基于并聯FIR 濾波器組的Hammerstein 預失真器*

佀秀杰，韓麗茹，曹 振

(1.遼寧石油化工大學 信息與控制工程學院，遼寧 撫順 113001;2.浙江水利水電學院，杭州 310018)

1 引言

為了適應現代通信技術的發(fā)展，現代通信系統(tǒng)多采用具有非恒包絡、高峰均比的寬帶信號。當這些具有非恒包絡特點的通信信號通過射頻功率放大器(Power Amplifier，PA)時，不僅加重了PA 的非線性失真(Nonlinear Distortion，NLD)程度，而且使得PA 的記憶效性不能再被忽視。PA 的記憶效應除了引起了系統(tǒng)更嚴重的帶內失真和帶外失真，還增加了系統(tǒng)誤碼率(Symbol Error Rate，SER)和相鄰信道之間的相互干擾［1－2］。預失真技術是目前補償PA非線性失真的有效技術之一，該技術通過在PA 前級聯一個與PA 特性相反的預失真器(Predistorter，PD)達到線性化目的。傳統(tǒng)的PD 僅考慮了PA 的非線性失真而忽略了PA 記憶效應，因此不能很好地補償帶記憶效應PA 的非線性失真。目前，對有記憶預失真器的研究是這一領域的熱點。

應用預失真技術補償對帶記憶效應PA 的非線性失真，對PA 逆特性描述的精確程度，即預失真器建模的準確性和系統(tǒng)參數的辨識算法直接影響該技術的線性化效果。預失真器建模的關鍵在于該模型對PA 逆記憶特性的描述能力，而良好的辨識算法性能是快速穩(wěn)定實現預失真器對PA 線性化的保證。目前，PD 多采用記憶多項式模型［3－4］和Hammerstein 模型［5］來補償帶記憶效應PA 的非線性失真。記憶多項式模型是Volterra 級數模型的一種簡化模型，由于該模型僅保留Volterra 級數核函數對角線部分，因此無法充分描述PA 的逆記憶效應，并且該模型保留了Volterra 級數模型只在有限系統(tǒng)輸入幅度范圍內收斂的問題。為了避免這些Volterra級數核的估計和收斂性問題，Hammerstein 模型被用于對預失真器的設計。Hammerstein 模型采用了和Wiener 模型一樣的兩箱結構，不同點在于它是由非線性系統(tǒng)級聯線性系統(tǒng)而成，分別用來描述PA 的非線性特性以及記憶效應的逆特性。目前，基于該模型的預失真器多采用查找表、多項式作為非線性子系統(tǒng)，采用高階的FIR 濾波器作為其線性子系統(tǒng)。但是，高階FIR 濾波器對PA 的逆記憶效應特性描述不充分，且降低了PD 辨識算法的收斂速度。

已有研究人員在Hammerstein 模型的實現形式和結構上進行改進，取得了一些進展。例如，利用人工神經網絡來實現的擴展的Hammerstein 模型［6］、由無記憶強非線性模塊級聯弱非線性模塊而成的類Hammerstein 預失真器［7］、基于濾波器組的平行Hammerstein 預失真器［8］、采用查找表級聯濾波器矩陣來實現Hammerstein 預失真器［9］等。但是，這些擴展的或改進的Hammerstein 模型提高了模型的復雜度(以模型含參數的個數來表征)，且使得模型結構更加復雜，辨識也更加困難。

本文針對Hammerstein 預失真器存在的以上問題，提出一種改進的Hammerstein 預失真器(由查找表級聯一個具有并聯結構的低階FIR 濾波器)，并給出該PD 的辨識算法。仿真實驗及分析證明，本文提出的PD 能夠高效地實現對帶記憶效應PA 的非線性失真補償。

2 Hammerstein 預失真器

Hammerstein 模型的結構如圖1 所示，它具有與Wiener 模型一樣的兩箱結構，但不同的是它由無記憶非線性子系統(tǒng)(NL)級聯線性子系統(tǒng)組成，其中線性子系統(tǒng)一般指線性時不變系統(tǒng)(LTI)。

圖1 Hammerstein 模型結構Fig.1 Structure of the Hammerstein model

當預失真器采用Hammerstein 模型時，其兩個子系統(tǒng)分別用于補償PA 的非線性和記憶效應引起的失真，因此兩個子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數是PA 系統(tǒng)函數的反函數。

為了獲得PA 的逆特性，一般采用Wiener 模型PA 進行建模，這是因為Wiener 模型是比較成熟的PA 模型，且具有與Hammerstein 模型相對稱的結構。PA 的非線性可以由多項式或查找表(Lookup Table，LUT)表示，而記憶效應通常由FIR 濾波器表示。假設Wiener 模型由FIR 濾波器級聯LUT 組成，FIR 濾波器可以由轉移函數H(z)來描述［10］:

式中，b(r)為實系數。

Hammerstein 預失真器線性子系統(tǒng)與Wiener PA的線性子系統(tǒng)互逆，因此，Hammerstein 預失真器線性子系統(tǒng)的轉移函數應該具有如下形式:

由此可知，Hammerstein 預失真器的線性子系統(tǒng)是一個IIR 濾波器。但是，因為IIR 濾波器本身固有的反饋特性導致系統(tǒng)不穩(wěn)定等問題，一般采用高階的FIR 濾波器來代替，但也由此降低了Hammerstein 預失真器對PA 逆記憶效應的補償能力。

3 改進的Hammerstein 預失真器

為了提高Hammerstein 預失真器對PA 記憶效應的補償能力，本文提出了一種Hammerstein 預失真器，該預失真器采用LUT 和并聯的FIR 濾波器組作為其實現形式。

令z－1=x，則式(2)可以表示為

根據代數知識，有理真分式必定可以表示成若干部分分式之和，對分母Q(x)在實系數內作標準分解:

式中，b(1)=1，λi，μj(i=1，2，…，s;j=1，2，…，t)均為自然數，而且

根據分母的各個因式分別寫出與之相應的部分分式:對于每個形如(x－a)k的因式，它所對應的部分分式是

因此，可以將公式(3)作如下分解:

上式可以整理為

式中，Bi=－Ai/ai，βi=－1/ai。

假設Hammerstein 預失真器線性子系統(tǒng)的輸入輸出分別為xl(n)和xlf(n)，對應的Z 變換為Xl(z)和Xlf(z)，因此有

時域表示為

對上式進行截斷處理得到

式中，Lm為第m 個FIR 濾波器的長度。

由上述分析可知，Hammerstein 預失真器中線性子系統(tǒng)可由M 個長度分別為Lm的并聯FIR 濾波器組來實現，Hammerstein 預失真器的結構如圖2 所示。

圖2 Hammerstein 預失真器結構Fig.2 Hammerstein predistorter structure

4 辨識算法

為了有效辨識本文提出的Hammerstein 預失真器，本文提出一種兩步辨識算法，即先離線辨識LUT，在較好地修正PA 的非線性失真的前提下，利用并聯的FIR 濾波器組克服PA 的記憶效應。

4.1 LUT 的辨識

因為PA 的非線性特性是其本身特性的反映，不受如溫度等外界因素的影響，因此可以離線進行處理。本文采用如圖3 所示的結構來辨識Hammerstein 預失真器中LUT 存儲的增益值。

圖3 LUT 的辨識結構Fig.3 LUT identification structure

由圖3 可知，PA 的輸入xl(n)、輸出y(n)分別為LUT 的輸出和輸入，因此可以進一步得到對應每一個LUT 輸入信號的復增益的幅值| G(n)|=|xl(n)|/|y(n)|和相位Δθ(n)=θxl(n)－ θy(n)。因為PA 的記憶效應，使得對應某個輸入信號的輸出值不確定，表現為調幅/調幅(AM/AM)和調幅/調相(AM/PM)曲線的擴散。為了獲取PD 的非線性特性，本文首先用一組訓練序列激勵PA，得到LUT 的輸入y 和輸出xl數據，并對其進行如下處理。

以求解LUT 中復增益的幅值為例對本文算法進行說明，預失真器的AM/AM 曲線如圖4 所示。

圖4 幅值增益曲線Fig.4 Amplitude gain curves

對輸入信號幅值進行均勻量化得到LUT 的索引值

式中，|y(n)|∈ [|y(n)|min，|y(n)|max];qam為量化步長，qam=，Nam為劃分的區(qū)間個數。

需要提出的是，區(qū)間劃分的越細算法精度越高，但是可能出現某個或某些區(qū)間沒有增益值，即K=0，為了使得到的AM/AM 曲線光滑，需要對進行進一步處理，如采用指數移動平均(EWMA)算法，可以得到

式中，α 為加權系數，取值范圍為(0，1)。

式中，qpm為量化步長，qpm=Npm為劃分的區(qū)間個數。

因此，可以得到“后失真器”中LUT 的輸出為

4.2 線性子系統(tǒng)的辨識

因為PA 的記憶效應受溫度、器件老化等外界因素的影響，需要PD 能夠對PA 的記憶效應進行跟蹤補償，所以對本文提出的Hammerstein 預失真器的線性子系統(tǒng)進行在線自適應辨識。

將并聯加權系數Bm吸收入到FIR 濾波器的系數中，公式(12)可以寫為

在非線性子系統(tǒng)得到很好辨識的基礎上，采用間接學習結構對Hammerstein 預失真器中的線性子系統(tǒng)進行辨識，如圖5 所示。

圖5 線性系統(tǒng)更新結構Fig.5 Identification structure of the linear system

本文根據最小均方(Least Mean Square，LMS)算法對并聯FIR 濾波器組參數進行更新，在第k+1 次迭代時，參數更新公式如下:

式中，μm為第m 個FIR 濾波器的更新步長，γm=［γm，0γm，1…］T和yl，m=［yl，m(n)yl，m(n－1)…yl，m(n－Lm+1)］T分別是第m 個FIR 濾波器的參數向量和輸入向量，ylf是“后失真器”的輸出，xlf是PA 的輸入，即預失真器的輸出。

在每次“后失真器”進行更新后，將“后失真器”中并聯FIR 濾波器組的參數復制給預失真器中相應的部分。

5 仿真分析

本文采用MATLAB 對預失真系統(tǒng)進行仿真實驗，以驗證本文所提出的預失真結構的可行性和有效性。

本仿真實驗中PA 采用Wiener 模型［10］，LTI 部分由3 階的FIR 來描述，系數分別為a=［0.769 2 0.153 8 0.076 9］;NL 部分由僅含奇次冪的5 階多項式描述，系數分別為b=［14.974 0+j0.051 9－23.095 4 +j4.968 0 21.393 6 +j0.430 5］，并進行歸一化處理，即使Wiener 模型的輸入信號和輸出信號的取值范圍皆在0 與1 之間。

系統(tǒng)采用16QAM 調制信號作為輸入信號，波形成形采用的是升余弦滾降濾波器，其參數分別為滾降系數為0.5，延遲為3，升采樣率為8。通過濾波器成形后的信號需要進行歸一化處理，使輸出的采樣值信號的最大包絡值為1，并對歸一化后的信號進過峰值回退(PBO)處理，PBO 值為0.9。

仿真實驗中，Hammerstein 預失真器中NL 子系統(tǒng)和LTI 子系統(tǒng)分別由LUT 和并聯FIR 濾波器組實現，在算法第一步為了去除AM/AM 和AM/PM曲線的擴散，采用1000 個數據作為訓練序列，Nam(13)=Npm(16)=256，α(15)=0.9。LTI 部分，M=2，L1=16，L2=8，μ(18)=0.01，FIR 濾波器的沖激響應初始化為單位脈沖。

圖6 是系統(tǒng)輸入信號、僅經PA 放大的信號、經過本文提出的PD 和PA(簡記為PD+PA)輸出的信號星座圖。從該圖可以看出，本文提出的Hammerstein 預失真器能夠有效地克服由PA 非線性和記憶效應引起的信號星座圖的偏轉和擴散。

圖6 星座圖Fig.6 Constellation diagram

圖7 所示為采用以下3 種PD 的MSE 系統(tǒng)學習曲線:一是無記憶PD，采用本文辨識PD 第一步時所采用的LUT 算法;二是一種傳統(tǒng)的Hammerstein預失真器，由LUT 級聯高階FIR 濾波器實現，仿真中采用的是32 階FIR 濾波器;三是本文提出的采用LUT 級聯并聯FIR 濾波器組作為其實現形式的Hammerstein 預失真器。需要說明的是，為了更清晰地顯示3 條曲線的區(qū)別，我們對圖中的均方誤差(Mean Squared Error，MSE)曲線皆進行了適當的平滑處理。由圖7 可以看到，本文提出的Hammerstein預失真器比第2 種Hammerstein 預失真器有更好的效果，MSE 約降低2 dB，但卻比第2 種預失真器具有更低的模型復雜度，但也應注意到本文提出的Hammerstein 預失真器的收斂速度相對較慢。

圖7 MSE 曲線Fig.7 MSE curves

圖8 為輸入信號即理想輸出信號、僅經過PA 的輸出信號、由LUT 級聯高階FIR 濾波器實現的Hammerstein 預失真器的輸出信號、本文提出的Hammerstein 預失真器級聯PA 的輸出信號的功率譜密度(Power Spectral Density，PSD)曲線。由圖8(a)可以看到，本文提出的Hammerstein 預失真器能夠對由PA非線性和記憶效應引起帶外失真起到有效的抑制作用，但與一般的Hammerstein 預失真器相比效果不明顯。為了進一步驗證本文提出預失真器的有效性，將PA 的2 階記憶長度的Wiener 模型換為記憶長度為3階的Wiener 模型(非線性部分參數不變，線性部分的參數a=［0.569 2 0.2 0.153 8 0.076 9］)。此時，用于對比的Hammerstein 預失真器的LTI 部分由64 階FIR 濾波器實現，本文提出的Hammerstein 預失真器的LTI 部分，M=3，L1=16，L2=8，L3=4。得到新的一組PSD 曲線如圖8(b)所示，由圖可知本文提出的Hammerstein 預失真器對強記憶效應的PA 的補償更加有效。

圖8 PSD 曲線Fig.8 PSD curves

仿真實驗及結果可以證明，本文提出的Hammerstein 預失真器能夠對帶強記憶效應PA 的非線性失真進行更有效的補償。

6 結論

針對目前Hammerstein 預失真器對PA 逆記憶效應描述不充分的問題，本文提出了一種以LUT 級聯并聯FIR 濾波器組作為其實現形式的Hammerstein 預失真器，并采用一種兩步算法對其參數進行辨識。與傳統(tǒng)的Hammerstein 預失真器及前期工作［5，9］相比，該預失真器以較低的模型復雜度較好地實現了對帶記憶效應PA 非線性失真的補償，尤其是對帶強記憶效應的PA 的補償，仿真實驗證明了其有效性。

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