基于檔案交叉的動(dòng)態(tài)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

尤嘉興，陳基漓，2＋，董明剛

（1.桂林理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣西 桂林541004；2.桂林理工大學(xué) 廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林541004）

0 引 言

在現(xiàn)實(shí)世界中存在著許多復(fù)雜的動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化問題（dynamic multi－objective optimization problem，DMOP），其優(yōu)化目標(biāo)和約束條件與時(shí)間因素息息相關(guān)，而這些問題亟需合適的算法來求解。目前針對(duì)動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究成果仍較少，其中Deb 等［1］提出了動(dòng)態(tài)NSGA－II算法；尚榮華等［2］根據(jù)免疫優(yōu)勢(shì)概念和抗體克隆選擇學(xué)說提出了一種動(dòng)態(tài)多目標(biāo)免疫克隆優(yōu)化算法；武燕等［3］通過對(duì)最優(yōu)解的預(yù)測(cè)提出了一種新的多目標(biāo)預(yù)測(cè)遺傳算法；Koo等［4］采用了記憶方法，提出了動(dòng)態(tài)多目標(biāo)進(jìn)化梯度搜索算法。盡管上述算法在求解的收斂性上效果不錯(cuò)，但對(duì)于解集的均勻性則考慮不足，特別是在三目標(biāo)及以上的多目標(biāo)優(yōu)化問題中所得解集的個(gè)體分布不夠均勻?？紤]到上述問題，本文提出了一種改進(jìn)的歐氏擁擠距離策略，在對(duì)解集的維護(hù)上綜合考慮了解的均勻性、時(shí)間復(fù)雜度及算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度；通過備份與恢復(fù)策略充分利用Pareto最優(yōu)解的歷史信息，使得種群可以快速適應(yīng)歷史上出現(xiàn)過的相似環(huán)境，同時(shí)算法對(duì)檔案進(jìn)行的交叉處理增強(qiáng)了種群多樣性、促進(jìn)了個(gè)體間的信息交流。

1 問題描述

本文考慮如下動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化問題

其中，t是時(shí)間變量；x＝ （x1，x2，…，xn）是決策變量；［L，V］＝ ｛x＝ （x1，x2，…，xn）｜li∈xi∈vi，i＝1，2，…，n｝是搜索空間，L＝ （l1，l2，…，ln），V＝ （v1，v2，…，vn）；目標(biāo)f（x，t）包含m 個(gè)目標(biāo)函數(shù)fi（x，t），i＝1，2，…，m，并隨t離散變化。關(guān)于Pareto支配、動(dòng)態(tài)Pareto最優(yōu)前沿、動(dòng)態(tài)Pareto最優(yōu)解集的定義請(qǐng)參見文獻(xiàn)［5］。

2 標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法

標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法首先在搜索空間中初始化一定數(shù)量的粒子，每個(gè)粒子都代表問題的一個(gè)潛在解，粒子具有的特征有位置、速度和適應(yīng)度值。適應(yīng)度值表示粒子的好壞，所有個(gè)體通過追蹤個(gè)體歷史最優(yōu)值pBest和種群最優(yōu)值gBest來更新新的位置、速度和適應(yīng)度值，在算出所有粒子新適應(yīng)度值后更新個(gè)體歷史最優(yōu)位置和種群最優(yōu)個(gè)體，不斷重復(fù)這一過程直到滿足算法停止條件。

標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法在更新粒子速度及位置時(shí)采用以下公式

其中，w 為慣性權(quán)重，r1、r2為 ［0，1］間的隨機(jī)數(shù)，c1、c2為學(xué)習(xí)因子，t為當(dāng)前迭代次數(shù)。通常為防止粒子盲目搜索，對(duì)于粒子的搜索范圍會(huì)給與一定的限制，其中主要是將v和x 限制在一定數(shù)值區(qū)間內(nèi)。

3 基于檔案交叉的動(dòng)態(tài)多目標(biāo)粒子群

3.1 改進(jìn)的粒子群算法模型

相較于針對(duì)單目標(biāo)問題的基礎(chǔ)粒子群優(yōu)化算法，本文算法更依賴檔案集中的非支配解集。由于粒子群進(jìn)化的過程與個(gè)體的速度無關(guān)［6］，且基礎(chǔ)粒子群模型中的速度參數(shù)的作用在動(dòng)態(tài)多目標(biāo)環(huán)境中被進(jìn)一步弱化，因此本文所采用的粒子群模型將速度變量剔除，將粒子群優(yōu)化公式簡(jiǎn)化為

式中：archivet1、archivet2——從外部檔案中隨機(jī)選取的兩個(gè)不同個(gè)體。對(duì)于新得到的粒子位置xt＋1，計(jì)算其所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值并與前一位置所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值相比較，若新適應(yīng)度值不被舊適應(yīng)度值所支配，則接受新的粒子位置，否則保留原粒子位置不變，即只有當(dāng)新粒子位置不比原位置差時(shí)才接受新的解。相對(duì)于基礎(chǔ)粒子群模型來說，新的模型除了將速度變量剔除外，還拋棄了個(gè)體歷史最優(yōu)值，轉(zhuǎn)而從檔案集中隨機(jī)選取個(gè)體來充當(dāng)全局最優(yōu)。

3.2 檔案維護(hù)策略

基于擁擠距離對(duì)檔案進(jìn)行維護(hù)是檔案維護(hù)策略中常見的一種，且為多數(shù)算法所采用。當(dāng)外部檔案所容納的個(gè)體數(shù)N 超過檔案上限M 時(shí)，通常的擁擠距離策略是先計(jì)算所有個(gè)體各自的擁擠距離值，根據(jù)擁擠距離排序，直接一次性從檔案中刪除超出檔案容量的擁擠距離最小的N－M 個(gè)個(gè)體，這種方法快速且有效，然而由于每個(gè)個(gè)體的刪除會(huì)導(dǎo)致其余個(gè)體的擁擠距離值變動(dòng)，一次性刪除大量個(gè)體容易導(dǎo)致解集中某個(gè)區(qū)域被整體截?cái)啵沟媒饧植糠植疾痪鶆?。另一種策略則是在每次只刪除擁擠距離最小的一個(gè)個(gè)體，之后更新其余個(gè)體的擁擠距離，重復(fù)這個(gè)過程直到外部檔案?jìng)€(gè)體數(shù)小于檔案容量限制，這種策略解決了解集分布不均勻的問題，但額外增加了計(jì)算量。

盡管采用傳統(tǒng)擁擠距離來保持檔案?jìng)€(gè)體的均勻性在面對(duì)雙目標(biāo)時(shí)表現(xiàn)不錯(cuò)，但當(dāng)面對(duì)三目標(biāo)及以上的優(yōu)化問題時(shí)則效果不佳，這種情況下采用歐氏距離法則可以有效控制個(gè)體之間的距離，保持解集的分布均勻，但是計(jì)算復(fù)雜度過高?；诖?，本文提出一種基于快速歐氏擁擠距離的檔案維護(hù)策略，具體步驟如下：

步驟1 計(jì)算每個(gè)個(gè)體i與其它個(gè)體j的歐氏距離Dist［i］［j］。

步驟2 對(duì)每個(gè)個(gè)體i的歐氏距離Dist［i］分別按從小到大排序。

步驟3 更新每個(gè)個(gè)體的擁擠距離，其值為與該個(gè)體最近的兩個(gè)個(gè)體的歐距之和。

步驟4 將擁擠距離最小的個(gè)體標(biāo)記并剔除，如果當(dāng)前剩余個(gè)體數(shù)大于檔案容量則返回步驟3，否則繼續(xù)下一步。

步驟5 對(duì)仍存在的個(gè)體按擁擠距離從大到小排序并輸出。

由于已在步驟2中排序過每個(gè)個(gè)體與其它個(gè)體的歐距，因此步驟3中只需將剩下的最小兩個(gè)個(gè)體歐距值相加即可得該個(gè)體的擁擠距離。整個(gè)維護(hù)過程的計(jì)算量基本在步驟1，其時(shí)間復(fù)雜度為O（n2m），其中n指檔案?jìng)€(gè)體數(shù)，m 指優(yōu)化目標(biāo)維數(shù)。

3.3 環(huán)境變化檢測(cè)

在動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化算法中，對(duì)于環(huán)境是否發(fā)生變化的判斷是很重要的一點(diǎn)。由于本文只考慮目標(biāo)函數(shù)的變化，因此采用如下檢測(cè)方法：隨機(jī)選取當(dāng)前種群中20%的個(gè)體，計(jì)算新適應(yīng)度值與原適應(yīng)度值的歐距差，取平均值［7］其中n指隨機(jī)選取的個(gè)體數(shù)，m 指目標(biāo)維數(shù)，T 指當(dāng)前環(huán)境，T－1指前一環(huán)境。設(shè)定閥值θ，如果環(huán)境變化程度值大于閥值θ，則判斷環(huán)境已經(jīng)發(fā)生變化，同時(shí)算法對(duì)此做出相應(yīng)的反應(yīng)。

3.4 環(huán)境備份

由于在動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化問題中可能出現(xiàn)的周期性環(huán)境變化，因此將當(dāng)前環(huán)境備份以便算法能夠在遇到相似環(huán)境時(shí)快速恢復(fù)是很有必要的。通常環(huán)境備份會(huì)將算法當(dāng)前得到的非劣解集保存下來，但由于每個(gè)環(huán)境的非劣解集較大，完整保存下來需要消耗大量的存儲(chǔ)空間。因此為了避免浪費(fèi)過多的存儲(chǔ)資源，可從中選取少量具有代表性的點(diǎn)并保存下來。

從原則上來講，所選擇的點(diǎn)應(yīng)在盡量少的情況下最大近似地描述整個(gè)Pareto檔案集中個(gè)體的分布，同時(shí)代表點(diǎn)的選取過程的時(shí)間復(fù)雜度不宜過高，以免影響整個(gè)算法的性能。在傳統(tǒng)的聚類分析算法中，k－均值聚類［8］相較于其它聚類算法有著快速高效的優(yōu)點(diǎn)，因此本文利用k－均值聚類算法將每一代的外部檔案集中的個(gè)體劃分為k 個(gè)部分，并分別得到k個(gè)聚類中心作為檔案集的代表點(diǎn)。

通常在k－均值算法中k的值是事先給定的，而k值的選定是較難估計(jì)的，為簡(jiǎn)單起見，本文直接將k的大小定為，其中N 為每一代檔案集中個(gè)體的個(gè)數(shù)。例如檔案集大小設(shè)為100時(shí)，k值取7。盡管k－均值聚類算法還有著其它的缺點(diǎn)，但考慮到其簡(jiǎn)單、高效，且相對(duì)隨機(jī)選取效果更好，因此本文最終決定采用該聚類算法來選取代表點(diǎn)。

算法具體描述如下：

步驟1 從檔案集中隨機(jī)選取k 個(gè)個(gè)體作為初始類中心。

步驟2 計(jì)算檔案中每個(gè)個(gè)體到聚類中心點(diǎn)的歐氏距離，并分別將這些個(gè)體歸類到離它最近的聚類中心所在的類。

步驟3 更新每個(gè)類的類中心點(diǎn)，其值為該類中所有個(gè)體的平均值。

步驟4 如果聚類中心發(fā)生變化，則返回步驟2，否則繼續(xù)下一步。

步驟5 在檔案集中分別找出離這k個(gè)聚類中心最近的k個(gè)個(gè)體，并將之作為聚類結(jié)果并保存到環(huán)境記憶池中。

3.5 環(huán)境相似度計(jì)算

當(dāng)檢測(cè)環(huán)境變化之后需要對(duì)環(huán)境進(jìn)行相似度計(jì)算，判斷新的環(huán)境是否相似于之前某一環(huán)境以便進(jìn)行環(huán)境恢復(fù)操作。環(huán)境相似度計(jì)算與環(huán)境變化檢測(cè)計(jì)算方法類似，不同之處在于計(jì)算的是之前某一個(gè)環(huán)境保存下來的k個(gè)代表點(diǎn)的新適應(yīng)度值與原適應(yīng)度值間的歐距差其中k指第T’個(gè)環(huán)境時(shí)保存的代表點(diǎn)數(shù)目，m 指目標(biāo)維數(shù)，T 指新環(huán)境。設(shè)定閥值η，如果結(jié)果值小于閥值η，則判斷第T’個(gè)環(huán)境與當(dāng)前新環(huán)境類似，在第T’個(gè)環(huán)境中備份的信息可以恢復(fù)到當(dāng)前外部檔案集中，使得算法能夠快速適應(yīng)新的環(huán)境。

3.6 對(duì)檔案集進(jìn)行交叉處理

由于每一次迭代過程中，當(dāng)前最優(yōu)的個(gè)體都保存在外部檔案集中，且對(duì)于采用外部檔案策略的優(yōu)化算法來說外部檔案在整個(gè)迭代過程起著很重要的作用。然而大多數(shù)動(dòng)態(tài)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法對(duì)于檔案的利用并不充分，僅僅將之用來代替算法模型公式中的全局最優(yōu)個(gè)體。在文獻(xiàn)［9］中，實(shí)驗(yàn)證明了對(duì)Pareto前沿稀疏部分包含的粒子進(jìn)行模擬二進(jìn)制交叉有助于增加多樣性分布?；诖?，本文對(duì)外部檔案?jìng)€(gè)體進(jìn)行了交叉處理，這一過程有助于加強(qiáng)解集的多樣性并促進(jìn)檔案?jìng)€(gè)體間的信息交流共享，進(jìn)而改善解集的收斂性。

算法的具體實(shí)現(xiàn)如下：首先從外部檔案中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的個(gè)體，對(duì)這兩個(gè)個(gè)體進(jìn)行單點(diǎn)交叉處理，通過錦標(biāo)賽選取新個(gè)體中支配關(guān)系占優(yōu)勢(shì)的一方，若兩個(gè)新個(gè)體互不支配則任意選取其中一個(gè)，重復(fù)以上過程直到選取的個(gè)體數(shù)達(dá)到檔案中的個(gè)體數(shù)。

盡管對(duì)外部檔案集的交叉會(huì)增加額外的計(jì)算量，但由于這一操作可以極大的促進(jìn)算法的收斂，同時(shí)增加種群的多樣性，因此這一過程對(duì)于算法來說總體是有益的。

3.7 算法描述

基于以上各個(gè)模塊的設(shè)計(jì)，基于檔案交叉的動(dòng)態(tài)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法ACDMPSO 具體步驟描述如下：

步驟1 在搜索空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生規(guī)模為N 的初始種群P，計(jì)算種群個(gè)體的適應(yīng)度值，并更新外部檔案集。

步驟2 檢測(cè)環(huán)境變化，如果環(huán)境變化程度值大于給定閥值θ，則轉(zhuǎn)入下一步，否則轉(zhuǎn)到步驟6。

步驟3 使用k－均值聚類算法從當(dāng)前外部檔案集中選取k個(gè)個(gè)體存入記憶池M（T）。

步驟4 從最近的環(huán)境開始，尋找與新環(huán)境相似的一個(gè)環(huán)境T’，將記憶池M（T’）中的個(gè)體添加到當(dāng)前外部檔案集中。若無相似環(huán)境，則直接轉(zhuǎn)到下一步。

步驟5 更新新環(huán)境下種群、外部檔案?jìng)€(gè)體的適應(yīng)度值，更新外部檔案。

步驟6 對(duì)外部檔案進(jìn)行交叉處理，并排除其中被支配的個(gè)體。

步驟7 更新種群個(gè)體的位置，并計(jì)算種群個(gè)體的新適應(yīng)度值。

步驟8 將當(dāng)前種群中的非支配個(gè)體添加到外部檔案中，更新維護(hù)檔案集。

步驟9 判斷算法是否滿足停止條件，若不滿足則迭代數(shù)加1，并返回步驟2。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所提算法的性能，我們將本文算法ACDMPSO 與DNSGA－II算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。鑒于沒有DNSGA－II的源代碼，在這里我們參照文獻(xiàn) ［1］自己編程實(shí)現(xiàn)。測(cè)試函數(shù)的環(huán)境總數(shù)T＝8，環(huán)境變化強(qiáng)度nt＝10，環(huán)境變化頻率τt＝50，種群規(guī)模為100，ACDMPSO 算法的外部檔案容量以及DNSGA－II的優(yōu)秀個(gè)體保存集也均為100，ACDMPSO 中學(xué)習(xí)因子c1、c2取值為1，環(huán)境監(jiān)測(cè)閥值θ為1E－6，環(huán)境相似度閥值η為1E－2，DNSGA－II算法的其它參數(shù)取自文獻(xiàn) ［1］，算法對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行20次。

4.1 測(cè)試問題

本文采用FDA系列問題作為測(cè)試問題，其中包括多種環(huán)境變化類型，雙目標(biāo)、多目標(biāo)優(yōu)化問題。具體測(cè)試問題見表1。

表1 動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化的測(cè)試問題

4.2 性能度量指標(biāo)

為測(cè)試動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化問題的相應(yīng)算法的性能，本文采用以下性能度量準(zhǔn)則作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：

（1）世代距離指標(biāo)GD （generational distance）［10］

世代距離指標(biāo)GD 是衡量算法所得Pareto前沿與真實(shí)Pareto前沿之間的距離，其公式定義如下式中：K——算法運(yùn)行次數(shù)，T——環(huán)境個(gè)數(shù)，n——個(gè)體數(shù)，di——算法所得Pareto解中第i個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)向量與真實(shí)Pareto前沿中最近個(gè)體的歐氏距離。GD 描述了算法所得Pareto前沿與真實(shí)Pareto前沿的逼近程度，值越小說明算法所得解集越逼近真實(shí)Pareto前沿。

（2）空間度量指標(biāo)SP （spacing）［10］

空間度量指標(biāo)是度量算法所得Pareto前沿解分布的均勻性，值越小說明解分布得越均勻，其公式定義如下

其中，K、T、n與GD 中的公式定義意義相同，此處的di為算法所得解中第i個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)向量與所得解中最近個(gè)體的歐氏距離，珚d 是di的均值。

（3）平均C－度量［11］

平均C－度量是度量分析算法所得Pareto前沿對(duì)解集的覆蓋程度，其公式定義如下

式中：K——計(jì)算次數(shù)，對(duì)C－度量公式描述如下

式中：X、Y——兩個(gè)不同的Pareto解集，C（X，Y）——集合X 對(duì)集合Y 的覆蓋程度，若珚C（X，Y）＞珚C（Y，X）則代表解集X 在覆蓋范圍上優(yōu)于解集Y。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

5.1 性能評(píng)價(jià)指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)比

表2和表3是ACDMPSO 和DNSGA－II兩種算法求解不同DMOPs測(cè)試問題時(shí)所獲得解集的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

表2 兩種算法對(duì)FDA1～FDA5求得的平均C－度量值

表3 兩種算法獲得解集的GD、SP的均值與標(biāo)準(zhǔn)差

表2顯示ACDMPSO 算法所獲得的解集與DNSGA－II所獲得的解集相互之間的覆蓋程度，其中A 表示ACDMP－SO，B表示DNSGA－II。由表中數(shù)據(jù)可以看出，本文算法所得解集比DNSGA－II算法所得解集的質(zhì)量好，特別是在雙目標(biāo)優(yōu)化測(cè)試問題FDA1～FDA3中，本文算法所得解在收斂程度上占有極大的優(yōu)勢(shì)。

表3統(tǒng)計(jì)兩種算法對(duì)測(cè)試問題所得Pareto最優(yōu)解的世代距離指標(biāo)GD、空間度量指標(biāo)SP 值。從表中可以看出，本文算法在整個(gè)環(huán)境中所得解集的收斂程度及分布均勻程度相比算法DNSGA－II有著不小的優(yōu)勢(shì)。

5.2 所得解集的分布圖對(duì)比

圖1中 （a）～ （f）為兩種算法在一次運(yùn)行后所得的8個(gè)環(huán)境的非劣解的分布圖。由于FDA1和FDA2的Pareto最優(yōu)解集不隨時(shí)間發(fā)生變化，為了能夠清楚地看到每一環(huán)境的預(yù)測(cè)點(diǎn)，在圖中將FDA1、FDA2中的目標(biāo)函數(shù)f1和f2都分別增加0.2t。由圖可以看出，隨著環(huán)境的變化，兩種算法所得Pareto前沿面均能夠收斂向真實(shí)的Pareto 前沿面。相比較而言本文所提算法所得Pareto前沿面比DNSGA－II得到的Pareto前沿面更寬廣，更重要的是本文算法所得非劣解分布均勻程度更好，且對(duì)于每一次環(huán)境的變化都能跟蹤并收斂良好。

圖2、圖3分別繪制了兩種算法在3 個(gè)不同時(shí)刻求解FDA4、FDA5所獲得的解集。這兩個(gè)測(cè)試函數(shù)的目標(biāo)維數(shù)m 等于3，其中FDA4的真實(shí)Pareto前沿為1／8 球面，球半徑固定為1，而FDA5的真實(shí)Pareto前沿也為1／8球面，不同的是該球面半徑大小隨時(shí)刻t在1～2之間不斷變化。圖中顯示兩種算法均能跟蹤不同時(shí)刻的Pareto前沿，但主要差別在于，ACDMPSO 所得解集的分布性相比DNSGAII所得解集來說占有極大的優(yōu)勢(shì)，從圖中可以看出前者所得解集中個(gè)體之間保持足夠均勻的距離，且整個(gè)解集均勻覆蓋了真實(shí)Pareto前沿面，這提現(xiàn)了改進(jìn)的歐氏擁擠距離策略所起到的作用。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文以外部檔案為核心，提出了一種基于檔案交叉的動(dòng)態(tài)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法。設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的擁擠距離檔案維護(hù)策略以保持解集的均勻性，對(duì)外部檔案的交叉處理增強(qiáng)了種群的多樣性、提高了檔案?jìng)€(gè)體間的信息交流，設(shè)計(jì)了一種環(huán)境備份、恢復(fù)策略，能夠利用少量的過去最優(yōu)解對(duì)新的環(huán)境變化做出有效的響應(yīng)。為了證明算法的有效性，通過對(duì)經(jīng)典的FDA 系列測(cè)試問題進(jìn)行測(cè)試，并與DNSGA－II算法作比較，仿真結(jié)果表明，新算法在對(duì)不同的動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的求解上非常有效，在多樣性、解集均勻性方面都體現(xiàn)出了很好的效果。下一步的研究工作在于保持解集均勻性的同時(shí)進(jìn)一步降低算法的計(jì)算復(fù)雜度，提高算法運(yùn)行效率。

圖1 兩種算法對(duì)FDA1～FDA3的求解

圖2 兩種算法對(duì)FDA4在3個(gè)不同時(shí)刻T 求得的解

圖3 兩種算法對(duì)FDA5在3個(gè)不同時(shí)刻T 求得的解

［1］Deb K，Karthik S.Dynamic multi－objective optimization and decision－making using modified NSGA－II：A case study on hydro－thermal power scheduling ［C］／／Evolutionary Multi－Criterion Optimization.Springer Berlin Heidelberg，2007：803－817.

［2］SHANG Ronghua，JIAO Licheng，GONG Maoguo，et al.An immune clonal algorithm for dynamic multi－objective optimization ［J］.Journal of Software，2007，18 （11）：2700－2711（in Chinese）.［尚榮華，焦李成，公茂果，等.免疫克隆算法求解動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化問題 ［J］.軟件學(xué)報(bào)，2007，18 （11）：2700－2711.］

［3］WU Yan，LIU Xiaoxiong，CHI Chengzhi.Predictive multiobjective genetic algorithm for dynamic multiobjective optimization problems［J］.Control and Decision，2013，28 （5）：677－682（in Chinese）.［武燕，劉小雄，池程芝.動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化的預(yù)測(cè)遺傳算法 ［J］.控制與決策，2013，28 （5）：677－682.］

［4］Koo W T，Goh C K，Tan K C.A predictive gradient strategy for multiobjective evolutionary algorithms in a fast changing environment［J］.Memetic Computing，2010，2 （2）：87－110.

［5］HU Chengyu，YAO Hong，YAN Xuesong.Multiple particle swarms coevolutionary algorithm for dynamic multi－objective optimization problems and its application ［J］.Journal of Computer Research and Development，2013，50 （6）：1313－1323（in Chinese）.［胡成玉，姚宏，顏雪松.基于多粒子群協(xié)同的動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化算法及應(yīng)用 ［J］.計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展，2013，50 （6）：1313－1323.］

［6］HU Wang，LI Zhishu.Simpler and more effective particle swarm optimization algorithm ［J］.Journal of Software，2007，18 （4）：861－868 （in Chinese）.［胡旺，李志蜀.一種更簡(jiǎn)化而高效的粒子群優(yōu)化算法 ［J］.軟件學(xué)報(bào)，2007，18 （4）：861－868.］

［7］CHEN Shanlong，ZHANG Zhuhong.Dynamic multi－objective optimization immune algorithm based on immune mechanisms［J］.Journal of Guizhou University（Natural Science Edition），2007，24 （5）：487－492 （in Chinese）.［陳善龍，張著洪.基于免疫機(jī)制的動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化免疫算法 ［J］.貴州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，24 （5）：487－492.］

［8］HAN Xiaohong，HU Yu.Research of K－means algorithm［J］.Journal of Taiyuan University of Technology，2009，40（3）：236－239 （in Chinese）. ［韓曉紅，胡彧.K－means聚類算法 的 研 究 ［J］.太 原 理 工 大 學(xué) 學(xué) 報(bào)，2009，40 （3）：236－239.］

［9］LIU Yanmin，NIU Ben，ZHAO Qingzhen.Multi－objective particle swarm optimization based on crossover and mutation［J］.Journal of Computer Applications，2011，31 （1）：82－84（in Chinese）.［劉衍民，牛奔，趙慶禎.基于交叉和變異的多目標(biāo)粒子群算法 ［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2011，31 （1）：82－84.］

［10］LIU Chun’an.A dynamic multi－objective optimization evolutionary algorithm based on estimation of core distribution ［J］.Journal of Shandong University （Engineering Science Edition），2011，41 （1）：167－172 （in Chinese）. ［劉淳安.基于核分布估計(jì)的動(dòng)態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法 ［J］.山東大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2011，41 （1）：167－172.］

［11］QIAN Shuqu，WU Huihong.Dynamic multi－objective immune algorithm and its application ［J］.Computer Engineering，2012，38 （10）：171－174 （in Chinese）.［錢淑渠，武慧虹.動(dòng)態(tài)多目標(biāo)免疫算法及其應(yīng)用 ［J］.計(jì)算機(jī)工程，2012，38 （10）：171－174.］