六自由度振動臺臺體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

黃 舟，黃 海

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191）

0 引言

六自由度振動臺是重要的振動試驗(yàn)設(shè)備，在其工作頻率允許范圍內(nèi)可對試件進(jìn)行多個自由度的振動測試。相比單軸振動臺，六自由度臺能更準(zhǔn)確地模擬實(shí)際振動環(huán)境，其應(yīng)用研究越來越受重視[1]。振動臺的臺體是用于負(fù)載和傳感器安裝的部件，若結(jié)構(gòu)特性偏柔，在高頻振動測試時易發(fā)生一階共 振，則會導(dǎo)致對負(fù)載響應(yīng)的測試不準(zhǔn)、控制精度顯著降低等異常狀況[2]。因此，需要提高臺體的一階固有頻率，使之位于工作頻帶以外。為使臺體的一階固有頻率高于工作頻率，常用加筋的方法[3]來提高臺體結(jié)構(gòu)的剛度，這樣一來，使得臺體結(jié)構(gòu)變重，需要增加振動臺的驅(qū)動功率。因此，在振動臺的設(shè)計(jì)階段，有必要進(jìn)行臺體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，既要滿足一 階固有頻率高于工作頻率，又要使其質(zhì)量最小。

臺體的結(jié)構(gòu)分析是進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化的基礎(chǔ)，為準(zhǔn)確求得一階固有頻率需正確地給出邊界條件[4]。文獻(xiàn)[5-7]雖對六自由度振動臺的臺體進(jìn)行了有限元建模，但對邊界條件未作明確說明。文獻(xiàn)[8]在建模時將邊界條件視為自由狀態(tài)，而在實(shí)際工作中，臺體結(jié)構(gòu)是通過鉸鏈、作動桿與基座（或地面）進(jìn)行連接，導(dǎo)致對臺體與作動器的連接位置產(chǎn)生沿作動桿軸向的約束。文獻(xiàn)[8]還利用ANSYS 軟件進(jìn)行了基于筋板厚度、位置等參數(shù)的頻率優(yōu)化設(shè)計(jì)，屬于一階優(yōu)化算法。

在關(guān)于臺體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化研究中，文獻(xiàn)[9]明確指出在臺體設(shè)計(jì)時需要對筋板布局、厚度、高度進(jìn)行分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)，但缺乏對具體優(yōu)化過程的描述。文獻(xiàn)[10-11]采用傳統(tǒng)的反復(fù)計(jì)算與調(diào)整的優(yōu)化方法，但設(shè)計(jì)效率很低。文獻(xiàn)[12]利用 ANSYS Workbench軟件中基于響應(yīng)面技術(shù)的DOE方法對上下板和立板厚度進(jìn)行了尺寸優(yōu)化。但由于臺體結(jié)構(gòu)包含多種筋板子結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)變量較多，所以優(yōu)化設(shè)計(jì)時還需要有計(jì)算效率更高和適應(yīng)性更好的優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[13]提出了一種二級多點(diǎn)逼近優(yōu)化算法，通過建立兩級近似問題和求解第二級近似問題的對偶問題，使該方法相比傳統(tǒng)優(yōu)化算法在計(jì)算效率與收斂速度方面有了很大的提高，因此應(yīng)用二級多點(diǎn)逼近優(yōu)化算法將有利于提高臺體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文考慮振動臺的實(shí)際工況，結(jié)合二級多點(diǎn)逼近優(yōu)化算法的收斂迅速穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)，提出一種基于二級多點(diǎn)逼近算法的振動臺臺體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方法。首先，分析六自由度振動臺的運(yùn)動工況及各自由度的約束邊界條件，建立簡化的有限元模型。然后，建立以臺體結(jié)構(gòu)中上板、筋板、筋板凸緣的截面尺寸和外形半徑大小為設(shè)計(jì)變量，一階固有頻率和靜強(qiáng)度為約束條件，結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標(biāo)的模型，采用二級多點(diǎn)逼近算法對模型的尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并以人機(jī)交互的方式優(yōu)化外形半徑，得到滿足約束條件的優(yōu)化解。最后，依據(jù)優(yōu)化結(jié)果完成臺體樣機(jī)的設(shè)計(jì)，并應(yīng)用于振動試驗(yàn)測試。

1 臺體的有限元模型

1.1 振動臺的結(jié)構(gòu)分析

如圖1所示，振動臺采用具有6-PSU 構(gòu)型的Hexapod 平臺，主要由臺體、基座和6 根作動桿組成。其中基座被固定在地基上，作動桿從上到下由二自由度虎克鉸、三自由度虎克鉸和作動器等構(gòu)成。臺體與6 根作動桿通過3 個連接塊相連，通過作動器的伸縮運(yùn)動實(shí)現(xiàn)臺體的振動運(yùn)動。

圖1 6-PSU 構(gòu)型的Hexapod 平臺 Fig.1 Hexapod platform with 6-PSU configuration

在確定振動臺的構(gòu)型尺寸后[14]，可得臺體與作動桿相連的6 個鉸點(diǎn)位置C1到C6，鉸點(diǎn)的包絡(luò)半徑為0.5 m，據(jù)此尺寸開展臺體的設(shè)計(jì)。

1.2 臺體的加筋結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與建模

采用航空上廣泛使用的整體加筋壁板結(jié)構(gòu)形式[15]，該結(jié)構(gòu)主要包括上板、筋板和筋板頂部的凸緣，如圖2所示?？紤]到臺體與6 個作動桿的連接區(qū)域即3 個連接塊的位置構(gòu)成了一個三角形，為使傳力路徑直接有效，將三角形的3 條邊作為主承力筋，其余筋板的周向、徑向分布將臺體分隔為多個四邊形區(qū)域。筋板的頂部設(shè)計(jì)有凸緣，用于提高結(jié)構(gòu)的抗彎剛度。

在MSC.Patran 中建立臺體的簡化有限元模型，連接區(qū)域采用CHEXA8 實(shí)體單元，上板結(jié)構(gòu)采用CQUAD4 殼單元，筋板結(jié)構(gòu)及其凸緣分別采用CQUAD4 殼單元與CBAR 矩形截面梁單元，模型共有33 350 個節(jié)點(diǎn)，34 068 個單元。

圖2 臺體有限元模型 Fig.2 Finite element model of the vibration table

1.3 臺體邊界條件的分析與比較

振動臺的6 個作動器在電機(jī)驅(qū)動下作伸縮運(yùn) 動使臺體產(chǎn)生上下振動。每根作動桿對臺體的約束邊界如圖3所示，作動桿圍繞初始位置作微幅振動，當(dāng)臺體處于穩(wěn)態(tài)振動時，其結(jié)構(gòu)的模態(tài)應(yīng)為約束模態(tài)而非自由模態(tài)，其約束為電機(jī)力作用位置處的法向位移。

內(nèi)筒和桿BC的軸向剛度通常很大，在簡化建模時可視為剛體，因此B點(diǎn)為簡支點(diǎn)，且C點(diǎn)只能繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動。由于臺體運(yùn)動的振幅很小，在線性分析時，臺體連接面上節(jié)點(diǎn)只能在垂直于y向的平面內(nèi)運(yùn)動?；谏鲜龇治?，將臺體連接面上的節(jié)點(diǎn)平動自由度約束即可。

圖3 臺體在各桿連接面處的邊界條件 Fig.3 Boundary conditions in the table’s connecting areas with legs

給定上板厚度（初值為10 mm）、筋的厚度（主承力筋厚度為20 mm，其余筋板厚度為6 mm）、凸緣的寬度（初值為20 mm）和高度（初值為10 mm）等尺寸，臺體材料為6061 的鋁材，質(zhì)量為117.9 kg，按上述邊界條件進(jìn)行模態(tài)分析，結(jié)果顯示，臺體結(jié)構(gòu)的一階固有頻率為435.2 Hz。

當(dāng)采用自由邊界條件進(jìn)行模態(tài)分析時，結(jié)果顯示，其一階固有頻率為316.2 Hz。2 種邊界條件下的臺體結(jié)構(gòu)一階固有頻率相差119 Hz，結(jié)合實(shí)際情況，臺體的結(jié)構(gòu)分析應(yīng)考慮帶約束的邊界條件。

2 臺體的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 臺體模型的建立

振動臺在空載時的工作頻率范圍為5～500 Hz，當(dāng)安裝800 kg 的負(fù)載后，能同時承受縱向和橫向的過載加速度分別為2g和1g。因此，根據(jù)工作頻率，要求臺體一階固有頻率高于500 Hz，以安裝負(fù)載后的靜強(qiáng)度、剛度作為約束條件，以臺體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)，即優(yōu)化問題可表達(dá)為

式中：X= {x1,x2,···,x n,r}T為優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量，其中x1,x2,···,xn分別為臺體上板厚度、加筋板厚度與凸緣截面尺寸，r為外圓筋的半徑；f(X)為質(zhì)量目標(biāo)函數(shù)；g(X)為設(shè)計(jì)約束函數(shù)，由于靜載荷下的強(qiáng)度要求一般為非臨界約束[16]，在優(yōu)化時對該約束條件進(jìn)行簡化，即約束函數(shù)只取臺體的一階頻率下限，取= 500 Hz；xiL和xiU分別為設(shè)計(jì)變量xi的下限和上限。

臺體的簡化有限元模型均將梁單元和殼單元的截面尺寸視為待優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量，這些設(shè)計(jì)變量在鏈化處理時應(yīng)結(jié)合幾何對稱性。經(jīng)鏈化后截面尺寸變量總數(shù)為n=86，由于鉸點(diǎn)位置已經(jīng)確定，r可改變臺體的外形而不改變連接面的位置，所以臺體優(yōu)化模型中獨(dú)立的設(shè)計(jì)變量共計(jì)87個。

2.2 二級多點(diǎn)逼近優(yōu)化算法

采用二級多點(diǎn)逼近優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化。式(1)表達(dá)的為復(fù)雜的隱式問題，若直接對它求解則計(jì)算效率很低，為此，需要建立具有高保真度的第一級近似問題表達(dá)式，即

式中：f(p)(X)和g(jp)(X)為第p個優(yōu)化周期內(nèi)的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的近似函數(shù)，由于式(1)中的目標(biāo)函數(shù)f(X)與設(shè)計(jì)變量之間具有顯式對應(yīng)關(guān)系，則有f(p)(X)=f(X)，g(p)(X)為g(X)的近似函數(shù)，因而可通過若干已知設(shè)計(jì)點(diǎn)的臨界約束函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)得到[17]。

在式(2)中，約束函數(shù)仍為復(fù)雜的非線性顯函數(shù)，很難寫出設(shè)計(jì)變量和對偶變量之間的顯式關(guān)系，無法直接使用對偶法求解，還需要采用第二級近似問題來逼近由式(2)表達(dá)的第一級近似問題。可先建立第二級近似問題的對偶問題，再通過求解對偶問題得到第二級近似問題的解X*。當(dāng)X*達(dá)到第 二級近似問題的收斂精度ε2時，將X*作為新的設(shè)計(jì)變量Xp。此時，在Xp處進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析和靈敏度分析，并判斷臺體結(jié)構(gòu)質(zhì)量f(Xp)是否滿足第一級近似問題的收斂精度ε1。當(dāng)結(jié)構(gòu)質(zhì)量f(Xp)滿足ε1時，則Xp為原問題(1)的最優(yōu)解；若不滿足ε1，則將Xp增加為已知設(shè)計(jì)點(diǎn)并重新建立第一級近似問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)入下一周期的優(yōu)化迭代，直至結(jié)構(gòu)質(zhì)量滿足ε1，此時的Xp為原問題的最優(yōu)解。

2.3 優(yōu)化過程與結(jié)果

臺體結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程分為兩個階段：第一階段為采用二級多點(diǎn)逼近優(yōu)化算法對模型的截面尺寸優(yōu)化，第二階段為綜合尺寸優(yōu)化和結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果，以人機(jī)交互的方式[18]優(yōu)化形狀變量r，優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖4所示。考慮到外圓筋的振型主要表現(xiàn)為扭轉(zhuǎn)與徑向振動，應(yīng)減少半徑r以縮短外圓筋的長度，經(jīng)形狀調(diào)整、優(yōu)化后再次進(jìn)行尺寸優(yōu)化，直到優(yōu)化結(jié)果滿足頻率和靜強(qiáng)度約束條件。優(yōu)化后的臺體模型如圖5所示。

圖4 臺體優(yōu)化設(shè)計(jì)流程 Fig.4 Optimization design process of the vibration table

圖5 優(yōu)化后的臺體模型 Fig.5 Model of the table after optimization

對外形優(yōu)化前和優(yōu)化后模型分別進(jìn)行質(zhì)量優(yōu)化，優(yōu)化迭代過程見圖6，可以看到外形變量r對優(yōu)化結(jié)果有較大影響。外形優(yōu)化后的臺體質(zhì)量為90.0 kg，一階頻率為501.7 Hz。由于筋板厚度和凸緣截面尺寸的設(shè)計(jì)變量簡化方法相同，以主承力筋和其上部凸緣為例，設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化結(jié)果見表1。相比外形優(yōu)化前的模型，其頻率提高了66.5 Hz，質(zhì)量減小了27.9 kg。

圖6 外形優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)質(zhì)量優(yōu)化的迭代曲線 Fig.6 Mass iteration curve before and after shape optimization

表1 典型設(shè)計(jì)變量 Table1 Typical design variables

3 基于優(yōu)化結(jié)果的臺體樣機(jī)設(shè)計(jì)

經(jīng)外形和質(zhì)量優(yōu)化后筋板的厚度與凸緣的截面尺寸一般帶有多位小數(shù)，在詳細(xì)設(shè)計(jì)前應(yīng)圓整。當(dāng)相鄰筋板或凸緣的尺寸接近時進(jìn)行歸一化處理以便設(shè)計(jì)和制造，根據(jù)圓整后的尺寸在Catia軟件中完成臺體的詳細(xì)設(shè)計(jì)。

由于詳細(xì)設(shè)計(jì)后的臺體模型與簡化模型有所不同，需要驗(yàn)證其是否滿足式(1)中的約束條件，故將Catia中的三維模型導(dǎo)入Patran后，再采用CTETRA10單元劃分網(wǎng)格，邊界條件與簡化模型相同。經(jīng)Nastran的靜力學(xué)和模態(tài)分析求解，在臺體上安裝有負(fù)載且達(dá)到所要求的過載工況下其最大Von Mises應(yīng)力為38.1 MPa，遠(yuǎn)小于材料的強(qiáng)度極限；最大變形為0.094 mm，均滿足靜強(qiáng)度和剛度的要求；基頻為540.67 Hz，也滿足頻率要求。

經(jīng)過靜強(qiáng)度、剛度和頻率校核后，根據(jù)設(shè)計(jì)模 型的尺寸，采用鋁材經(jīng)整體銑削加工得到臺體樣機(jī)，其總質(zhì)量為93.6 kg（接近90.0 kg），如圖7所示。臺體樣機(jī)已用于振動試驗(yàn)測試，滿足了給定頻率要求下的輕量化設(shè)計(jì)要求。

圖7 臺體結(jié)構(gòu)圖 Fig.7 Structure of the vibration table

4 結(jié)論

為了滿足多自由度振動臺臺體固有頻率高于工作頻率和結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小的設(shè)計(jì)要求，采用二級多點(diǎn)逼近優(yōu)化算法對臺體進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到以下結(jié)論：

1）采用約束邊界所建立模型的固有頻率比自由邊界高出119 Hz，結(jié)合實(shí)際情況，二級多點(diǎn)逼近優(yōu)化中優(yōu)化建模應(yīng)采用約束邊界；

2）優(yōu)化后的臺體模型與用于優(yōu)化的簡化模型相比，一階固有頻率接近，表明上板、筋板和凸緣等結(jié)構(gòu)的簡化建模是合理有效的；

3）臺體的結(jié)構(gòu)優(yōu)化屬于工程問題，采用基于二級多點(diǎn)逼近算法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，從優(yōu)化迭代曲線可以看出優(yōu)化計(jì)算收斂迅速且穩(wěn)定。優(yōu)化后的臺體模型頻率提高了66.5 Hz，而質(zhì)量降低了27.9 kg，效果明顯，從而驗(yàn)證了該優(yōu)化方法的有效性。

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