□吳育弟
巧妙應(yīng)用方程增根
□吳育弟
解分式方程時,一般要將分式方程變形為整式方程.由于這種變形可能擴大了未知數(shù)的取值范圍,使得方程產(chǎn)生增根,不少同學往往只重視對增根的檢驗,忽視充分發(fā)揮增根的潛在作用.如果能進一步認真分析增根產(chǎn)生的原因,那么在確定有關(guān)分式方程字母系數(shù)的值時,往往能夠巧妙得解.
例1若關(guān)于x的方程有增根,則a的值為_______.
分析:增根是化為整式方程后產(chǎn)生的根,但不適合分式方程,一般是使分母為零.先確定增根的可能值,讓最簡公分母x-1=0,得到x=1,然后代入化為整式方程的方程算出未知字母的值.
解:方程兩邊都乘(x-1),得ax+1-(x-1)=0.
∵原方程有增根,
∴最簡公分母x-1=0,即增根為x=1,
把x=1代入整式方程,得a=-1.
點評:方程的增根不適合原方程,但適合去分母后的整式方程,這是求字母系數(shù)的重要方法.解這類增根問題可按如下步驟進行:①讓最簡公分母為0確定增根;②化分式方程為整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.
分析:方程兩邊都乘以最簡公分母(x-2)(x+2),把分式方程化為整式方程,再根據(jù)分式方程的增根就是使最簡公分母等于0的未知數(shù)的值求出x的值,然后代入計算即可求出m的值.
解:去分母得2(x+2)+mx=3(x-2).
如果方程產(chǎn)生增根,那么必須有最簡公分母(x+2)(x-2)=0,即x=2或x=-2.
綜上所述,當m=-4或m=6時,原方程會產(chǎn)生增根.
點評:若解得方程的根是關(guān)于某一字母的一個代數(shù)式,在確定方程的解的情況時,應(yīng)分類討論使其值為增根的字母的值.