基于粒子群優(yōu)化算法的整星有限元模型修正方法

秦玉靈，韓增堯，鄒元杰，王建民

（1.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094；2.中國空間技術(shù)研究院，北京 100094； 3.北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京 100076）

0 引言

現(xiàn)代航天器功能和結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜，復(fù)合材料的大量應(yīng)用及有效載荷的多樣化極大地增加了整星級(jí)有限元模型修正的難度，因而需要在具體型號(hào)研制過程中科學(xué)合理地安排動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)、有限元建模、相關(guān)分析、模型修正以及修正結(jié)果對(duì)比分析等多項(xiàng)工作。目前航天器結(jié)構(gòu)模型修正主要以模態(tài)數(shù)據(jù)和頻響數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，其中基于模態(tài)數(shù)據(jù)的模型修正方法應(yīng)用較為廣泛[1-3]，但在整星中的應(yīng)用尚不多見。

粒子群算法（particle swarm optimization,PSO）是以仿生學(xué)為基礎(chǔ)的隨機(jī)搜索算法，通過對(duì)鳥群覓食過程中的搜尋和聚集行為的模擬實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的優(yōu)化。該算法簡便易行且具有良好的搜索精度和較高的搜索效率，因此在結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中得到了廣泛應(yīng)用并逐漸推廣至模型修正領(lǐng)域[4]。于開平、劉榮賀[5]將多族群思想引入粒子群算法以增強(qiáng)算法的全局搜索能力，并用多族群粒子群優(yōu)化算法對(duì)飛行器結(jié)構(gòu)進(jìn)行了修正，使結(jié)構(gòu)的固有頻率得到了改善。安玖臻[6]用粒子群優(yōu)化算法對(duì)實(shí)橋主梁關(guān)鍵部位進(jìn)行了損傷識(shí)別和模型修正，證實(shí)了粒子群優(yōu)化算法的合理和有效性。吳壇輝[7]用免疫粒子群算法對(duì)五層鋼架結(jié)構(gòu)和虎門大橋進(jìn)行了模態(tài)修正，修正后計(jì)算模態(tài)參數(shù)與實(shí)測(cè)模態(tài)參數(shù)之間誤差小于初始模型誤差，證實(shí)了粒子群優(yōu)化算法在模型修正領(lǐng)域的有效性。作者在對(duì)多種改進(jìn)粒子群算法的研究及將其應(yīng)用于鋼架、蜂窩板及小衛(wèi)星等多種模型的修正[8-9]過程中發(fā)現(xiàn)，PSO 算法形式簡潔，便于改進(jìn)，對(duì)于結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和修正具有良好的改進(jìn)作用。但作為一種隨機(jī)算法，搜索結(jié)果的不確定性和不可復(fù)現(xiàn)性是該算法的固有缺陷，各種改進(jìn)算法雖可在一定程度上改善算法的搜索能力，但仍不可避免地存在此缺陷。分析PSO 搜索結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，雖然算法每次執(zhí)行結(jié)果不同，卻存在一定的規(guī)律性，且通過調(diào)整PSO 算法中某些參數(shù)可以使這種規(guī)律性得到更為清晰的顯示，從而對(duì)模型修正過程中修正量的定量計(jì)算提供指導(dǎo)。

本文介紹了一組基于粒子群優(yōu)化算法的衛(wèi)星有限元模型試驗(yàn)驗(yàn)證策略。首先對(duì)整星進(jìn)行有限元建模和模態(tài)分析；然后對(duì)試驗(yàn)和分析結(jié)果進(jìn)行相關(guān)性分析，以實(shí)現(xiàn)試驗(yàn)結(jié)果與有限元模態(tài)分析結(jié)果的匹配；最后引入粒子群優(yōu)化算法對(duì)整星進(jìn)行有限元模型修正。粒子群算法具有較高的搜索效率和避免陷入局部最優(yōu)的能力，修正后的有限元模型可用于星箭耦合分析及力學(xué)環(huán)境預(yù)示，對(duì)后續(xù)型號(hào)的整星和系統(tǒng)級(jí)模型修正與試驗(yàn)驗(yàn)證具有良好的推廣應(yīng)用價(jià)值。

1 粒子群算法

粒子群中的每一個(gè)粒子都代表搜索空間范圍內(nèi)的一個(gè)可行解（對(duì)應(yīng)待修正參數(shù)），先對(duì)每個(gè)粒子的位置和速度進(jìn)行隨機(jī)初始化，然后粒子自身的歷史最優(yōu)位置或整個(gè)種群的最優(yōu)位置引導(dǎo)粒子飛向最優(yōu)解。假定搜索空間維數(shù)為D，粒子群規(guī)模即群體中粒子數(shù)量為S，則第i(i=1,2,…,S)個(gè)粒子的第d(d=1,2,…,D)維速度vid和位置xid可表示為

式中：為第i個(gè)粒子在第t次迭代終止時(shí)的第d維最優(yōu)位置；為整個(gè)粒子群體在第t次迭代終止時(shí)的第d維最優(yōu)位置；c1表示粒子對(duì)自己經(jīng)歷過的歷史最優(yōu)位置的記憶能力，且c1＞0；c2表示粒子對(duì)整個(gè)群體飛行過程中經(jīng)歷的群體最優(yōu)位置的記憶能力，且c2＞0；r1和r2為[0,1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)；慣性因子ω非負(fù)，ω取值較大時(shí)算法的全局搜索能力較強(qiáng)而局部搜索能力較差，ω取值較小時(shí)算法的局部搜索能力較強(qiáng)但全局搜索能力較差?；綪SO 算法中ω=1，而各種改進(jìn)算法中一般將ω進(jìn)行線性或非線性變化以調(diào)整粒子在不同時(shí)期飛行速度的變化能力，從而加快收斂速率，提高搜索到全局最優(yōu)解的概率。

本文選用基本PSO 算法（即ω=1）進(jìn)行計(jì)算，取c1=c2= 0.5，表示粒子對(duì)自身經(jīng)歷的最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置具有同等程度的記憶能力；為提高PSO 算法搜索結(jié)果中規(guī)律性的顯示度，經(jīng)多次迭代分析對(duì)比，將粒子群規(guī)模設(shè)為S= 80，空間維數(shù)設(shè)為D= 60，依此參數(shù)設(shè)置后PSO 算法歷次搜索所得各參數(shù)修正量接近，可將多次計(jì)算結(jié)果的平均值視為參數(shù)修正量。

2 整星有限元建模及模態(tài)分析

2.1 整星有限元建模

衛(wèi)星主要由中心承力筒和載荷艙、推進(jìn)艙和服務(wù)艙的外圍結(jié)構(gòu)板組成，有限元建模過程中將中心承力筒和結(jié)構(gòu)板簡化為復(fù)合材料板，劃分為殼單元。儲(chǔ)箱為充液狀態(tài)，將液體簡化為集中質(zhì)量，通過多點(diǎn)約束連接到儲(chǔ)箱單元上。對(duì)星上主要部件（太陽電池陣和天線等）在有限元建模過程中進(jìn)行了適當(dāng)簡化，其他儀器設(shè)備按非結(jié)構(gòu)質(zhì)量處理，均布于相應(yīng)結(jié)構(gòu)板上。整星有限元模型共包含150 000 個(gè)單元、160 000 個(gè)節(jié)點(diǎn)，總質(zhì)量約4500 kg。

圖1 整星簡化有限元模型 Fig.1 Simplified finite element model of a satellite

2.2 整星模態(tài)分析

對(duì)整星有限元模型進(jìn)行正則模態(tài)分析，取前80 階模態(tài)（涵蓋0～66 Hz 頻率范圍）進(jìn)行分析，得到9 階整星模態(tài)（含x、y、z向一、二階彎曲模態(tài)及前三階扭轉(zhuǎn)模態(tài)）如表1所示。

整星模態(tài)試驗(yàn)邊界條件為下端框固支，夾具固緊結(jié)構(gòu)星對(duì)接框并與地軌通過壓環(huán)牢固連接。試驗(yàn)時(shí)分別對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了x、y、z這3 個(gè)方向的激勵(lì)，根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的激勵(lì)位置以及單點(diǎn)或兩點(diǎn)激勵(lì)形式。要求測(cè)出結(jié)構(gòu)星主要模態(tài)的頻率、振型和阻尼，包括縱向拉壓、橫向彎曲（2 個(gè)方向）和扭轉(zhuǎn)模態(tài)各2 階。整星模態(tài)數(shù)據(jù)如表2所示。

表1 整星初始有限元模型分析主模態(tài) Table1 FE model analysis of the main mode of the satellite

表2 整星模態(tài)數(shù)據(jù) Table2 Modal data of the satellite

3 整星有限元模型修正

3.1 整星有限元模型/模態(tài)試驗(yàn)的相關(guān)分析

整星有限元分析和模態(tài)試驗(yàn)完成后，用FEMTOOLS 工具對(duì)分析模型和試驗(yàn)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)匹配和MAC 值計(jì)算，結(jié)果見表3。

表3 整星試驗(yàn)與分析模態(tài)匹配 Table3 Test and analysis modal data matching

由表3可知，模態(tài)試驗(yàn)與分析結(jié)果得到的x向一階彎曲模態(tài)振型、y向一階彎曲模態(tài)振型及扭轉(zhuǎn)二階振型、扭轉(zhuǎn)三階振型一致性較好，MAC 值都超過了90%，說明該4 階模態(tài)為對(duì)應(yīng)模態(tài)，相關(guān)分析的結(jié)果（MAC 值）可為模型修正過程中參數(shù)的選擇和目標(biāo)函數(shù)的建立提供參考。

3.2 整星有限元模型修正

根據(jù)以上分析結(jié)果，選擇試驗(yàn)與有限元模態(tài)分析相關(guān)性較強(qiáng)且測(cè)量精度較高的x、y向一階彎曲和扭轉(zhuǎn)三階模態(tài)的頻率及MAC 值共6 個(gè)特征量進(jìn)行修正，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

式中：N= 3 為用于修正的總的模態(tài)階次；j=（1,2,3）分別對(duì)應(yīng)用于修正的模態(tài)頻率階次；為有限元分析所得第j階模態(tài)頻率；為試驗(yàn)所得第j階模態(tài)頻率；為第j階模態(tài)頻率的加權(quán)系數(shù)；為 MACj（第j階振型相似系數(shù)值的加權(quán)系數(shù)，各加權(quán)系數(shù)值根據(jù)模態(tài)參數(shù)測(cè)量精度 的不同適當(dāng)選擇，此處由于各階頻率及振型測(cè)量精度均較高，故平均分配各加權(quán)系數(shù)即取

根據(jù)初始有限元建模經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合靈敏度分析，選擇包括復(fù)合材料彈性模量、鋪層厚度，主要連接部件的幾何尺寸、連接剛度等60 個(gè)參數(shù)作為修正參數(shù)x=(x1,x2,…,x60)，參數(shù)上下限結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)定為原值的±20%，即xmin≤x≤xmax（xmin=(1-20%)x，xmax=(1+20%)x）。由于不同量級(jí)的參數(shù)在同一矩陣中求解可能導(dǎo)致矩陣奇異，為避免該情況發(fā)生，需要把結(jié)構(gòu)參數(shù)通過歸一化映射到同量級(jí)范圍內(nèi)，在粒子搜索到歸一化解后再映射回原空間得到待修正量的準(zhǔn)確值。在基本粒子群算法中，粒子空間維數(shù)D= 60（對(duì)應(yīng)60 個(gè)待修正參數(shù)），群體規(guī)模S= 80（即用80 個(gè)粒子進(jìn)行隨機(jī)搜索），迭代次數(shù)設(shè)為Tmax=50，取50 次搜索所得解的平均值作為參數(shù)的修正值，修正前后分析預(yù)示與試驗(yàn)實(shí)測(cè)模態(tài)的比較如表4所示。模型修正僅對(duì)x、y向一階彎曲模態(tài)和扭轉(zhuǎn)三階模態(tài)進(jìn)行了修正。

表4 試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果與模型修正前后分析預(yù)示結(jié)果的比較 Table4 Comparison between modal test and analysis with non-updated model and updated model

由表4可知，模型修正前對(duì)x、y向一階彎曲模態(tài)計(jì)算相對(duì)誤差分別為1.63%、0.75%，修正后為-0.13%、-0.32%；修正前扭轉(zhuǎn)三階模態(tài)誤差為3.92%，修正后為1.82%。可以看出，參與修正的3 階模態(tài)其預(yù)示精度都有所提高。其他未參與修正的模態(tài)中，修正前最大誤差出現(xiàn)在扭轉(zhuǎn)二階，為10.17%，修正后為7.38%；而修正后的最大誤差出現(xiàn)在y向二階彎曲，為7.64%，較修正前的9.16%其預(yù)示精度亦有提高。

綜上所述，修正后有限元模型各模態(tài)的分析頻率相對(duì)誤差均小于8.0%，相比修正前的（最大相對(duì)誤差達(dá)到10.17%）預(yù)示精度有一定提高。

4 結(jié)束語

發(fā)展整星級(jí)模型修正技術(shù)，提高航天器建模水平和模型分析預(yù)示精度已成為我國航天器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工作的重要內(nèi)容。

相關(guān)性分析是驗(yàn)證有限元分析和試驗(yàn)結(jié)果一致性的關(guān)鍵技術(shù)，可為初始有限元模型的初始調(diào)整提供依據(jù)，也可為模型修正過程中參數(shù)的選擇和目標(biāo)函數(shù)的建立提供參考。

基于模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的整星級(jí)模型修正技術(shù)是提高有限元分析精度的重要途徑，以模態(tài)試驗(yàn)所得結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率和振型為依據(jù)，用粒子群優(yōu)化算法修正后的模型其計(jì)算精度較修正前有一定提高，可用于后續(xù)星箭耦合分析和星上力學(xué)環(huán)境預(yù)示。

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