves of uncontrolled structure stiffness

圖4 無控結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的時程曲線Fig.4 The time history of uncontrolled structural displacement response

從圖3可以看到，結(jié)構(gòu)恢復(fù)力與位移之間表現(xiàn)出明顯的不退化雙線型恢復(fù)力模型，說明仿真過程是準(zhǔn)確無誤的;圖4對比了線性無控與剛度退化時的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)，從圖中可以看到，由于沒有減振裝置，結(jié)構(gòu)剛度從第三秒開始就處于屈服退化狀態(tài)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)迅速增大并持續(xù)保持在較大范圍內(nèi)波動，這會威脅到結(jié)構(gòu)的安全，需要采取減振措施對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進行控制。

2 基于MCS算法的結(jié)構(gòu)AMD系統(tǒng)控制方程

首先闡述AMD系統(tǒng)控制的原理及公式。結(jié)構(gòu)AMD主動控制系統(tǒng)由傳感器、控制器和作動器組成，其原理如圖5所示。在整個控制過程中，需要實現(xiàn)控制力可以實時改變和受控結(jié)構(gòu)的實際振動響應(yīng)與參考模型響應(yīng)保持一致這兩個目標(biāo) (歐進萍，2003)，參考模型MCS自適應(yīng)控制算法可以實現(xiàn)上述目標(biāo)，其原理如圖6所示。受控結(jié)構(gòu)在外部激勵d(t)作用下輸出響應(yīng)為X(t)，參考模型在外部激勵r(t)作用下輸出響應(yīng)為Xm(t)。將Xm(t)作為目標(biāo)響應(yīng)，Xe(t)為X(t)與Xm(t)產(chǎn)生的偏差，它會驅(qū)動自適應(yīng)控制器，計算當(dāng)前時刻的自適應(yīng)增益K(t)和Kr(t)，從而實時計算出主動控制力U(t)。將U(t)將施加到受控結(jié)構(gòu)上，會使得結(jié)構(gòu)實際響應(yīng)跟蹤目標(biāo)響應(yīng)，即X(t)=Xm(t)，從而實現(xiàn)了控制目標(biāo)。

在地震作用下，結(jié)構(gòu)振動的AMD主動控制模型如圖1所示，其拉格朗日方程為 (盧圣治，2004)

其中，L為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)，L=T-V，V是系統(tǒng)的勢能，T是系統(tǒng)的動能;qα是廣義坐標(biāo)，本文廣義坐標(biāo)取xf和xc;Qqα是對應(yīng)廣義坐標(biāo)上的廣義力。

在絕對位移坐標(biāo)系下，地震作用的地面位移為xg(t)，由式 (1)可以得到:

圖5 結(jié)構(gòu)AMD主動控制系統(tǒng)Fig.5 AMD control system of the structure

圖6 MCS自適應(yīng)算法控制流程圖Fig.6 The control flow chart of MCSadaptive algorithm

其中，Jm為小車電機轉(zhuǎn)動慣性矩;Kg為小車齒輪傳動比;rmp為小車電機齒輪半徑;Beq為小車等效粘滯阻尼;C為結(jié)構(gòu)阻尼。

其中，d(t)=x¨g(t)，對于采用MCS控制算法的結(jié)構(gòu)AMD控制系統(tǒng)，主動控制力U可由式 (5)計算得到:

其中，r(t)為參考輸入，取r(t)=Kd·d(t)=Kd·x¨g(t)，0 ＜Kd＜ 1，K(t)、Kr(t)為自適應(yīng)增益，可通過式 (6)計算得到:

其中，比例因子α＞0，β≥0;ye(t)是系統(tǒng)輸出誤差信號，可由式 (7～8)計算得到:

其中，Ce是輸出矩陣;Xe(t)是參考模型輸出與被控模型輸出的誤差;Xm(t)是參考模型的輸出響應(yīng)。這幾個參數(shù)可通過以下參考模型的狀態(tài)方程求得:

其中，ωi為結(jié)構(gòu)第i階自振頻率 (i=1，2，…，n);ξ為結(jié)構(gòu)阻尼比。

3 MCS算法對剛度突變結(jié)構(gòu)的控制試驗

該試驗在武漢理工大學(xué)完成，試驗裝置由小型振動臺、一層剪切型鋼框架結(jié)構(gòu)和AMD控制裝置組成，加拿大Quanser公司研發(fā)了該設(shè)備。為了實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的剛度突變，先對結(jié)構(gòu)采用增加橡皮筋斜撐的方法來增加結(jié)構(gòu)剛度，如圖7所示。當(dāng)結(jié)構(gòu)在振動過程中突然剪斷張緊的橡皮筋，這樣結(jié)構(gòu)的剛度會突然減小以實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的剛度突變。剪斷橡皮筋后的結(jié)構(gòu)剛度以及其余參數(shù)如表1所示。

圖7 加橡皮筋的試驗結(jié)構(gòu)Fig.7 Experimental structure of the added rubber bands

使用壓縮后的El Centro波作為地震激勵驅(qū)動小型振動臺，地震波的峰值加速度是0.5 g，持續(xù)時間是13.4 s，取實測臺面加速度作為d(t)，采用降低地震能量方法建立參考模型 (張凱靜等，2010)，地震能量調(diào)節(jié)增益Kd=0.75，采用MCS自適應(yīng)算法對AMD裝置實施控制，輸出矩陣取Ce=［ω11］=［17.8 1］，α =100，β=10。

圖8顯示了剪斷橡皮筋前后結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。從圖中可以看出，在地震持續(xù)時間為2.8 s時，皮筋被剪斷，結(jié)構(gòu)的剛度從643 N·m-1迅速減小到500 N·m-1，相對于不剪斷皮筋情況結(jié)構(gòu)頂點的最大位移從13 mm增大到20 mm。特別是在剪斷皮筋的瞬間，結(jié)構(gòu)的最大位移從9 mm迅速突變到20 mm，增大了約120%。圖9顯示了剛度突變情況下無控、MCS算法控制的結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。從圖中可以看出，采用MCS算法的AMD系統(tǒng)可以有效地減小結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，具體如表2所示。其中，xf、x¨f分別是結(jié)構(gòu)頂部相對于地面的位移和加速度;magxf是結(jié)構(gòu)位移傅里葉幅值;xf，RMS是結(jié)構(gòu)位移均方根值，表示在地震作用持續(xù)時間內(nèi)xf各瞬時值的平方的平均值的平方根。在地震持續(xù)時間為2.8 s皮筋被剪斷的瞬間，MCS算法可以將結(jié)構(gòu)位移從無控狀態(tài)的20 mm減小到7 mm。這是因為MCS自適應(yīng)算法是根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)與參考模型響應(yīng)的誤差反饋實時地改變控制增益，因此當(dāng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)發(fā)生突變時，MCS算法也可以迅速增大控制增益來得到較大的控制電壓，從而可以很好地減小結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)。

表2 地震作用下的試驗結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)Tab.2 The vibration responses of experimental structure under earthquake

圖10比較了參考模型輸出的位移響應(yīng)和實際結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。從圖中可以看到，即使結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生突變，實際位移也能夠很好的逼近參考模型的輸出響應(yīng)，達到預(yù)期的減振效果。

4 結(jié)論

研究了MCS自適應(yīng)控制算法對非線性結(jié)構(gòu)的AMD主動控制，并完成了剛度發(fā)生突變的單自由度結(jié)構(gòu)的振動臺試驗。仿真和試驗結(jié)果表明:MCS算法是一種優(yōu)良的自適應(yīng)控制算法，將它應(yīng)用到結(jié)構(gòu)AMD控制系統(tǒng)中，可以有效地減小結(jié)構(gòu)響應(yīng)。在結(jié)構(gòu)發(fā)生剛度突變時，MCS算法通過自適應(yīng)參數(shù)的實時調(diào)整仍能有效地控制AMD裝置，使結(jié)構(gòu)實際輸出響應(yīng)與參考模型輸出保持一致，達到預(yù)期的減振效果。

圖8 剛度突變前后的結(jié)構(gòu)位移時程Fig.8 The time history of structure displacement before and after stiffness mutation

圖9 剛度突變情況下無控和采用MCS算法AMD控制的結(jié)構(gòu)位移時程Fig.9 The displacement time history of structure controlled by AMD using MCSalgorithm or without control in the case of stiffness mutation

圖10 剛度突變情況下參考模型輸出位移與實際結(jié)構(gòu)位移時程對比Fig.10 Comparison of time histories between output displacement of reference model and displacement of actual structure in the case of stiffness mutation

韓建平，呂西林，李慧.2007.基于性能的地震工程研究的新進展及對結(jié)構(gòu)非線性分析的要求［J］.地震工程與工程振動，27(4):15-23.

盧圣治.2004.理論力學(xué)基本教程［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社.

歐進萍.2003.結(jié)構(gòu)振動控制［M］.北京:科學(xué)出版社.

彭凌云.2004.向心式摩擦阻尼器的理論分析及應(yīng)用研究［D］.北京:北京工業(yè)大學(xué).

秦榮.2006.工程結(jié)構(gòu)非線性［M］.北京:科學(xué)出版社.

張凱靜，周莉萍，王官磊.2010.最小控制合成算法在結(jié)構(gòu)振動控制中的應(yīng)用［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報，27(3):76-80.

Stoten D.P.，Beanchoubane H..1990a.Empirical studies of an MRAC algorithm with minimal controller synthesis［J］.International Journal of Control，51(4):823-849.

Stoten D.P.，Beanchoubane H..1990b.Robustness of a minimal controller synthesis Algorithm［J］.International Journal of Control，51(4):851～861.

Stoten D.P.，Gomez E.G..2001.Adaptive control of shaking tables using the minimal control synthesis algorithm［J］.The Royal Society，359:1697-1723.