數(shù)學(xué)建模中的幾種數(shù)據(jù)處理方法

劉 佳

（淄博職業(yè)學(xué)院，山東 淄博 255314）

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍日益廣泛。數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐，它有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問題的能力，以及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和合作意識(shí)，因此數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)建模競賽受到廣泛關(guān)注。在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)首先要分析變量，要盡可能的找全研究對(duì)象所涉及的量，分清變量主次地位，忽略引起小誤差的變量，簡化數(shù)學(xué)模型。分析變量之間的關(guān)系，第一步要對(duì)數(shù)據(jù)做處理，即對(duì)原始數(shù)據(jù)做適當(dāng)變換或其他處理，從中發(fā)現(xiàn)隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律，因此數(shù)據(jù)處理非常重要。本文總結(jié)了數(shù)學(xué)建模中常用的幾種數(shù)據(jù)處理方法，并給出相關(guān)軟件的調(diào)用命令。

1 數(shù)據(jù)的錄入與保存

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理首先要學(xué)會(huì)如何錄入保存數(shù)據(jù)，在Excle 軟件與Spss 軟件中都是以工作表的形式存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，在Matlab 中可以用數(shù)據(jù)文件.mat 的形式保存數(shù)據(jù)。Mat 文件是Matlab 以標(biāo)準(zhǔn)二進(jìn)制格式保存的文件，可將空間中有用的數(shù)據(jù)變量保存下來。Mat 文件的生成和調(diào)用是由函數(shù)save 和load 完成的。例：A 是一矩陣，對(duì)其賦值，通過命令save data1 A 就會(huì)把矩陣A 數(shù)據(jù)保存在文件data1.mat 中了，若要調(diào)用矩陣A，則通過命令lada data1 就會(huì)將矩陣A 中的數(shù)據(jù)加載在當(dāng)前工作環(huán)境中。

2 基本的數(shù)據(jù)分析

在數(shù)學(xué)建模競賽中，我們常常要求一組數(shù)據(jù)的平均值、最大值、最小值、中位值、方差等基本統(tǒng)計(jì)量，利用Excle 可以方便求得。此外我們還可以利用Excle 繪制直方圖、概率分布圖、頻數(shù)直方圖等。Excle可以方便的實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)排序、篩選、分類匯總等基本的數(shù)據(jù)處理。這些基本的數(shù)據(jù)分析方法是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的第一步，它清晰地反應(yīng)數(shù)據(jù)的基本走勢(shì)。

3 插值與擬合

在建模競賽中經(jīng)常會(huì)碰到這樣一種問題，要從一組實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)揭示自變量x 與因變量y 之間的關(guān)系，這就需要用到插值與擬合方法。例如2004 年國賽C 題中提供酒后幾個(gè)時(shí)間段人體酒精含量的數(shù)據(jù)，給出酒后血液中酒精含量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，這就用到插值與擬合。插值是指在平面上給定一組離散點(diǎn)列，要求一條曲線，把這些點(diǎn)按次序連接起來。利用插值法可以得到這些點(diǎn)以外的其它地方的數(shù)值。常用的插值方法有拉格朗日多項(xiàng)式插值、牛頓插值、分段線性插值、Hermite 插值和三次樣條插值。Matlab 軟件中自帶插值工具箱，可以方便的進(jìn)行各種插值。例：一維插值函數(shù)interp1，語法為y=interp1(x0，y0，x，‘method’)，(x0，y0)為插值點(diǎn)，x 為被插值點(diǎn)，y 為插值結(jié)果。method 指插值的方法，默認(rèn)為線性插值，也可以為‘nearest’最近插值，‘linear’線性插值，‘spline’立方樣條插值，‘cubic’立方插值。三次樣條插值有以下幾種函數(shù)：y=interp1(x0，y0，x，‘spline’)，y=spline(x0，y0，x)，pp=csape(x0，y0，conds)等。擬合也是已知有n 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）……（xn，yn），求近似函數(shù)不要求過已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求在某種意義下它在這些點(diǎn)上的總偏差最小。擬合最常用的方法是線性最小二乘法，基本思想是先選定一組函數(shù)r1（x），r2（x）……rm（x）（m＜n），要根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行機(jī)理分析確定r1（x），r2（x）……rm（x）（m＜n），令f（x）＝a1r1（x）＋a2r2（x）＋……＋amrm（x），其中a1，a2，……am為待定系數(shù)，再利用最小二乘準(zhǔn)則確定a1，a2，……am，也就是使n 個(gè)點(diǎn)（xj，yj）與曲線y＝f（x）的距離δj的平方和最小。記：

問題歸結(jié)為求a1，a2，……am，使J（a1，a2，……am）最小。

特別的若用多項(xiàng)式f（x）＝a1xm＋……＋amx＋am＋1擬合，Matlab 軟件提供命令a=polyfit(x，y，m)，m 為擬合多項(xiàng)式次數(shù)，(x，y)為要擬合的數(shù)據(jù)，a為輸出的多項(xiàng)式的系數(shù)。

4 回歸分析

回歸分析也是常用的一種數(shù)據(jù)處理方法，當(dāng)客觀事物內(nèi)部規(guī)律比較復(fù)雜，無法分析實(shí)際對(duì)象內(nèi)在的因果關(guān)系，那么通常的辦法是搜集大量的數(shù)據(jù)通過對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析建立模型?；貧w分析是確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，按照自變量的多少，從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，確定某些變量之間的定量關(guān)系式，即建立數(shù)學(xué)模型并估計(jì)其中的未知參數(shù)，再對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行檢驗(yàn)，這是非常重要的一步。在回歸分析中要將影響顯著的自變量納入模型，剔除影響不顯著的變量，這一步通常用逐步回歸法。我們還可以利用所求的關(guān)系式對(duì)某一生產(chǎn)過程進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制。利用數(shù)學(xué)軟件可以方便地實(shí)現(xiàn)回歸分析，比如Matlab 軟件中命令regress（），polyval()，rstool()都能進(jìn)行回歸分析。

5 聚類分析與主成分分析

聚類分析與主成分分析是多元分析的最基本內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)建模中常用到的方法。比如2012 年國賽葡萄酒評(píng)價(jià)問題、2013 年城市公共自行車問題都可以應(yīng)用聚類分析、主成分分分析這類統(tǒng)計(jì)分析方法。近年來，隨著數(shù)據(jù)處理問題越來越多地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模競賽中，這一類建模方法也越發(fā)受到重視。聚類分析是將樣品或變量按相似程度劃分類別，使得同一類中的元素之間的相似性比其他類的元素的相似性更強(qiáng)。聚類分析主要分為Q 型分析與R 型分析，Matlab 軟件中l(wèi)inkage()與pdist()結(jié)合可以進(jìn)行聚類分析。主成分分析的原理，是以較少數(shù)的綜合變量取代原有的多維變量，使數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡化，把原指標(biāo)綜合成較少幾個(gè)主成分，這幾個(gè)主成分是原來若干個(gè)指標(biāo)的線性組合，它們能盡可能的反應(yīng)原始變量的信息，且彼此不相關(guān)，主成分分析實(shí)際是一種降維方法。Matlab 中函數(shù)pcacov、princop、pcares 都可以進(jìn)行主成分分析，我們以pcacov 為例說明一下主成分分析的調(diào)用方法。[coeff，latent，explained]=pcacov(v)，其中v是總體或樣本的相關(guān)系數(shù)矩陣，輸出coeff 是p 個(gè)主成分的系數(shù)矩陣，explained 是這p 個(gè)主成分各自的貢獻(xiàn)率。

數(shù)學(xué)建模過程中，掌握高效、便捷的數(shù)據(jù)處理方法是解決問題的關(guān)鍵一步。近年來，數(shù)學(xué)建模競賽的難度越來越大，特別是貼近實(shí)際生活的大量數(shù)據(jù)的融入增加了題目的難度，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型逐步淘汰，掌握多種數(shù)據(jù)處理方法非常必要。本文歸納和總結(jié)了數(shù)學(xué)建模中經(jīng)常遇到的數(shù)據(jù)處理方法，希望對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力、處理實(shí)際數(shù)據(jù)問題的能力有所幫助。

［1］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].第3 版.北京：高等教育出版社，2003.

［2］司守奎，孫璽菁.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2011.

［3］何曉群.多元統(tǒng)計(jì)分析[M].第2 版.北京：中國人民大學(xué)出版社，2012.